1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В действительности конструкция приспособится к некоторому полю остзточных напряжений, зависящему от программы нагружения. Поле остаточных напряжений и;~ целесообразно выбирать таким, чтобы область допустимых изменений нагрузок была наибольшей. В этом смысле применение теоремы Мелана приводит к нижним границам для пределов изменения нагрузок. Фактическая реализация этой схемы в конкретных задачах связана с известными трудностями, особенно в случаях, когда нагрузки зависят от нескольких параметров. Вообще отыскание оптимального поля остаточных напряжений йу, максимально расширяющего область приспособляемости, составляет задачу математического программирования. В стержневых решетках и рамных конструкциях условия безопасности являются, 340 (гл.
!х ТЕОРИЯ ПРИСПОСОВЛЯЕМОСТИ как правило, линейными неравенствами; тогда можно с успехом использовать хорошо развитые методы линейного программирования. Заметим также, что при определении допустимых нагрузок следует рассматривзть лишь нагрузки ниже предельных. Простой прием построения приближенного решения, основанный на теореме Мслана, излагается в следующем парзграфе. Статическая теорема приспособляемости в общем случае доказана Меланом в 1938 г.
*2. Кииемятическяя теорема приспособляемости (теорема Койтера). Пусть на части поверхности тела 3, перемещения равны нулю, а на остальной части ЯР действу1от нагрузки, медленно изменяющиеся в заданных пределах. Возьмем некоторое произвольное поле скоростей пластической деформации со11о = — Що (1). Будем называть его допустимым, если приращения пластических деформаций ЛеД,= ') Ц,Н о за некоторый интервал времени т образуют кинематически возможное ПОЛЕ (т. Е, ЛВР11о удОВЛЕтВОряЮт уСЛОВИяМ СОВМЕСтНОСтИ, а СООтзстствующее поле смещений — нулевым условиям на 5„). Полю скороСтЕй $1~1о ОтВЕЧаЮт ПОЛЕ Налряжвинй Оо (ПО аССОцИИрОВаННОМу закону) и единственное поле скоростей асопровождающихо остаточных напряжений а,';„которое можно определить следующим образом.
Из (71.3) и (71.2) имеем: я11 =- Ц1 — 01 + Ц1 Заменим здесь компоненты ЕР11 компонентами ЕР11„тогда будет Ц10 = Ц1 — Е11+ $110 Скорости деформации Цг и й,"1 связаны законом Гука со скоростями напряжений а;,. и о,';, следовательно, тем же законом связаны и разности Ц; — Ц и о; — ау = о,'„. Таким образом, 1/ (71.10) Ьгго '= С11яьоаао -Р Ьпо где с1.ло†упругие постоянные. Рассматривая равновесие тела при нулевйх нагрузках на ЯР, нулевых смещениях на Я„ и неоднородных линейных зависимостях (71.10), найдем единственное распределение скоростей сопровождающих остаточных напряжений Ооу„скоростей остаточных деформаций й,"1о и остаточных скоростей Ог . При этом я1Р1о будут играть роль данных дополнительных («наложенных») деформаций, Первые слагаемые в правой части (71.10) суть скорости $ 71) теогемы пгиспосовлявмости зпехго-пластических тел 341 упругой деформации Ц;„ вызываемые скоростями остаточных напряжений пгоГ Приращения перемещений за интервал т равны Ли,, = ') о,ой~.
о По условию приращения пластических деформаций Ля~~о за время т кинематически возможны, поэтому кинематически возможны и приращения сопровождающих упругих деформаций Лацо. Остаточные напряжения пото в конце цикла 1=..т возвращаются к их начальным значениям при 1 = О, т. е. о ~ о оцо и=о = тобо |у=о. (71.11) Тогда (71.12) Т е о р е м а К о й т е р а. Приспособляемость отсутствует, если можно найти допустимый цикл скоростей пластической деформации Ц'; и некоторую программу изменения нагрузок в заданных пределах, причем ~ йг ) ХьгогойЬе) ) йг ~ А(бдуто) Нт (71.13) о о где А($ге1о) = ог Дтл1о — моЩность пластической дефоРмации на допУ- стимых скоростях $й . т Обратно, приспособляемость наступит, если при всех допустимых циклах скоростей пластической деформации и любых нагрузках (в заданных пределах) можно найти число х ) 1, так что т т и ~ И~ ХыогойЯР~( ~ Н ~ А($ебо) йИ (71 14) о о Первая часть теоремы доказывается от противного.
