1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Указанное выше расхождение объясняется, возможно, влиянием отклонений от идеальной формы. Известно, что даже для упругих пластин и оболочек классическая теория устойчивости приводит к результатам, отклоняющимся от опытных данных. При пластических деформациях влияние на критическую нагрузку конечных перемещений„отклонений в геометрии. материале и граничных условиях сильно возрастает,чДля получения более удовлетворительных количественных результатов, вероятно, неизбежен трудный анализ деформации пластин при наличии начальных возмущений. Литература по устойчивости пластин н оболочек за пределом упругости огроина. Укажем здесь на книги А. С. Вольмира и С. П. Тимошенко н обзорные статьи ['з '«[, в которых читатель найдет необходимые ссылки. ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ Х 1.
Вычислить приведенный модуль ЕА Для КРуглого сечения. 2. Вывестн днфференц иальное уравнение выпучивания (для нижней крити. ческой нагрузкй) дзу Ртз),з У=О (1 — 1)з дт У"З [1 — р (1 — 1)[ консольной полосы, изгибаемой силой Р, приложенной в центре тяжести концевого сечения Г=! (положено г=Л, Р=Р([М„).
3. Вывестн дифференциальное уравнение выпучивания (для нижней критической нагрузки) '1 у (1 — 1)' дтэ — У+Азрз для консольной полосы, изгибаеыой нагрузкой (С/1, равномерно распределенной ([1 вдоль оси (здесь р= —, Гс — вся нагрузка) 2М„' 1 1 4. Показать, что при условии несжимаемости (ч= — ( дифференциальное 2 [ уравнение выпучиваиия пластины, сжимаемой в направлейии х, принимает вий А д'ш д'ш ддш рй д'ш — — +2 уг + — + — — =О. ю, дхз дхз дух дух О дхз Глава Х! ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ й 77.
Распространение упруго-пластических волн в стержне 1. Общие замечания. Действие внезапно приложенных к телу нагрузок не распространяется мгновенно, а передается от одних частиц к другим волнообразным путем. До недавнего времени изучалось лишь движение упругих волн, т. е.
распространение возмущений в упругой среде; динамическая теория упругости имеет важные приложения в сейсмологии и технике. С конца второй мировой войны проявляется большой интерес к вопросам распространения возмущений в у п р у г о - п л а с т и ч ес к о й среде. Это объясняется следующими причинами. Всякое сколько-нибудь интенсивное ударное нагружснис сопровождается пластической деформацией. Вопросы прочности различных машин я сооружений, испытывающих удары (или подверженных действию взрывов), могут быть исследованы лишь при ясном понимании закономерностей распространения упруго-пластической деформации, предшествовавшей разрушению.
С другой стороны, реальные среды (например, в сейсмологии) не являются вполне упругими, и возникает потребность в учете влияния пластических свойств. Наконец„ динамические задачи могут приобрести известное значение для анализа скоростных технологических процессов обработки металлов. Первые задачи о распространении упруго-пластических волн сжатия (растяжения) в стержне рассмотрели Х. А. Рахматулин (гм], Карман и Люве[тзз] и тэйлор ПэЧ. Различные обобщения этой задачи изучены Х. А.
Рахматулиным [з4], Г. С. Шапиро['зз], В. В. Соколовским и др. Подробные ссылки можно найти в книгах [геззаз] и обзорах ["-"]. 2. Основные предположения. Рассмотрим задачу о распространении волн в длинном призматическом стержне, ось которого совпадает с осью х. Будем исходить яз следующих основных предположений. 1) При деформации стержня поперечные сечения ост аются плоскими и нормальными к оси х. $ 77) глспгостгьняннз ю1гтго-пластических волн в стягжнв 369 2) Деформации малы, следовательно, можно пренебречь изменениями размеров стержня.
3) Силами инерции, соответствующими движению частиц стержня в поперечных направлениях (вследствие сужения или расширения сечения), можно пренебречь. 4) Влиянием скорости деформации на кривую зависимости между напряжением и„ и деформацией з„ можно пренебречь. Так как в этом параграфе рассматривается одномерная задача, условимся вместо и„, е„, и„, о„ соответственно писать и, в, и, о. Относительное удлинение в н напряжение н распределены равномерно по сечению. До предела упругости материал подчиняется закону Гука п=Ев при (в~<в„ (77.1) где Š— модуль Юнга, а оа, ва соответствуют пределу упругости (рнс. 239, а).
Полагаем, что кривая сжатия аналогична кривой растяжения. Разгрузка происходит по прямой. Примем в согласии с опытными данными, что ветвь нагружения (при п>0) обращена вогнутостью вниз, причем угол наклона касательной — убывающая функция деформации: О« — Е. при (в()з. дп дп даи дк дтт =р — ' (77.2) Вследствие малости дефор(ванин плотность р ж сопя(.
