1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 74
Текст из файла (страница 74)
хц 402 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ Скорости пластической деформации равны [ О прн Т<т, [ Х'ау при Т=т,. Скорости вязкой деформации равны 1— »'! 2 в (Т) ач' (83.2) (83.3) где А (Т) — известная функция. Заметим, что »со ~ +2в(»)) гд На границах различных зон должны соблюдаться надлежащие условия непрерывности напряжений н скоростей. Течение всего тела, пока не достигнуто предельное состояние, определяется деформацией «вязкого ядра». 3.
Течение полого шара под действием давления. Рассмотрим задачу об установившемся течении полого ползуче-пластического шара, испытывающего внутреннее давление р (рис. 41). Сохраним здесь обозначения, использованные в 3 25. Пусть и= — О(г) — радиальная скорость. Уравнение несжимаемости имеет вид „вЂ” +2 — =О; откуда находим, что где С вЂ произвольн постоянная. Вычисляя теперь скорости деформации и интенсивность скоростей деформаций сдвига, получаем: 2С в»= » Г~ — Н=2)l 3 —,.
Т=~(Н") И', (83.4) причем д.(Н")А (Т) =-1, Здесь приведены основные соотношения «по критерию Мизеса». Нетрудно сформулировать аналогичные завнси. мости при другом критерии (например, критерии т ,„). 2. Уравнения ползуче-пластического течения. Если напряжения не достигают предела текучести, тело испытывает лишь ползучесть согласно зависимостям типа (81.3), причем тогда скорости полной деформации ~О.= Ц;. При лостаточно большой нагрузке в теле возникают «вязкие» (Т < т,) и «пластические» (Т=- т,) области. В первых областях компоненты скорости деформации $О и компоненты напряжения связаны уравнениями (83.3), во вторых областях — соот- ношениями 403 задачи к главк хп ! Интенсивность касательных напряжений равна Т=-= (а — а ). 1' 8 Тогда дифференциальное уравнение равновесия (25.1) принимает вид дог 2 Ьг3 — "= — — Т. (83.5) дг г а, = 2а,!п — — р, а„= а, + а,, (83.
7) Во внешней области с г(Ь решение можно получить из формул (83.6), заменяя р на — д= — (а,), „радиус а на радиус с. с На границе г = с непрерывны а, и Т. Легко видеть, что а =- 2а, !и — — р, и Далее, из условия Т = т, при г = с находим уравнение, определяющее радиус с: = ~1 — ( — ) ~ +1п — = — — !и —. Скорость а(г) вычисляется при надлежащем значении произвольной постоянной С. При с = Ь пластическая зона захватывает весь шар; тогда из (83.8) получаем значение предельной нагрузки р .
(83.8) ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Х11 1. Составить, исходя из уравнения (81 4), дифференциальное уравнение продольных колебаний упруго-вязкого стержня д'и , д'и , д'и — — иа — — Ь' =О, д! дх дхад! = где и=и (х, !) — смещение по оси стержня, а= )г —, Ь= )г .ГЕ ./р Р Р Пусть Т т,. Примем степенную зависиаюсть Т вЂ”.-Вг!и, где В, О ( !ь ~ 1 — соответственно коэффициент и показатель ползучести. Внося Т в уравнение равновесия (83.5) н выполняя интегрирование при граничных условиях а, = — р при г — а, а, = О при г =- Ь, получаем: а„= г (1 — ( — ) ~, Т= — (ьз ( — ), а = . (83.6) Зн ! Очевидно, что интенсивность касательных напряжений убывает с возрастанием радиуса г.
При достаточном давлении (именно, при р ) ' (1 — р '«) возникает пластическая зона а ( г ( с, в котоУзр рой Т= т,. В этой зоне решение определено формулами (25.8); перепишем их: 404 [гл. хы СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ 2. Вывести, исходя из уравнения установившейся полэучести 181.3) и обычных гипотез, дифференциальное уравнение скорости прогиба балки бзо 1М)м бзз Р где М вЂ” изгибающий момент, 11 — жесткость балки при ползучести.
