1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 70
Текст из файла (страница 70)
245, в). 2 78) о схеме жестко-плкстичвского телА 879 Теоретические выводы удовлетворительно подтверждаются экспернментамн (та'з4'ьз ьь). Заметим, что предположение о малости деформаций не является существенным. Вычисленные очертания деформированного при ударе стержня хорошо соответствуют наблюдаемым (рис. 246). 8 78. О схеме жестко-пластического тела в динамических задачах. Некоторые энергетические теоремы П О схеме жестко-пластического тела в дннамнческнх задачах. Если допустимо пренебречь влияннем скоростн деформации, зависимость между напряженнем н деформацией можно условно изобразить графиком о-е, приведенным на рис. 247, а; начальный линейный участок является упругим.
При значительных пластических деформациях можно пренебрегать упругими деформациями, т. е. аналогична задачам статикн нсходить нз схемы жестко-пластнческого тела. При с9 Рис. 247.. а) этом мы приходим к графику, показанному на рис. 247, б. Если упрочненне незначительно, целесообразно исходнть нз схемы идеального жестко-пластического тела (рис, 247, в). Пренебрежение упругими деформациямн существенно упрощает решение н позволяет в ряде динамических задач получить простые результаты. Жестко-пластическая схема приголнз, если пластическая работа значительно (сказсем, на порядок) превышает упругую энергию. Это условие вытекает из решений некоторых упруго-пластических динамических задач.
Разумеется, строгая оценка пластической работы и упругой энергии по исходным данным задачи практнческн недоступна. Однако особенности рассматриваемой задачи обычно позволяют судить о возможности пренебрежения упругой деформацией. Например, если необходимо определить аначнтельные пластические изменения формы в резуяьтате удара, упругие дсформзции можно, как правило, исключить из рассмотрения. Примером другого типа может служить задача о сильном взрыве (сферическом) в упруго- пластической среде; хотя пластнческая работа здесь может знзчительно превосходить упругую энергию, упругнмн деформациями 88О [гл. х~ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ пренебрегать нельзя, если необходимо знать интенсивность упругих воли, излучаемых при взрыве. Жестко-пластическан схема получила широкое распространение в задачах о воздействии импульсивной нагрузки на балки, круглые пластины, оболочки, представляющих значительный прикладной интерес.
Так, бзлка остается жесткой, пока изгибающий момент М не достигает предельного значения М,. В последующем в балке эу образуются пластические шарниры (нлн пластические зоны), в которых (М( = сонэ(= Ффл =Ма (рис. 248). Изучая движение жестких и пластических участков балки с учетом условий на нх границах, можно определить остаточные деформации балки и время десу у(псФгажг формирования. Относительная простота уравнений движения жестко-пластической балки позволяет определять не только малые, но и большие ее прогибы.
Следует, однако, иметь в виду, что жестко-пластическая схема в динамических задачах приводит в общем лишь к качественно хорошему согласию с экспериментальными данными для смещений; количественные же расхождения могут быть значительными. Рис. 248 Первые работы по использованию жестко-пластической схемы в динамических задачах принадлежат А. А.
Гвоздеву (1943 г.) и Тэйлору (1946 г.). Интенсивное развитие этого направления началось несколько позднее после Р~бот Ли и Саймондса (1952 г.), Прагера и Гопкинса (1954 г.) и других автоРов по динамике жестко-пластических балок и пластин (см. ('э '" "э "э)). 2. Некоторые энергетические теоремы. В динамике жестко-пластического тела пока не найдены достаточно общие теоремы, которые позволяли бы получать эффективные оценки решений (аналогично теоремам о предельной нагрузке, гл. 1(!П).
Несколько простых теорем частного характера недавно установил Мартин [эээ). Пусть в начальный момент времени 1=0 известны скорости оэт точек рассматриваемого жестко-пластического тела, а при г )О на поверхности тела равны нулю либо поверхностные усилия Х„ы либо скорости сг. Предполагается, что при деформации тела конфигурация последнего мало изменлегсл; массовые силы для простоты не рассматриваются. При сделанных предположениях известна начальная кинетическая энергия тела, которая в последующем движении полностью расходуется на пластическое деформирование тела, поскольку внешние воздействия при г' О никакой работы не производят. Естественно, что й некоторый момент аремени г' = г' движение нрекратнтсн, $78) о схеме жестко-пластического твлк 381 Теор е ма 1.