Так как дп сЬ де де дти дх да дх ' дх дха ' то получаем:. д~и а даи дГт дха ' (77.3) где величина а= )/ —— р г(а В динамических задачах скорости деформации велики, и влияние их на кривую деформации может оказаться заметным. Поэтому принятая зависимость и =н(в) между напряжением и деформацией является лишь первым приближением и относится к некоторой средней скорости деформации в данном интервале. Учет влияния скорости деформации требует рассмотрения упруго-вязко-пластической модели среды (см. гл.
Х11). 3. Уравнение движения. Из дифференциальных уравнений движения сплошной среды (4,1) ямеем: 37О (гл. х~ динлмичеокяв Злдлчи называется местной скоростью распространения возмущений (еместная скорость звукао). В упругой области скорость распространения постоянна о ГЕ Р В пластической области скорость распространения уменьшается с увеличением деформации (рис. 239, б). Уравнение второго порядка (77.3) удобно заменить системой двух дифференциальных уравнений первого порядка до дв дв до — ае —, — = — (77.4) дт дх' д1 дх для функций е, о, где и — скорость частиц. Нетрудно убелиться в том, что эта система— гиперболического типа (см.
Добавление). Пусть вдоль некоторой линии Е заданы функции о, е. Присоединяя, как всегда, соотношения д1 +д де дв ао = — ат'+ — йх, до до дт дх Рнс. 239 получаем вдоль Е систему четырех линейных алгебраических ура е- де де до до пений относительно первых производных †, †„, †, — и находим: де Лт до Ль дт Л ' ' ' '' дх Л где Л вЂ” определитель системы, а Л„..., Лл — надлежащие числители. Легко видеть, что Л = ахв — ае аге. Если Š†характеристическ линия, то вдоль нее производные неопределенны, т. е, Л = О, Л, =.
Ле = Ле = Ле = О. Следовательно, ах .ч- а Ж = О. Условия равенства нулю числителей приводят теперь к зависимостям а ь(е т- сЬ = О. й 77) глспгостглнение кпгего-пластических воли в стеежнк 371 Введем функцию ь ~р(е) = ) а(е) ае. (77.5) Тогда нлн напряжение а = а(~). Если по концу стержня ударяет тело мзссы ль с начальной скоростью о„, то дь «т — = а8 дт при х=О, где 8 — площадь сечения стержня, причем при с=О о=па. а (о =г. ~р (е) ) = О. Итак, рассматриваемая система дифференциальных.
уравнений имеет двз различных вещественных семейства характеристик: с(х — а й7 = О, о+<р(е) =сопят=т), х+аж=О, (77.7г и — ~р (е) = сопз1 = З, т. е. относится к гиперболическому типу. Величина а является ско- ростью распространения возмущений. Решение системы (77.4), обладающее в некоторой области х, Г непрерывными первыми производными, условимся нззывать волной.
Соотношения (77.6) относятся к прямой волне (распространяющейся в направлении положительных х), соотношения (77.7) — к обратной волне. Точка раздела двух волн, перемещаьощаяся со временем вдоль стержня, называется фронтом. На плоскости х, ~ фронт изображается в виде некоторой линии. На фронте будет слабый разрыв, если величины е, о непрерывны, а нх первые производные разрывны. На фронте будет сальный разрыв, если разрывны сами функции е, о. Такие волны называются прерывными, или ударными.
Первые на занисимостей (77.6), (77.7) определяют законы рас- пространения возмущений, вторые †связыва скорости и деформа- ции частиц на характеристиках. 4. Ударное нагружение полубесконечного стержня. Рассмотрим полубесконечный стержень х ) О, находившийся при 1 = О в состоя- нии покоя.
Пусть при ~)0 концу стержня х=0 сообщаются неко- торые возмущения. Последние могут быть различного типа. Например, на конце стержня х=О может быть задана скорость о=о(1) (гл. хю динлмичзскив злдлчи Интерес представляет такой случай ударного натруженна, когда концу стержня х= 0 внезапно сообщается некоторое конечное напряжение о, или, что то же, некоторая деформация е,. Ограйичимся рассмотрением следующей основной задачи; в момент г' = О концу стержня сообщается растяжение о, и поддерживаетси постоянным (рис. 240) в течение некоторого промежутка времени 0(Г(Г,. В момент Г=Г, нагрузка полностью снимается.
Итак, начальные и граничные условия имеют вид: при г=О и(х, г) =0 ди дГ (х) 0), (х) 0), при х=О и = сопи( = и, (О ( г' ( Ф,), а=О (г~1). 5. Распространение упругой волны. При п,(аа деформации в стержне будут упругими, тогда скорость движения волны постоиннз (а = аа) и уравнение (77.3) переходит а=У в классическое волновое уравнение. Решение его в форме Даламбера имеет вид и=У(х — аа1)+ ф(х+ аД, где у", ф †произвольн функции, определяемые по начальным и граничным данным. / В плоскости х, г характеристики Рис. 240. х — ааг=-сопз1, х+ наг= сопит и = г" (х — ааг). ди 1 Но при х=Π— =У' ( — ааг) =е„где е,= — и„. Отсюда вытекает, что у (ь) = е,~ -(- С, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
