1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Множители х, и' имеют следующий смысл: множитель к, относящийся к действительным приращениям, равен единице, если происходит нагружение, и == 0 при разгрузке н нейтральных изменениях; аналогичные значения принимает и' по отношению к возможным приращениям, которые также в согласии с уравнениями теории пластического течения вызывают «нагружение» и «разгрузку». В выписанных выше равенствах первые лва члена в правой части положительны; они обращаются в нуль только при одновременном выполнении равенств йаг; =- йгг, йо' =- йо, Покажем, что величины внугри следующих (прямых) скобок неотрицательны. Если происходит разгрузка, то х = О, и' = 0 и упомянутая величина равна нулю.
Если осуществляется нагружение (х =- 1, и'.=- 1), то первая скобка (для материала с площадкой текучести) равна нулю, так как й?е= О, йТ" = 0; во втором же случае эта скобка неотрицательна, будучи равной (йТ" — й?Я)»~)0. Если и == 1, х' = О, то первая скобка равна — 2й).йТ" ~ )О, а вторая равна (й?Я)» — 2й?вйТ".- О, ибо йТ" (О, йХ)0. Наконец, при и = О, и' = 1 первая скобка равна нулю, вторая неотрицательна (йТ')а) О.
Таким образом, 1 — (йаг?йе;г — йа;,-йе;,) > йс9 (йе,'? — йе; ) (69.4) всякий раз, когда возможные приращения отличаются от действительных. Следовательно, исключая упомянутый случай совпадения, получаем из (69.2) 1 г —.Р " "'-1"'""й" < — ~ йо?йе,'?й1~ — ') йХ«,йигй$ . (69.5) задачи к главк т1Й Выражение (функционал) в правой части неравенства будем называть энергией приращений Э(йи',). Дейстэительньге приращения смещений йиг сообщают энергии прираи[еяий Э (йи~) абсолютный минимум по отношению ко всем кияемагичегки возможным приращениям. 2. Максимальные свойства действительных приращения на- пряжения. Сопоставим теперь с действительными приращениями напряжения йо; статически возможные приращения йо,) (удовлет- воряющие уравйсниям равновесия внутри тела и на части поверх- ности 8.), Пусть йе,'; — приращения компонент деформации (по соотноше- ниям теории пластического течения) для рассматриваемых статически возможных приращений йо,';; очевидно, что йв;1 не будут, вообще говоря, удовлетворять условиям неразрывности деформации.
Не- трудно, используя урзвновешенность приращений йот, йог, получить прежними приемами уравнение ) (йо;; — йо,,) йе,.й)г= ~ (йХ„',— йХ„;) йи; йЭ,. (69.6) Рассмотрим тождество 2йе;,. (йо,'т — йо;.) == = (йотйе,'; — йог йе;,) — [йо;1 (йе,'; — йе;,) + йе;,. (йоы — йогг)1. Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем разделе, показывают, что величина внутри прямой скобки неотрицательна; она обращается в нуль, если йо,'1 = йог . Но тогда, исключая этот случай совпадения приращений, имеем неравенство (обозначим правуго часть неравенства через Э (йо'„)): 1 — — ~ йо,.йе, й(л+ ~ йХ„йи,й$„> > — - ! йоуйе;')й*ьг [- ') йХыцйигйЭ„.
(69.7) 1 Г Действительные приращенил напряжений сообщают абсолютный максимум энергии приращений Э(йог ) по отношению ко всем стати- чески возможным приращениям напрязкеяий, Экстремальные принципы теории пластического течения сформулированы Ходжем и Прагером, Гринбергом ["'[. Различные обобщения содержатся в работах Хилла [ы[, Ямамото [нм[ и др. (см. обзор ["[). ЗАДАЧИ К ГЛАВВ УП! 1. Вывести уравнения принципов минимума полной энергия н дополнительной работы 8 67) при наличии объемных сил.
2. Прн неравномерной температуре тела О уравнения деформационной теории имеют внд еу = (До+ аО) б; + фзу, где а — коэффициент линейного расширения; соотношение (!2.2) сохраняется. 332 экстгвмлльныв пгинципы и энкггктичкскиа методы (гл. и и Вывести для этого случая уравнения принципов минимума полной эвергии и дополнительной работы. Показать, что в случае неравномерного нагрева задача определения пере- мещений иг сводится к «обычной» изотермической задаче путем добавления а к фактическим объемным силам рХ. фиктивной объемной силы — -- йгаб О, г Ь а к заданным поверхностным нагрузкам Хт — фиктивного нормального раса тяжения — б (на части поверхности Яп). й 3.
Пластина с одинаковыми круговыми отверстиями (диал«етр «(), распо- ложенными в шахматном порядке (шаг !), растягивается равномерно в направ- лениях х, у. Вычислить статически возможную нагрузку р«(статически возможное поле составить из квадратных областей «гидростатического» рас- тяжения и прямоугольных областей одноосного растяжения). Ответ. р = 1 — — )а.