3. Получить закон деформации ба г' Ет'т р Иа Егз+р,— =~1+ — ) о+ —— бг ~ Еа) Ез бт трехэлементной среды, показанной иа фиг. 259, а. 4. Получить вахой деформации бзе ба рг бзо г' рт Ет 1 Ио Ет р, — +Ет — = — — + ~1+ — + — ) — + — о бтз б1 Ез бтз ~ Ра Ез) бт Рз етырехэлементной среды, показанной на фиг. 259, б. Б. Решить задачу об установившемся вязко-пластическом течении между параллельиымн шероховатымв плитами в случае плоской дмйормации. Показатгм что толщина жесткого ядра 2с=2т,/д. 6. Вывести формулу для скорости о 1г) в задаче о течении полого шара Я 83) прн наличии пластической воны.
7. Решить задачу о течении полой ползуче-пластической трубы под действием внутреннего давления. ДОБАВЛЕНИЕ 1. О типе системы уравнений в частных производных В теории пластичности, газовой динамике, статике сыпучей среды н других разделах механики встречаются системы нз двух квазилннейных уравнений в частных производных первого порядка для двух функций и, е двух независимых переменных х, дп ди ди до до Ат ух+В, до+С,дх+ Э,ду — — Вт ди ди до до Ах — +Вз-д — +Сад — +Вод =Вх, дх ду дх ду где коэффициенты А„В„..., Š— заданные функции х, у, и, е.
Свойства решений этой системы н методы нх построения существенно определяются типом системы. Обратимся к этому вопросу. Пусть вдоль некоторой линии х = х (г), у =у (з) в плоскости х, у заданы значения и, сс и = и (з), о = е (г). Если ввести в рассмотрение четырехмерное пространство х, у, и, е, то уравнення х=х(з), у=у(х), и=и(г), о=о(з) представляют в нем некоторую линию 1.; решения же дифференциальных уравнений и.=и(х, у), е=е(ж,у) образуют некоторую поверхность (ннтегральную поверхность). Основным является вопрос о возможности проведения через заданную линию и определенной интегральной поверхности (задача Коши). Этот вопрос связан с возможностью однозначного определения вдоль линии Т.
производных неизвестных функций и, е в силу самих дифференциальных уравнений (1). На геометрическом языке однозначная определенность вдоль Л из самих дифференциальных уравнений первых частных производных означает определенность вдоль и касательной плоскости к интегральной поверхности. Дифференциальные уравнения (1)„ если их рассматривать вдоль Л, имеют известные коэффициенты н могут служить для определения частных производных. Так как вдоль Л и, е известны, то 406 довляланив дополнительными уравнениями будут очевидные соотношения: дг ди Ио = — — гЫ + — ду. дх ду ди , ди ~1и= — г(х -, '— Иу, дх ' ду (2) Вдоль Е уравнения (1), (2) образуют систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно первых частных производных. Частные производные определяются неединственным образом, если вдоль Е определитель системы Л и надлежащие числители Лы Л„Л„Л, в формулах Крамера обращаются в нуль.
Выпишем первое условие в с в в, с о, ду О О О Их ду А Аа г(х О илн в развернутой форме а ( — ) — 2Ь вЂ” -Рг=О, /дух', ду гдх) дх ' где введены обозначения: а =-СтА — А С„ дифференциальное уравнение (3) распадается на два уравнения —" = — (Ь ~)ггда — ос) ду ах а (4) Если в некоторой области х, у Ь' — ас ) О, то в каждой точке этой области имеются два различных характеристических направлгпил; в этой области система (1) будет гиперболического типа.
Гели да†ас =- О в некоторой области к, у, то в каждой точке последней имеется лишь одно характеристическое направление: в этом случае система (1) †параболическо типа. Наконец, если Ьг — ас ( О, то в соответствующей области вещественных характеристических направлений не существует, н система (1) называется эллиптической. Так как коэффициенты уравнений (1) †функц х, у, и, о, то, вообще говоря, система (1) может быть различного типа в различных областях. Решение системы уравнений гиперболического типа тесно связано с характеристическими линиями, определяемыми дифференциальными уравнениями (4) и покрывающими область х, у криволинейной сеткой. 407 довлвлвнив 2.
