1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Допустим сначала, что нагрузка (;1(1) растет и найдем $. Для элемента на границе х = Б1 имеем: т1$а — — = О. с) 21 Вращение жесткой части определяется уравнением тгв$а 3 — га = — (уйв — 4), (80.13) аналогичным уравнению (80.6). Из выписанных уравнений вытекает, что 390 [гл. х! ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ вЂ” (à — М~=~ ( . О! 4 (80. 1 7) При м($7 о=сох, при х)~$1 сс ласно (80 4) то= ') (З/27Л= О =-2) —.,'7(Ф), поэтому уравнение (80.17) принимает вид (80.18) Дифференцируя это уравнение по времени и используя соотно! т!Е$ шение (80.13), получаем, что — 7(1) = — ю. Тогда легко видеть, что 2 М У=в 121 ! (1) ' (80.19) Выясним условия реализуемости рассматриваемого режима.
Дифференцируя (80.19), находим, что вследствие условия (80.6), которое можно записать в виде 7(~) б7, будет 2яя= — (1 — 7) )О, т. е. 8')О. Исключая здесь с помощью (80.19) величину 1, находим: )еь (чена т. е. неравенство (80.16) действительно имеет место. Устремляя в соотношении (80.19) ! — О, приходим к начальному положению границы (80.
20) ЧОРΠ— — 12, Ро = $ (О). В момент l' $ = 1, следовательно, ! (1') — 121' = О. (80.21) (80.22) на границе скачок ускорения согласно уравнениям (80.4) и (80.13) равен о — о, =- —, ( д — —., ) = О, обращаясь в нуль в силу (80.14). Скачок угловых скоростей также равен нулю. Пусть теперь нагрузка 1,)(1) падает, тогда 962 — 12(0, (80,16) иначе нарушится условие совиестности (80.3). Составим уравнение моментов количества движения половины балки О~х(7 относительно левой опоры: ф 80] ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 391 Угловую скорость ю' в этот момент можно найти из (80.20): щ1з — ю' = 61', М„ (80.23) а перемещение средней точки и' †интегрировани уравнения для й: — и'= — ~ У(1) Г(1.
лз1з, ! Г М„2 а з (80.24) У(1) — 47= 0. (80. 26) Интегрируя уравнение (80.25), находим угол поворота, накапливаемый в рассматриваемой стадии движения: лз1з М 4~ () 2( Определяя теперь смещение 18 в конечный момент 1 и присоединяя предыдущее смещение (80.24), получим суммарное перемещение средней точки и: — , 'и= —,~у(1) Г(1+ — , '~ЮГ(1 — — ~1'(1) — — Р(1')~. (802у) к з В средней точке балки в течение заключительной стадии движения образуется надлом, В случае прямоугольного импульса (рис. 253, а) 1(1) = дзт прн Ом" г~т, аозт при 1)т, н нз (80.22), (80.26) следует, что 1 1' *= — узт, 12 1Яз Движение при 1 ) 1'.
В этой заключительной стадии движения угловая скорость вращения вновь котвердевшей» половины балки определяется прежним уравнением (80.6), но с начальным условием: при 1=1' ю=-ю'. Найдя соответствующее решение и используя зависимости (80.22), (80.23), получаем: — Га = — у(1) — 31 (1) 1'). Движение заканчивается при а=0 в момент 1, определяемый соотношением 392 [гл. х! динамнчвскнв задачи Максимальный остаточный прогиб согласно (80,27) равен чот — а= — '(йо — 3) (д > 12).
М 12 (80.28) В данном примере согласно (80.19) в промежутке времени (О, т) граница я=$о, т. е. неподвижна; она смещается лишь при ! > т. Нетрудно вычислить энергию, поглощенную балкой. Лля средней нагрузки (а»~12) поглощение происходит в центральном шарнире. При сильной нагрузке (ао > 12) энергия поглощается на стационарной границе я=$о, в зоне непрерывных пластических деформаций зо < $ <! и в центральном шарнире в=1.
5. Заключительные замечании. Анализ иных случаев нагружения паказывает, что «форма» импульса мало влияет на прогибы, которые в основном определяются максимальной нагрузкой ао и полным импульсом о« тото= ) пдй о Лругие случаи нагрузок (сосредоточенные, неравномерные, ...) и закреплений балок рассмотрены в ряде работ [нм "о] аналогичными приемами. Экспериментальные данные удовлетворительно подтверждают расчеты по жестко-пластической схеме при развитых пластических деформациях.
Отмечаемые иногда расхождения обычно связаны с влиянием осевых усилий, возникающих црн больших прогибах, и отклонений от идеальной пластичности. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Х! 1. Круглый цилиндрический стержень ггн0 испытывает скручнвающий удар, приложенный к концу г=0. Если скручивающий момент достаточно велик, то распространится волна упруго-пластической деформации. Вывестн дифференциальное уравнение распространения деформации скручивания в предположении, что материал следует упруго-пластической схеме с площадкой текучести, а сечения стержня поворачиваются целиком. Оя«ааль д1о 'дго' о о~а,) ' о У р ' где до †скорос распространения упругой волны, с в радиус упругого ядра, 0 †уг поворота сечения.
