1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 73
Текст из файла (страница 73)
При последовательном соединении (рис. 257, б) складываются скорости деформации, отвечающие одному и тому же напряясению. Закон деформации подобной среды, впервые полученный Максвеллом, имеет вид ве 1 Ла о — = — — + — . сИ Ей р' (81.5) Рассмотрим свойства этой среды, Если сообщить среде постоянное напряжение (о = сопв1), то она будет деформироваться с по. стоянной скоростью, т.
е. будет течь подобно вязкой жидкости. При быстром нагружении О = оь в среде сразу же возникает (за счет вь упругого слагаемого) деформация †. Если снять напряжение, то Е ' скорость деформации также обратится в нуль, но в среде останется некоторая постоянная деформация. Пусть в момент 1 = 0 телу сообн1ено напряжение пь; соответствующее начальное удлинение равно е, = †.
Зафиксируем теперь деформацию, положив в = сопе1 = в (путем, например, закрепления [гл. хп 396 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛЛСТИЧНОСТЬ концов стержня). Тогда — =О, и из (81.5) следует; ае аг 1йт о — — + — =О, Е ас ц откуда о = ое е-ы', где 1 = — называется временем релаксации. Таким образом, напря- Е е — р жение спадает со временем по зкспоненциальному закону, стремясь к нулю (рис. 258), Релансирующая среда Максвелла описывает с качественной стороны важное свойство реальас ных тел, заключающееся в ослаблении со временем напряженного состояния при неизменной деформации (так называемая релаксация напряжений). Уравнен ',«р ных явлений; количественные результаРис. 258. ты плохо согласуются с наблюдениями.
Приведенные модели содержат два параметра Е, )с. Описание сложных механических свойств (например, свойств высокополимеров) требует использования многоэлементных моделей, Ег ссс 4 а~ Рис. 259. характеризуемых большим числом параметров. Модель, показанная на рис. 259, а, содержит уже три параметра Е, Е, (х . 397 9 81) о сложных стадах Пример модели с четырьмя параметрами Еы Е,, )ьы )ья приведен иа рис. 259,б. Подобные среды (с и параметрами и с непрерывно распределенными параметрами) изучаются в теории линейной вязко-упругости (1 аа ее) Нелинейные релаксирующие среды играют важную роль в теории палзучеети металлов (юы'ее).
4. Вязко-пластичность. Соединение вязких и пластических элементов приводит к так называемым вязко-пластическим средам. Параллельное соединение (рис. 260, а) двух элементов в вязкого и пластического †да вязко-пластическую среду, впервые, по-видимому, рассмотренную Шведовым (1900 г.) н Бингемом (1922 г.). При этом закон деформации имеет вид при о)п,; (81.6) при а ( и, среда не испытывает де формаций.
Эта схема отражает тот факт что ля многих ве еств заметно д щ е течение появляется лишь при определенной нагрузке; скорость течения а/ ф~ при этом зависит от вязкости среды. Вязко-пластическими свойствами Рис. 260. характеризуются многие реальные вещества †метал при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т. д.
Совершенствование многих технологических процессов (горячая обработка металлов, перемещение различных пластических масс в машинах, трубопроводах н т. д.) требует изучения движения вязко-пластических материалов; гидродинамическая теория смазки при густых смазочных материалах также основывается на уравнениях вязко-пластического течения.
Более подробно уравнения вязко-пластической среды рассматриваются в следующем параграфе. Последовательное соединение (рис. 260, б) двух элементов в вязкого и пластического в приводит к ползуче-пластической среде, представляющей значительный интерес в задачах ползучести. При а ч., и, эта среда ведет себя как вязкая ягндкостгч следующая закону вязкости Ньютона (81.2) или нелинейному закону тече ния, например, уравнению (81.3).
При и = о, среда течет подобно идеально пластическому телу (см. 9 83). Соединение большего числа вязких и плзстических элементов приводит к сложным вязко-пластическим средам. сложные сРеды. вязко"пластичность [Гл. Хп 398 5. Упруго-вязко-пластичность. Соединение элементов всех трех типов (упруго-вязкого, пластического) приводит к значительно более сложным средам.
Так, модель, показанная на рнс. 261, иногда используется в динамических задачах. Для получения соответствующего уравнения необходимо, как обычно, выписать законы деформации для каждого элемента и составить условия равновесия и неразрывности деформаций 6 9 82. Вязко-пластнческая среда (82.3) причем удовлетворяется условие текучести Мизеса агга,'7 = 2т,. ь (82. 4) Пусть вязкое сопротивление следует закону линейной вязкости Ньютона (5.5), т, е. ай= — 2)ь $о (3)г ==(ь). (82.5) Складывая напряжения, приходим к соотношениям вязко-пластической среды а;,=.2 (ф+ (г ) 517 (82.5) 1. Основные соотношении. Рассмотрим более подробно вязко-пластическую среду; услонимся так называть среду, модель которой б образована параллельным соединением вязкого и пластического элементов (рнс. 257, а).
ВнзкоРис. 261. пластическая среда интенсивно изучается в связи с разнообразными практическими приложениями. Переход от уравнения (81.4) для одноосного напряженного состояния К случзю сложного напряженного состояния осуществляется при помощи обычных дополнительных предположений. Прежде всего принимается условие несжимаемосги ~; 5;,=О. (82,1) Далее, компоненты напряжения о; складываются из компонент напряжения о,';, связанных с пластическими свойствами, и компонент напряжения о,~, вызываемых вязким сопротивлением: о;,=о;1+о,"Р (82.2) Компоненты напряжения о,'; определяются уравнениями (13.12) теории пластичности Мизеса, т.