О приводимых уравнениях Во многих разделах механики деформнруемых сред (плоское деформированное и напряженное состояния в теории пластичности, некоторые динамические задачи теории пластичности и т. д.) встречается система однородных уравнений: ди ди , д» дь адх аду»дх ' »ду где коэффициенты А, В» ..., Е) — функции только и, о. В этом случае система (1) называется приводимой, так как путем обращения переменных приводится к линейной системе. Пусть х =- х (и, о), у =у (и, и). Дифференцируя, получаем дх д» +д» дх ' дх ди диду ' дх ди ди дх О дхди ди ду О дуди ду~Ъ ди дх ди дх ' дуди, ду дь диду ' дь ду ' Отсюда находим частные производные: дх 1 ди ду 1 дь ди Хду ' ди Хдх ' ду 1 ди ди й дх' дх 1 <Ъ ди Д ду Заметим, что если система линейна, т.
е. коэффициенты уравнения (1) †функц только х, у, то сетка характеристических линий не зависит от решения. Для нелинейных уравнений характеристические линии зависят от искомого решения. Приравниванне нулю числителей Л, = 1х, — — ьта = гх4 — — О приводит к соотношениям межлу неизвестными функциями и, о, выполняющимся вдоль характеристик. Теория гиперболических дифференциальных уравнений (1) изложена в книге Р. Куранта и К. Фридрихса [х»), гл. !!.
Вопросы теории гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными рассмотрены также в книге Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической физики», т, !1, гл. Ч„ в «Курсе высшей математики» В, И. Смирнова, т. !Ч, гл. Ш, в книге Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко ~Системы квазнлинейных уравнений», 1968. 408 довлвления где Л вЂ функциональн определитель: 1З(и,е) диде дий~ В(х,у) дхду дудх ду дх ду дх Аг — — В, — — Сг у + глг — = О, ду дх ду дх А — —  — — С вЂ” + Э вЂ” =О. ада ада хди хди (2) Система (2), вообще говоря, не эквивалентна системе (1), так как при преобразовании теряются решении, обращающие в нуль функциональный определитель Ь. Однако эти решения отличаются простотой и могут быть получены непосредственно. Эти простые решения (простые волны, $ 77, простые напряженные состояния, 8 33, и др.) играют важную роль в приложениях.
Вопросы теории приводимых уравнений рассмотрены в книге Р. Куранта и К. Фридрихса 11'1, гл. И, и статьях С. А. Христиановича (тат~ и С. Г. Михлина (аа]. Внося в уравнения (1) частные производные и сокращая на Л, приходим к линейной системе: ' ЛИТЕРАТУРАа) А. Книги 1. А л ь ф р е й Т., Механические свойства высокополимеров, Гостехиздат, 1952. 2.
Ар утюн ян Н. Х., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехнздат, 1952. 3. Безухов Н. И., Основы теории упругости, пластичности и ползучестн, Высшая школа, 1961. 4. Биргер И. А., Круглые пластинки и оболочки вращения, Обороигиз, 196! . 5. Боли В., Вей пер Д., Теория температурных напряженкй, Мир, 1965.
Б. Б ридж мен П., Исследования больших пластических деформаций и разрыва,„ИЛ, 1955, Ба. Вол ьмир А. С., Устойчивость упругих систем, Физматгяз, 1963. 7. Г воздев А. А., Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия, Стройиздат, 1949.
8. Голушкевич С. С., Плоская задача теории предельного равновесии сыпучей среды, Гостехиздат, 1948. 9. Гол ьдеиблат И. И., Некоторые вопросы механики дефармируемых сред, ГИТТЛ, 1955, 10. Г оффмвн О., Закс Г., Введение в теорию пластичности для инженеров, Ыашгиз, 1957. 11. Й влез Д. Д., Теория идеальной пластичности, Наука, 19ББ. 12. Йлыоши н А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