Время дефврмирвеания 7 имеет нижнюю границу ~ рсгст й'т' () ~ от161 йУ (78.1) ~ оЩ д Г~ ') о,'Д'В а И = Е>'. Таким образом, 1 ( — рег)о,'И/(В'. Интегрируя это неравенство по времени от 1 = О до с = г', находим: ~ — ) рого;Н(т~ ( ПЭ'. Учитывая начальные значения о; и полагая о„'~ Т = О, приходим к неравенству (78.1). Теорема 2.
Для пвверкнвстнык смещений ит эа время деформации справедлива оценка сверку Х.'цдз~~ —, ро,"Ит, (78.2) где Х~ — не зависящие от времени усилия, отвечающие статически возможному напряженному состоянию текучести птт (см. 8 64,5), т. е. у(о„) — К(0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно общему уравнению мехзницц имеем; $ ( — ро() ог й И ~ ог7$~(41', где р — плотяость тела, от в кинематически возможное поле скоростей, не зависящее вт времени, о,"; — напряжения, определяемые по скоростям деформации Цг согласно ассоциированному закону пластического течения (см.
и 16) $,,=) — 'г, Х) О, где У'(ог ) — К О вЂ” уравнение поверхности текучести. В знаменателе правой части (78.1) стоит мощность кинематически возможной пластической деформации; обозначим ее через О'. До к аз а тел ь с т в о. Согласно общему уравнению механики имеем (точка означает производную по времени): ~ ( — ро;) о) дИ= ~ оВКд~ дЪ', где о;, о; — действительные напряжения и ускорения. В силу локального принципа максимума (о,"; — о;-)Ц1' О (см. Я 64, 65), следовательно, [гл. х~ 382 динлмичвских злдлчи По локальному принципу максимума ~ пг $г и'У) ~ и,'Д; с(У. Но в силу (64.6) ) пгДО дУ= ') Х„'~огс(Ю.
Следовательно, — ~ — п,Л «~Х, .ж 3 Рр З,) 2 Интегрируя это неравенство по времени от 1 = — 0 до У =-7 и учитывая, что при 1=0 из=О, о,=п,', а при ~=К и;=-и;, о;=О, приходим к искомому неравенству. Приведенные теоремы нетрудно сформулировать в терминах обобщенных сил и перемещений, что удобно при рассмотрении стержней, пластин и оболочек. Сравнение оценок, получаемых по теоремам Мартина, с некоторыми точными результатами показывает, что время деформирования т определяется с небольшой погрешностью; оценка же перемещений заметно завышена. Слабым местом доказанных теорем является предположение о малости изменений формы тела, плохо согласующееся с условиями применимости схемы жестко-пластического тела в динамических задачах.
3. Пример. Пусть в момент 1 = 0 свободно опертая балка (рис. 249, а) испытывает воздействие импульсивной нагрузки, сообщающей всем сечениям балки постоянную начальную скорость оа. а) Рнс. 249. Возьмем в качестве не зависящего от времени кинематическн возможного поля скорости треугольное распрелеление, показанное на рис. 249, б. Прн этом в середине балки имеется пластический шарнир, а каждая половина балки вращается как твердое тело относительно опоры с угловой скоростью г». Тогда о' = юх, а Е>' = 2Маю, ф 79] пгодольный удлг жгстко-пллстичвского стияжня 383 Легко видеть, что ро,'и; д1'= 2 ~ лгпоюх дх = глоо]ош, где лг — масса единицы длины балки. Согласно неравенству (78.1) получаем: ~ ~ жоо] (78.3) что совпадает с точным значением, найденным Саймондсом.
Вычисляем, далее, правую часть неравенства (78.2) — рпо* ИЬ'= 2~ — о дх = лгЫ,',. 2 ~ 3 2 о Возьмем в качестве статически возможной нагрузки сосредоточенное усилие Р', приложенное в середине балки и соответствующее ее предельному состоянию, т. е. Р' = — М,. Тогда из (78.2) следует оценка для прогиба и в середине балки — 1 ю1о] и~ — — ' 2 М, (78.
4) Эта оценка в полтора раза выше точного значения. 4. Заключительные замечания. Приведенные теоремы распространены Мартином на тела, обладающие упрочненнем и вязкостью. В недавно опубликованной работе В. П. Тамужа (хоо] показано, что действительные ускорения минимизируют некоторый функционал. Зтот принцип может быть использован, в частности, для получения приближенных решений; см. также ]го«]. 9 79. Продольиый удар жестко-пластического стержня о неподвижную преграду Рассмотрим, следуя Тэйлору [гоо], задачу о нормальном ударе цилиндрического стержня (начальная длина У ), движущегося с начальной скоростью о„ о неподвижную недеформнруемую преграду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