е. Ь'у= и К 2Л $ 82) Вязко-плАстнческАя сРедА Отсюда вытекает зависимость (82.7) являющаяся обобщением уравнения (81.6). Заметим, что вязко-пластическую среду можно рассматривать как предельный случай нелинейно- вязкой среды з;, = 2А (Н) $О, (82.8) для которой Т=д(Н)Н. Для вязко-пластической среды д(Н) = Н , даФ, дхФ, дзФ о =2р' — о =2)ь' —, т = — 2)г' —, дуз ' У дхх ' "У дхду' Условие несжимаемости отождествляется при введении функции тока Ч'(х, у): дЧ" У дх дч' о ду Функции Ф и Ч' определяются нз системы двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, следующих из зависимости (82.7) и соотношения а„— оу = 4 ~ф+(х')$„, (82.9) вытекающего из (82.6).
Исключая одну из функций, например Ф, можно получить одно нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно функции тока Ч', Это уравнение использовано А. А. Ильюшиным [ыз) и А. Ю, Ишлинским [ыа~ для анализа ряда задач вязко-пластического течения. Уравнения вязко-пластической среди используются лля решения различных задач технологического типа, связанных с обработкой металлов давлением, с течением разнообразных пластических масс в трубах н щелях, в теории 2. Уравнения вязко-пластического течения. Зависимости (82.6) вместе с условием несжимаемости (82.!) и тремя уравнениями движения образуют систему десяти уравнений для десяти неизвестных функций зоь о, ог.
Подставляя компоненты напряжения согласно (82.6) в дифференциальные уравнения равновесия, получим (вместе с уравнением несжимаемости (82.1)) систему четырех уравнений для среднего давления а и составляющих скорости о;; зта система имеет сложный вид и здесь нет смысла ее выписывать. 1 В случае плоской деформации о, =- О, тогда о, = о = — (о„ + о„), т„,=т, = О. Дифференциальным уравнениям равновесия можно удовлетворйть, введя функцию напряжений Ф (х, у), именно: 400 сложные сеиды. вязко-пластичность [гл. хп смазки густыми маслами и т.
д. (см. (зь)). Соотношения (82.6), дополненные упругими деформациями, используются также в задачах пластической динамики, если нельзя пренебрегать влиянием скорости деформаолн. В гидродинамических задачах вязко-пластического течения получила развитие теория пограничного слои. Как уже отмечалось, вязко-пластическую среду можно рассматривать как предельный случай нелинейно-вязкой среды. Это соображение позволяет легко написать вариапионные уравнения вязко-пластического течения, именно, принцип минимума полного рассеяния (характеризующий мвнимальиые свойства действительного поля скоростей) и принцип минимума дополнительного рассеяния (характеризующий минимальные свойства действительною напряженного состояния). 11одробный анализ первого вариационного уравнения содержится в недавно опубликованной работе П.
П. Мосолова и В, П. Мясникова ['з'). 3. Установившееся течение в трубе. Рассмотрим задачу о течении вязко-пластической массы в длинной круглой трубе. Движение предполагается медленным, установившимся и осесимметричным; врапгение массы в трубе отсутствует. Тогда в системе цилиндрических координат г, 1р, я имеем: юг=О, о„=О. Вычисляя компоненты скорости деформации, находим: Но по условию несжимаемости $,=0, следовательно, о,=о,(г). Согласно зависимостям (82.6) получаем: , дог т„= — т,+р' — „ Здесь принято, что — ( (О, тогда — = — 1. ~~ох Чгз йг Далее, из уравнений равновесии (4.3) находим: до Ытга тгг до г г+ г+ дг ' Ыг г дз до Отсюда вытекает, что о=о(х), причем градиент давления — =д является постоянной величиной.
Подставляя в последнее уравнение т„ и выполняя интегрирование при условиях, что вязко-пластическая масса прилипает к стенке трубы (т. е. о,= 0 при г =-Ь) и что скорость о, ограничена, получаем: и — '~, (дз з) ™,. (д г) Так как внутри деформируемой зоны ~т„()т„то решение имеет смысл лишь при — „~~0, т. е. при дг'х дг г) — '= — с.
2т, $83) 401 ползуче-пластическая сРедА Остальная часть массы не деформируется 1и,движется внутри трубы как твердое тело. Скорость ~возрастает~",,по'"~~параболическому закону от нулевого значения на стенке трубы до максимального значения при г = с (рис. 262). У стенки трубы величина касательного напряжения равна Ьд(2 и затем снижается до значения т, на границе недеформируемого ядра.
Так как с ~Ь, то течение, осуществимо ~д пл лишь при достаточно большом градиенте давления: 2тз )Ъ вЂ” ". Ь Ряс. 262 Вычисляя количество протекающей в единицу времени массы, получаем: 9 = 2п ) гю, лг = —, ~ б (ь' — с ) — 3 (Ьа — с ) ~ о В случае вязкой жидкости т =О, следовательно, с =О, жесткого ядра нет, и последнее уравнение приводит к известной формуле Пуазейля ПЬА О= —.
у. вр' В другом предельном случае — случае жестко-пластического тела р' = 0„ с = Ь, скольжение происходит в тонком слое у стенки трубы. 3 83. Ползуче-пластическая среда 1. Основные соотношения. Обратимся теперь к более детальному рассмотрению ползуче-пластической среды, модель которой образована последовательным соединением вязкого и пластического элементов (рис. 260, б). Эта среда представляет большой интерес в теории ползучести металлов, где, впрочем, часто необходимо учитывать также упругую деформацию и влияние «упрочнения». Здесь мы рассмотрим простой вариант основных соотношений, учитывающий лишь нелинейную вязкость и идеальную пластичность. Для модели, изображенной на рис. 260, б, складываются скорости деформации, напряжение же в обоих элементах одно и то же. Таким образом, имеем: Еь 0 = сьев т ьЕГ! (83.1) [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