2. Найти скорость распространения скручивающей волны упруго-пластической деформации для упрочияющегося стержня ($ 30, 3). 3. Вывести дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня переменного сечения (Я вЂ” площадь сечения). Оа«огль да 3' (х) дои а+3 '=р о. 4. При внезапном приложении растягнвающей нагрузки к упругому (а Ев) стержню, масса которого незначительна в сравнении с массой груза, динамическая деформация е в два раза больше деформации ео при статиче. оком (медленном) нагружении (см. [4'[, 1, 8 64).
Найти отношение в"/зо для стержня, подчиниющегося закону деформации а=Вар, гдт В, [) — постоянные ел (О < [)(1), Показать, что — )2 и стремится н е 2„718... при [)-»О. Глава ХП СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ й 81. О сложных средах 1. Влияние вязкости. В предыдущих главах рассматривалась пластическая деформация, не зависящая от времени (атермическал пластичность). По сравнению с уравнениями Гука новые уравнения состояния более полно описывали механические свойства реальных тел, и именно поэтому полученные результаты приобрели важное значение в решении вопросов прочности машин и сооружений. Деформационная теория пластичности н теория пластического течения относятся к описанию необратимых равновесных процессов деформации.
Однако не всегда можно пренебрегать влиянием вязкости (связанной с тепловым движением атомов); тогда неизбежен анализ процесса деформации во времени. В одних случаях (например, при деформации сталей в условиях нормальной температуры) влияние времени пренебрежимо мало, и можно исходить из упомянутых теорий пластичности. В других случаях это влияние оказывается значительным, существенно изменяя всю картину деформации.
Так, даже прочные стали в условиях высоких температур обнаруживают текучесть при малых напряжениях и могут накапливать с течением времени большие деформации (явление полаучести). При быстрых движениях (связанных, например, с колебаниями, ударами) нередко необходим учет вязкости. В современной технике все большее зиаьение приобретает использование сложных механических свойств высокополимеров, к которым относятся всевозможные резины и различные искусственные и естественные волокнистые материалы. Для этих материалов характерна важная роль времени; процессы деформации здесь являются неравновесными. На основе изучения механических свойств сложных сред складывается новая наука — реология (см.
[аь «т)). В втой главе рассматриваются лишь сложные пластические среды; под ятям термином условимся понимать «обычнуюа пластическую среду, осложненную относятельно простымя явлениями вязкости. С более полными реологическимя уравненяими можно ознакомиться по княгам [аа аа'а«1. 394 (гл. хц слОжные сгеды. Вязко-пластичность 2.
Механические модели. Механические уравнения состояния сложных сред обычно иллюстрируются при помощи простых механи- ческих моделей. В этом разделе для простотырассматривается одноосное напряженное состояние (растяже- ~6 ~6 ние стержня); соответствующее напряжение обозначим через О, относительное удлинение в через в, скорость относительного удлинения — через $. Упругий элемент, подчиняющийся закону Гука а= — Ее, (81.1) а/ изображается в виде прухснны (рис.
255,а). закону вязкости Ньютону Рде де (81.2) Рис. 288, Вязкий элемент, следу гднй где В, ел †постоянн, соответствует нелинейно вязкому течению (ползучестн) металлов. Можно также рассмотреть модель упрочняющейся пластической среды. 3. Вязко-упругости. Соединение упругих и вязких элементов приводит к так называемым упруго-вязким средам. Пзраллельное соединение (рис.
257, а) двух элементов †упругого и вязкого — приводит к упруго-вязкой среде Фойгта О = Ев+ )ь,—,. (81.4) где )ь — коэффициент вязкости, изображается моделью, состоящей из поршня, двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 255, б). Жестко-пластическое тело при напряжениях ниже предела текучести не деформируется; течение развивается лишь при напряжениях, удовлетворяющих условию текучести (О=О,). Эта среда изображается в виде площадки с сухим трением (рнс, 255, в). Комбинируя эти простые модели, можно вводить в Е рассмотрение различные сложные среды. Например, упруго-пластическая среда характеризуется моделью, в которой последовательно соединены упругий и пластический элементы (рис.
256). Другие примеры сложных 6э сред излагаются ниже. Заметим, наконец, что упругому (или вязкому) элементу можно приписывать нелинейный закон упругости (илн вязкости). Например, зависимость — „=В)О)"-го, (81.3) 8 81) О СЛОЖНЫХ СРВДАХ Это уравнение можно получить, если учесть, что полное напряжение в среде будет складываться из напряжения, соответствующего упругой деформации, и напряжения, вызываемого вязким сопротивИе пением. Упруго-вязкая среда в состоянии покоя ( — = О) ведет себя ~Д— 1— как упругая.
Напряжение в среде растет вместе с увеличением ско- ~п рости деформации. Если сообщить среде постоянную деформацию в = сопз1, то в среде Е возникнет постоянное напряжение О = Ее. Если нсе ее нагрузить постоянным напрянгением ц=-сонет=па при 1) О, Р то из (81.ч) получаем; е= — е(1 — е и ), ар Фр т. е. деформация постепенно наоь Рнс. 257. растает, стремясь к значению — ', Е Упруго-вязкая среда была впервые подробно изучена Фойхтом в связи с проблемой затухания колебаний и в дальнейшем рассматривалась многими исследователямн 1' 'е ее).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
