1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть известна условная кривая одноосного статического сжатия цилиндра а = а(е), где и, в †напряжен и деформация, отнесенные соответственно к начальной площади Р, и начальной длине 7 (рис. 247, а); пренебрегая упругими деформациями, получим кривую, показанную на рис. 247, б; пластическое течение при этом начинается со значения и = и, («предел тскучестиа). Пусть фронт волны пластической деформации распространяется от неподвижной преграды со скоростью й и оставляет за собой 334 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [гл. х| покоящийся материал; справа от фронта — материал жесткий и движется как твердое тело (рис. 250) с уменьшающейся скоростью о.
На фронте скачком изменяются площадь поперечного сечения и напряжение: перед фронтом имеем гт и о, (так как материал перел фронтом становится почти пластическим), за фронтом Г и и. Из уравнения несжимаемости вытекает, что А"Г= (У+А') РО (79.1) Деформация за фронтом волны может быть вычислена следующим образом: в единицу времени столбик недеформированной части длиной о-(-у переходит в столбик деформированного материала длиной и. Относительная деформация сжатия при этом будет в=— а — (а+а) я "+а "+й — (79.2) Пусть й — длина недеформированной части образца в момент У; очевидно, что — —,Г = и-; А. (79.3) Рнс. 250. При прохождении фронта волны через элемент стержня Нх = — гй (о-р х ) скорость последнего обращается в нуль.
По теореме количества движения РГ, (~+ и) А = Р, ( — о,) Ж, где р — плотность, предполагаемая неизменной; таким образом, р(о+х,) о=о — о,. (79.4) Составим уравнение движения недеформированной части стержня; так как последняя имеет переменную длину Ь, а следовательно, и переменную массу, то в правой части уравнения к приложенным силам необходимо присоединить силу реакции отделяющейся массы. Но материал стержня перед фронтом волны становится почти пластическим, поэтому можно считать, что ксуммарная сила» Р достигает значения — С,Гв.
Итак, уравнение движения недеформированной части стержня имеет вид рл — „— ==- — а,. аа (79.5) )(з (79,2), (79,3) следует: й 80) ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 385 и из (79.5) получаем по умножении на Π— Г7 (1 ') = О,з О ()П Ь). Но в силу (79.2), (79.4) имеем: Роо = В (Π— О,). (79.6) Следовательно, Г((а (П вЂ” а,)~ =-2о,е д(1п Ь).
Отсюда при начальных условиях Ь.-)о е =со в=во пРн 1=0 получаем: (79.7) Значение е определяется из (79.6) Рпо= З (Π— П ), Так как кривая о=о(в) известна, то уравнение (79,7) Определяет остаточную деформацию е в зависимости от длины Ь. Согласно (79.6) находится скорость О как функция Ь, а по соотношению (79.2) — скорость фронта пластической волны А как функция Ь. Наконец, зависимость от времени определяется по уравнению (79.3). Вычисленные таким способом очертания деформированного при ударе стержня хорошо согласуются с наблюдениями (рис. 246) и с расчетами по более точной теории, учитывающей упругость материала.
й 80. Изгиб жестко-пластической балки иод действием импульсивной кагрузки 1. О схеме жестко-пластической балки. Балка остается жесткой, пока изгибающий момент М не достигнет предельного значения М,. При этом могут возникнуть неподвижные (стационарные) или подвижные (нестационарные) пластические шарниры (рис. 251, б) или, наконец, некоторые пластические зоны (рис. 251, в). Между пластическими шарнирами и зонами будут жесткие участки, для которых ~М) ( М,.
В процессе движения положение шарниров и пластических зон, вообще говоря, изменяется. Интенсивные динамические нагрузки нередко приводят к значительным деформациям балки. Естественно, что при этом важное значение получают продольные усилия, которые могут возникнуть при отсутствии смещений опор. 386 [ гл, х~ динлмичзскиз злдлчи Ниже рассматриваются простые задачи, в которых осевые усилия отсутствуют.
Жестко-пластическая схема приводит в динамических задачах к удовлетворительным результатам, если пластическая работа существенно (скажем, на порядок) превышает максимальную упругую энергию Мв1 балки —, где У вЂ” момент инерции поперечного сечения, 1 — длина 2ЕУ балки. Это условие обычно реализуется при заметных пластических прогибах балки. 2. Условия книематнческой совместности. Направим ось х по оси балки п сть 1 в лина или пол лина а) " (м)=-н, (80.1) и =и„. Дифференцируя это соотношение по времени, находим: ди ди дх ди+ ди+ дх дг дх дг дГ дх дГ или — „= — д(е — в.).
Здесь правая часть равна нулю. Действительно, для неподвижного пластического шарнира а= 0; если же шарнир перемещается с конечной скоростью, то соседние сечения не успевают повернуться на конечный угол за мгновение, в течение которого шарнир проходит упомянутое сечение. Итак, (80.2) л ( уд ) — 4 гг балки. Введем следующие обозначения: 1+ ах ди В = †" со = В, гл †соответствен угол дх ' наклона касательной к оси балки, угловая скорость и угловое ускорение; ф о= й, а в соответственно скорость прогиба и его 1'лкорение, Обозначим, далее, через $1 расстояние от левого конца балки до пластического шарнира Рис. 251.
(рис. 251, а) или пластической зоны (рис. 251, б), через а= (й — скорость движения шарнира (или распространения пластической зоны). Значения величин слева от шарнира (слева от границы пластической зоны) условимся отмечать индексом †, справа †индекс + . На шарнире (на границе) х = (й должны выполняться условия кинематической совместности.
