1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В нулевом приближении ог(Р' полагаеа д(Т) —.— —, где Π— модуль о сдвига (или некоторое значение, характеризующее наклон примой, аппроксимирующей кривую леформации в начальном участке). Нулевое приближение соответствует упругому телу и опрелеляется из условия минимума квадратичного функционала с( +26 ) Коэффициенты нулевого приближении с,"' находятся нз системы линейных неоднородных алгебраических уравнений. Вычисляя по найденным напряжениям о)Р' интенсивность Т"' = ( — а)(лз1П) , полагаем О, = д(т(о((Оо) и определяем следующее («первое») приближение из условия минимума квадратичного функционала: Здесь «секущий модуль» О,— известная функция координат. При описанном способе выбора О, интенсивность касательных напряжений Т, соответствующая по линейному закону Т=- О Г некоторому значению интенсивности деформаций сдвига Г, «возвращается» в следующем приближении на кривую деформирования Т=-у(Г) Г (рис.
214). Т (о ( Очевидно, что О1 = О "(о( . Этот процесс продолжается дальше до лостижения необходимой точности. Для г-го приближения получаем: ~(У+26 Т )(о~ =ш(п, Рассмотрим, например, применение этого метода к разысканию минимума дополнительной работы. Пусть о; — частное решение уравнений равновесия (64.2), удовлетворяющее заданным условиям на части поверхности ЯР, а оы„ у = (, 2, ..., л — набор частных решений уравнений равновесия (64.2) при нулевых граничных условиях на ЯР.
Строим решение задачи минимума дополнительной работы 326 экстРемлльные пРинципы и энеРГетические методы (Гл. нп причем т'. " = О/-1ТН и (68. 5) где т'- ° т- ~т ) т.- * =й( (,б,,у Наличие переменного модуля О, в г-м приближении лишь несколько усложняет вычисления квадратур, само же г-е приближение имеет такой же вид, что и лля Т=ь" Г упругого тела. В каждом приблиТ=-С Г а женин коэффициенты с,'" определяются из линейной системы алге/ а браических уравнений.
В представлении (68.4) целесоТ=р(Т)Т образно удерживать число членов, м / 1 / 1/ обеспечивающее необходимую точ- ТР 7— ность решении упругой залачи. Разумеется, при фиксированном л / вычисление высоких приближений не / имеет большого смысла. Квадратуры / / удобно нахолить численно. При определении секущего молуля О, Т/В можно исходить непосредственно из Т /~Р опытной кривой деформирования Рис. 214.
«Т — Га. Сохранение той же формы решения в каждом приближении (изменяются лишь коэффипиенты с,"') значительно упрощает вычисления и, в отличие от других методов послеловательных приближений, исключает громоздкость результатов. Аналогичный метод применим и лля разыскания минимума полной энергии (67ЛО). В этом случае решение задачи ищем последовательными приближениями в форме и1" = и/а+,~~ с,",'инн я=1 где и/ — удовлетворяют заданным условиям на Я„, и/, обращаются в нуль на Я„ а с,'.," — произвольные постоянные. В нулевом приближении полагаем ы(Г) = сопзс =.
О . В г-м приближении л.(Г) = =й(Г - ). Возможны другие варианты построения приближений (см. обзор [аа]), а также аналогичная модификация метода Галеркина. Изложенным методом можно решить практически такие упруго- пластические задачи, для кпторых в упругом состоянии имЕется решение методом Ритца. ф 68) метод РитцА. пРимеР— упРуГО-плАстическОе ИРучение 327 3 . Пример †упру-пластическое кручение стержня квадратного сечения (длина стороны 2а). Пусть зависимость между Т и Г характеризуется линейным уарочнением (рис. 215) ОЕГ при Г «(0,0025, (19,4 †, '236Г) кн/см' при Г ) 0,0025. (68.6) ~ п16Х гг/$ =- ю/ Д ( — у у 6Р— х у 5Г) 1/х'(у = Я ~,'-( 6Г)+ —,'(У6Г)~ ( /У+2 /Д6Ы (У. Первый интеграл в правой части преобразуется в интеграл по контуру сечения и равен нулю, так как на контуре бтч= О.
Тогда вариационное уравнение (67.17) принимает вид 1рт 611~)г1чых — 2 г)чч=О, о о о (68.7) где введены безразмерные координаты $ =х/а, т) =у/а. На контуре сечения 5'= О. 1 Для упругого стержня д(Х) =сопя(= — и задача становится Оо линейной, Представим вариационное уравнение (68.7) в виде (68.8) МодУль сдвига Оо = 7,85 !О' кн/смв. ПРиведениаЯ зависимость соответствует повеленн1о никелевой стали. х,ч смг В 8 30 было выведено дифференциальное уравнение скручиваемого упрочня1ощегося стержня. Вариационное уравнение для функции напряже- нийТ(здесь сохраняются обозначения 8 30) можно получить из общего вариационного уран- /7 пения (67.17).