« — ! ) в. 4. Бесконечная пластина, ослабленная одним рядом (по аси х) равно- отстоящих (шаг 1) друг от друга отверстий (диаметр»(), растягивается в на- правлении р. Указать простейшую нижнюю границу предельной нагрузки. Ответ. Рв= 1 — --) а«(р — среднее напряжение). 1 5. Найти в той же задаче верхнюю границу, принимая, что по ослаблен- ному сечению (по оси х) образуется шейка. 2 / «(1 Ответ. Ра= — ~1 — — ) а«.
=ут'( б. Найти в той же задаче верхнюю границу, используя решение 4 66 (см. рис. 173). 7. Получить из формулы (66.27) верхнюю границу предельной нагрузки для круглой шарнирно опертой пластины, загруженной в центре. Ответ. Ра=2пМ,. б. Круговая шарнирно опертая пластинка радиуса Ь эксцентрично (а — расстояние от центра) загружена сосредоточенной силой. Найти верхнюю границу, принимая для прогиба форму поверхности конуса с вершиной в точке приложения нагрузки. Ь Ответ.
Ра=2пЧ, р' Ь' — а» 9. Найти дополнительную работу для изгибаемой балки при степенной зависимости между напряжением и деформацией (см. задачу 3, гл. 111). !+— ( (М! Ответ. Д =, л(х. э~ .)!1+ !)О 1О. При тех же условиях вывести вариациопное уравнение прогиба балки. Ответ. 6 ~ ~ — ~ —, ) — д (х) а ) бх =О. а Глава ГХ ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ 8 70. О поведении упруго-пластнческих тел при переменных нагрузках 4! ао1 ре з (1 — зь) и,— = рх.
(70.1) 1. Переменные нагрузки. В рассмотренных выше задачах пластического течения подразумевалось однократное нагружение. Однако машины и сооружения нередко испытывают воздействие переменных нагрузок и температур. Если тело деформируется упруго, то при переменных нагрузках прочность определяется усталостными характеристиками материала; рззрушение наступает после большого числа циклов. Если же тело испытывает упруго-пластическую деформацию, то прн нагрузке, меньшей предельной, возможно достижение опасного состояния при сравнительно л1алом числе циклов.
При этом следует различать два случая. 1. Разрушение наступает вследствие чередования пластических деформаций разного знака (например, после пластического растяжения происходит пластическое сжатие и т. д.). Это †т называемая знакопеременная пластичность (пластическая или малоцикловая усталость) 2. Пластические деформации не меняют знака, но нарастают с каждым циклом Гпрогргссируюгцая деформация, прогрессируюи1ег разрушение). Это приводит к недопустимому накоплению пластических деформаций.
2. Знакопеременная пластичность. В качестве примера возникновения знакопеременной пластичности рассмотрим упруго-пластическое состояние полого шара под действием внутреннего давления (з 25) при условии, что последнее изменяется по схеме Π— р — Π— +р ... При первом нагружении О - р в шаре возникает зона пластической деформации (а(г(с). После разгрузки р — О остаточные напряжения описываются формулами (25.12). о График остаточного напряжения оч показан в левой части рис.
41 и на рис. 218, а, Предполагается, что остаточные напряжения не столь велики, чтобы вызвать вторичную пластическую деформацию; согласно (25.13) это будет при р ( 2р, тогда 334 (гл. <х твогия пгиспосовляемости При этом условии интервал изменения интенсивности касзтельных напряжений (по решению упругой задачи) нигде в шаре не превосходит удвоенного предела текучести 2т,. Кроме того, необходимо, чтобы не превышалась предельнан ь нагрузка р =-2а,1п —, т.
е. р, (р». Легко видеть, что вторичные пластические деформации при разгрузке могут возникнуть лишь Ь в достаточно толстостенном шаре ( при — ) 1,7) . Если условие (70.1) выполнено, то при новом нагружении будут происходить лишь упругие деформации за счет возникшего в шаре Р А ,'/ г Рис. 218.
поля остаточных напряжений благоприятного (»обратногов) знака. Шар как бы упрочнился по сравнению с первым его нагружением. Как уже отмечалось, это явление называется улрочнением, или автофрегажем, конструкции. В последние годы чаще используется другой термин в «приспособляемость» (а(<акебо<чп), введенный Прагером. Говорят, что конструкция приспосабливзется к циклам нагрузок благодаря возникновению благоприятного поля остаточных напряжений. Неравенство (70.1) можно рассматривать как условие приспособляемости шара; это неравенство определяет область приспособляемости (область допустимых изменений нагрузок). Если р )р„ то при разгрузке в некоторой зоне, примыкающей к полости (рис.
218, б), произойдет пластическая деформация, обратная по знаку пластической деформации при нагружении. Если теперь вновь нагрузить шар тем же давлением р )р, в этой зоне произойдет пластическая деформация первоначального знака, После небольшого числа подобных циклов в этой зоне наступит разрушение из-за «пластической усталости» (напомним знакомый всем пример быстрого разрушения проволоки при знакопеременном пластическом изгибе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