Прежде всего в это очевидное условие непрерывности прогиба 5 8О) ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 38У Дифференцируя теперь это соотношение по времени, получаем: о — тг = — ~(ег — ег ), (зо.з) т. е. разрыв в ускорении прогиба пропорционален разрыву угловой скорости. 3. Об уравнениях движения жестко-пластической балки. Анализ движения жестко-пластической балки основан на совместном рассмотрении движений ее жестких и пластических участков.
Уравнение движения частиц пластического участка несложно. Здесь по условию текучести изгибающий момент постоянен (М= сопе1=-М,), вследствие чего перерезывающая сила равна нулю и уравнение движения имеет вид лги=и(х, ~), (80Г4) где д(х, г) †распределенн нагрузка. Уравнение лвижения жесткого участка (рис. 251, в) прн ненодвиас- ном шарнире также нетрудно написать. Если шарнир нестационар- ный, то длина жесткого участка (а слеловательно, и Щг его масса ог$О изменяется, поэтому необходимо, вообще а) говоря, учитывать реактивные силы, возникающие л вследствие отделения частиц от тела (или присоединения их к телу).
Как известно, 4мум,гг этн силы пропорциональны разности скоростей частиц у ) 4 и тела. В рассматриваемой задаче движения жестко- — с:с —..З пластической балки эта разность на границе в силу (80.2) равна нулю, поэтод) му лополнительные реактивные силы не возникают и можно, как правило, исходить из обычных форму- Рис. 252.
лировок законов механики, 4. Пример в шарнирно опертая балка под действием равномер- но распределенной импульсивной нагрузки. Рассмотрим движение шарнирно опертой балки (рис. 252, а), испытывающей воздействие равномерно распределенной нагрузки д = 1;1121 взрывного типа; по- следняя действует в промежутке времени (О, т), в течение которого она постоянна (рис. 253, а) или убывает (рис. 253, б), причем б) [гл. х1 388 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ предполагается, что ') 1;1д1 =г 111 (1). О (80.5) нагрузки д = 111/М,.
ся, пока максимальный изгибающий значения М,. Это произойдет, как нетрудно видеть, при а=-.4= — а, для среднего сечения балки. Итак, при слабой нагрузке а С 4 балка остается жесткой. Движение балки при средней нагрузке (4~у(12). Прн нзгрузке, несколько превышающей дм жесткие половины балки вращаются на опорах (рис. 252,б) при неподвижном пластическом шарнире посередине. Уравнение имеет вид Ввелем безразмерный параметр Балка не будет деформировать момент не достигнет предельного а/ б/ Рис. 253. вращения левой половины балки т1г ° 3 — в = — -(а — 4). М 4 (80.6) Поскольку нагрузка мгновенно достигает максимального значения, начальные условия †нулев, именно: при 1= — 0 и=О, в=О.
(80.7) Уравнение (80.6) сохраняет смысл, пока изгибающий момент в жесткой половине балки нигде не превысит М,. Изгибающий момент определяется равномерно распределенной нагрузкой интенсивности с1/21, инерционной ру нагрузкой — лгвх и предельным моментом М, в шарнире. При малых значениях углового ускорения эпюра изгибающего момента показана на рис. 254 сплошной линией, Ю при большом ускорении — пунктирной. В 1 последнем случае вблизи шарнира перерезыРнс.
254. вающая сила отрицательна, что будет, как легко видеть, при т1в > сг/21. Поэтому уравнение (80.6) верно при лг(в (~/21. Полагая в уравнении (80.6) лг/в=Я/21, найдем наибольшую нагрузку у=12=у„ниже которой движение реализуется с одним сосредоточенным шарниром в середине балки. 9 80) ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ Интегрируя уравнение (80.6), получаем: 389 — =тна — ас (ге=(чм). тр 3 а (80.8) Движение прекратится в момент 1 = 1, когда угловая скорость обратится в нуль; тогда 1 (1) — 41 = О. (80.9) Интегрируя, далее, уравнение (80.8) и полагая 1 = — 1, найдем очертания деформированной балки (излом посредине, рнс. 252, б), определяемые углом 0 = 0 (1): (80. 10) (80.
12) а8в — 12=0, (80.14) 4)/3 — в=а'1'. (80.15) Приведенные уравнения верны при возрастающей нагрузке Ц(1), когда й'(О и левая часть балки х < Ц остается прямой. При этом 15 л. м. Качанов — 0 = — ~1(1) д1 — — 1'(1). а Для прямоугольного импульса (рис. 253, а) будет — 0 =32(уо — 4)уот' (Чо=+~(12). (80 11) М„32 о а Максимальный прогиб равен и= 10. Движение балки лри сильной нагрузке (у) 12). В этом случае при нагружении образуется пластическая зона ) х ~ ) $1 (рис. 252, в), в которой изгибающий момент постоянен. Эта зона при определенных условиях (см.
ниже) сокращается, стягиваясь в некоторый момент 1 = 1' в точку в пластический шарнир посредине. Прн 1 ) 1 происходит движение с одним неподвижным шарниром (рис. 252, г). Рассмотрим движение при 1 < 1'. В пластической зоне оно описывается уравнением (80.4), причем нагрузка д =(г/21 не зависит от х, поэтому пластический участок движется вниз, не деформируясь (рнс. 252, в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