Работа вариа- Ю/7/ иЮ Г ций поверхностных сил на бо- Рис. 218. козой поверхности и закрепленном основании х = 0 равна нулю; на свободном же основании — имеем и„= — ыу/, и =-юх/, тогда 328 экстгемальныс пгпнципы и энгггвтические ма~оды (гл. тп! и будем разыскивать решение в форме ?нн = си'?' ! с(п?= 1 . 2 о где с',", с'," †произвольн постоянные, а Р:= Яо — 1) (г)о — 1), Р' -= )о ($о т)о) (68 9) Решение упругой задачи в этом же приближении приводит к следующим результатам: крутящий момент М=-0,1404О го(2и)' лишь на 0,15оо меньше точного значения; максимальное касательное напрвжение, достигаемое в середине стороны квадрата, равно т ,„ = 1,40О аго вместо точного значении 1,350 иго. При этом квад- ратуры легко находятся и коэффисм" циенты равны яа ,о, 5 259 ы с~01 О ио 1 8 277 о но 5 105 77 с'," == — — Ооаго.
7)7 Пщ??4 фу П 7)?Пап~~)п 6 15 277 о Рис. 2!6. При пластическом кручении распределение напряжений более сглаженное, чем при упругом, поэтому можно думать, что приближение в форме (68.9) в общем не лолжно быть хуже, чем длв упругого стержни. Секущий модуль О, вычислялся по формуле (68.5), причем интенсивность ?? " определялась согласно (68.6). Расчет проведен длв случая аго = 0,015, причем интегралы находились численным методом Гаусса. В нулевом приближении(г=.0) коэффициенты с,"', с'," лишь в шестом знаке после запятой отличаются от точных значений, приведенных выше. С целью проследить устойчивосгь результатов вычислено 10 приближений; значения и' коэффициентов (в кн?смо) даны в таблице.
Используя полученные значения постоянных (практически можно ограничитьси тремя-четырьмя приближениями), вычисляем компоненты напряжения и Рис. 2!7. интенсивность Т. На рис. 216 приведен график касательного напряжения в сечении у = 0; отчетливо видны отклонении от линейного закона.
По условию Т=- т, =-. 19,6 кн)см' найдены границы пластических зон, заштрихованных на рис. 217. Подробности вычислений можно найти в работе автора, см.(оо]. 6 69) ЭКСТ!ЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ 329 Коэффициенты с),'), с<;! с)с) ),02. ) О 1 с!с) ),О2 )З- т с) ) ),О2 с)с) ),02. ) 0 1 6 7 9 . 0,01755! 0,017543 О,ОП46! 0,017469 0,0!7400 0,070!25 0,018023 0,017872 0,017728 0,017554 — О, 003 — О, 003 — 0,003 — О, 003 — 0,003 0,014217 — 0,003382 — 0,003765 — 0,003802 — 0,00364! е 9 69.
Экстремальные принципы в теории пластического течения ~ йо) йв) йà — ~ йХ„)йп, й$. (69.1) ') В последующем предполагается непрерывность приращений компонент напряжения и леформзпнн; это ограничение может быть снято, однако здесь мы иа этом не останавливаемся. Под действием заданных поверхностных нагрузок Р„ нз $Р и смещений и на $„ в теле возникает рзспрелеление напряжений и деформаций и;;, всп которое условимся называть, кзк и ранее, действительным и будел) полагать известным. Пусть, далее, поверхностные нагрузки получают приращение йгс„ на $, а смещения †приращен йи на $„; этим приращениям соответствуют приращения действительного распределения напряжений и деформаций.
В теории пластического течения устанавливаются экстремальные свойства действительных прираи!еыий деформации (напряжения) по отношению к возможным приращениям. 1. Минимальные свойства действительных приращений деформации. Пусть йи; — любые непрерывные приращения смещений, принимающие на поверхности $, заданные значения. Этим кинематически возможным смещениям в согласии с уравнениями (3.3) отвечают пРиРащениЯ компонент лефоРмации йе,'П а по УРавнениим (13.7) — некоторыс приращения компонент напряжения йо,'), которые, вообще говоря, не будут удовлетворять уравнениям равновесия.
Используя то обстоятельство, что действительные приращения йа) удовлетворяют уравнениям равновесия, нетрудно получить обычными приемзми уравнение ') ~ йо)уйв,'; йГ = ~ йХ„)йи;'й$. Здесь поля приращений нз пряжений йоц и перемещений йи,', вообще говоря, не связаны между собой. Если йи) — приращение действительного перемещения, то 330 экстгзмхльныв пгинципы и энвггвтичвскив методы (гл. щп Вычитая нз верхнего урзвнення нижнее, получаем: ) йо; (йе;; — йз; ) йЬ'=- ) йХ„;(йи; — йиг) йЯю (69.2) Легко убедиться в справедливости тождества 2йаг (йвт; — йвО) —= = (йат;йв',? — йог йв;,) — (йв„'(йо,'г — йог ) + йоы (йв; — йв,'?) ~ (69. 3) Рассмотрим теперь вырзжение внутри квадратных скобок, причем используем формулы (13.7) для состояния текучести и формулы (13.14) для упрочняющегося материала; соответственно получаем: ...~ = — (йз? — йзг ) (йзт; — йзг.) + 3?а (йо' — йо)з+ ((и'й?,' — нйЛ) йт'+ нйЛ (й? — йт )~, ((м'й?'» — кйУ») йу'»+ нйТ» (й7» — йТ'»)~ Р(7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