Пусть существует допустимый цикл, для которого верно неравенство (71.13), и в то же время приспособляемость имеет место. Тогда по теореме Мелана существует не зависящее от времени поле остаточных напряжений обь сумма которого с упругим полем о,"1 образует допустимое поле напряжений о,'-'~. По принципу виртуальных работ имеем: (71.15) Используя опрелеление отг и формулы (71.10), легко получаем: яьгто й(' = ) опсыььоььо сЧт+ ) оцс тььоььо йЬ + ) оЯуо й)т. (гл. а ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ Так как по закону Гука еьь =.сг,„ о;"р то — ' * о,";сбььоььь й('= ~ '„,е"„, аИ= О, ибо напряжения оьььь отвечают пулевым внешним силам.
Проинтегрируем уравнение (71.15) по времени от О до т, Так как осу от времени не зависят, то вследствие (71.12) имеем: т ') г(г ~ о;,сг „,Оьььь й(к =- ) О;, й(l ~ Ц';ь й( = О. ь Стало быть, т ~ йг ) Хао,ь лог =- ~ Ж ') ОЯРть й(л, ь ь что противоречит исходному неравенству (71.13), так как (ог — пэ $лбь > О. Доказательство второй части теоремы Койтера значительно сложнее и здесь не приводится (см. (ьа)). Выбирая допустимый цикл скоростей пластической деформации и записывая (71.13) со знаком равенства, можно использовать теорему Койтера для нахождения верхних границ приспособллемости.
Применение теоремы Койтера связано с ббльшими трудностями, чем применение теоремы Мелана (исключая простейшие системы — стержневые решетки и рамы, где возможно использовать методы линейного программирования). Полезен обратный прием, предложенный В. И. Розенблюмом; укажем также на цикл работ Д. А.
Гохфельда ('ьь(. 3. Приспособляемость неравномерно нагретых тел. Ьольшой практический интерес представляет случай совместного действия нагрузок и температурного поля О = О (х„ хя, ха, 1), изменяющихся в заданных пределах, Т е о р е м а М е л а н а легко оообщается на неравномерно нагретые тела. Формулировка теоремы остается прежней, но под О,"1 необходимо теперь понимать поле термоупругик напряжений в идеально упругом теле (тьь). Т е о р е м а К О й т е р а также распространяется на неравномерно нагретые тела ('" '4ь).
Формулировка теоремы несколько изменяется: необходимо в левую часть неоавенства (71.13) включить слагаемое т за ~ йТ ~ Оо, 'й(л, ь где я — температурный коэффициент линейного расширения, о, '— скорость среднего давления для поля остаточных напряжений. 6 72) ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. ПРИМЕР З45 4. Замечание о связи между теоремами приспособляемости и теоремами о предельной нагрузке. Койтер обратил внимание на то обстоятельство, что теоремы о предельной нагрузке (6 65) являются следствием теорем приспособляемости, если полагать, что заданные пределы изменения нагрузок совпадают.
й 72. Приближенный способ решения. Пример Как уже отмечалось, для нахождении области приспособляемости с помощью теоремы Мелана необходимо рассматривать допустимые поля остаточных напряжений и в то же время располагать решением соответствующей упругой задачи при произвольно меняющихся в заданных пределах нагрузках. Применение этой схемы наталкивается на известные трудности (особенно в случаях, когда имеется несколько независимых нагрузок). Для анализа приспособляемости простых решеток н рам при одно- и двухпараметрических системах нагрузок обычно применяются геометрические приемы построения области допустимых состояний; в более сложных случаях можно использовать методы линейного программирования. Для тел произвольной формы при одно- и двухпараметрических системах нагрузок удобный приближенный прием нахождения области приспособляемости, развитый В.
И. Розенблюмом (ыа), излагается ниже. 1. Приближенный способ решения. Основываясь на теореме Мелана, рассмотрим случай, когда наарузки пропорциональны одному Параметру р; тогда решение соответствующей упругой задачи имеет вид аг", = ра,'7, где о;; †функц только координат. Выберем, далее, некоторое поле остаточных напряжений аг =Хаг;, где а,'; — функции только координат, а л — неопределенный множитель.
Согласно теореме Мелана необходимо построить поле а,,=ра,'7 )-).о;р (72.1) являющееся безопасным, т, е. 7" (а; ) (К. (72.2) Требуется найти оптимальное значение множителя Х, для которого интервал допустимых изменений коэффициента р был бы наибольшим. Рассмотрим плоскость переменных р, Х. Каждой точке плоскости отвечает некоторое напряженное состояние (72.1). На этой плоскости словие тек чести У У У(рау+ 7.а„) = К (72.3) определяет трехпараметрическое семейство кривых (пунктир на рис. 220), не проходящих через начало координат р = О, )с = 0 (ибо (гл.
~х 344 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ К) 0) и позтому выделяюших некоторую область допустимых значений. Граница атой области С образована огибаюгцей семейства (72.3) или отдельными кривыми семейства, наиболее близкими к началу координат. Если граница С построена, легко опрелелить допустимый интервал изменений параметра нагрузки р. Пусть, ска'кем, Рис. 221. Рис. 220.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
