1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если же 8„~=0 (т. е. где-то на поверхности тела заданы напряжения), то по граничным условиям аддитивное давление равно нулю. Переходя к большей величине т,о', получим из (64.11) неравенство т, ') О' й1 - ) Х„го; ~Ю + ) т [о'] д8р ~~. О. (64.13) Здесь в левой части имеется неизвестная величина †действительное напряжение т. Но максимальное касательное напряжение т ,„ и интенсивность Т связаны неравенством (1.20), из которого вйтекает, что т ,„ .«-. т„ следовательно, и ]т( ( тм Заменяя т [о'] на тг([о']], лишь усилим неравенство (64.13). Для действительного поля скоростей выражение, аналогичное (64.13) (т.
е. без штрихов), равно нулю; следовательно, т ~~Н дУ вЂ” ] Х рг д8е+т, ~ [о]д5р( ~~те ] гт д) — ] Хетаг д8е+ тг ] ~ [о'] ] йЮг. (64.14) Знак равенства достигается только в том случае, когда кинематнчески возможное псле о,' совпадает с действительным оп Назовем выражение в правой части полной мощностью. Итак, полная мощность достигает абсолютного минимума для действительного поля скоростей. Заметим, что в силу (64.8) левая часть неравенства равна ,[Хьг оы сЖ„. 8 64) экстгемлльные пгинципы для жестко-пластического талл 293 б.
Максимальные свойства действительного напряженного состояния. Пусть по-прежнему ооь й;,, ос — действительное решение задачи; при этом напряжения и скорости деформации связаны соотношениями Сен-Венана †Мизе (64.1) и удовлетворяют условиям равновесия и сплошности. Введем теперь представление о статически возможных лалртсенных состояниях текучести о~;. Будем так называть любое напряженное состояние оу, удовлетворяющее внутри тела дифференциальным уравнениям равновесия (64.15) на поверхности тела †заданн граничным условиям на Яг о', л.=Хсп на Ял (64. 16) и не превосходящее предела текучести, т. е.
(64.17) Напряженное состояние ос1 может быть разрывным. Сопоставим действительное напряженное состояние о,~ со статически возможным напряженным состоянием текучести а~о Для действительного напряженного состояния справедливо основное энергетическое уравнение (64.8), где ос в действительное поле скоростей. С другой стороны, так как напряженное состояние ос1 равновесное, из основного энергетического уравнения следует также соотношение ~ Х„',ос с(8 = ) аД, с7М+ ') т' (о1 бЯр, (64.18) где на бг Лы — — Хьо а на 8 усилия Х„', определяются формулами Коши (64.16); т' — касательная составляющая статически возможного напряженного состояния ос1 в направлении х на поверхности разрыва Я действительных скоростей оп Вычитая из (64.18) уравнение (64.8) и учитывая (64.16), получаем: $ (осу — ою7) бсср с((l = ~ (Лы — Х„с) пас п8, + ~ (т, — т') (о~ дЯр.
(64.19) Воспользуемся теперь прежним геометрическим представлением. Вектор $В нормален к поверхности текучести В (рис. 197); вектор пс7 параллелен вектору $с7 и достигает поверхности текучести. Вектор же статически возможных напряжений о;и вообще говоря, лежит внУтРи повеРхности текУчести. ВектоР Разности оса в о,т показан на рис. 197 пунктиром.
Вследствие выпуклости поверхности текучести 294 экстгимлльные пгинципы и эииггвтическии матоды [гл. юп векторы (о!! — о;,) и $!! образуют тупой угол, поэтому их скалярное произведение отрицательно (о,'; — о;;) $! (О. (64.20) ~ Хх!оы йоь~ ~) Хл!оыйоь (64.22) Здесь правая часть неравенства при выбранном поле ог! может быть вычислена, так как на 8 скорости оь! заданы. Итак, мощность действительных поеерхностных сил на заданных скоростях больше мощности, развиваемой поверхностными силами, соответствующими любой друзой стати«ески возможной системе напряжений текучести Из неравенств (64.14), (64.22) вытекает двусторонняя оценка мощности действительных поверхностных сил на заданных скоростях Нй)[Хго!йЯ+я[([о~)й8р '= ~Х„рыйг,>~Х„'! „йг.
(64.26) Для вычисления левой части неравенства необходимо взять кинематически возможное поле скоростей, правой части — статически возможное напряженное состояние текучести. В случае плоского запряженного состояния возможен разрыв нормальной составляющей скорости и вместо последнего слагаемого в левой части неравенства следует внести величину .* 1" ют ° 7 м.. Здесь знак равенства может быть лишь в случае, когда напряжения о,! и и;, отличаются на величину равномерного гидростатического давления (поскольку от последнего условие текучести не за- висит). Это аддитивное давление равно сг нулю, если Ье~б, т.
е. где-либо на ,' м поверхности тела задана нагрузка. Таким образом, из уравнения 4! (64.19) следует, что его правая часть г„! отрицательна, стало быть Е ~ ° глгоь! йоь)~ ) Хпгоы «о«+ + ~ (г — т') [о~ йбр. (64,21) Рис. 197. В правой части величина разрыва действительного поля неизвестна. Так как т, ~ ( т'(, а т,[о| ) О, то второе слагаемое в правой части неотрицательно.
Усиливая неравенство (64.21), получаем: 65) теоРемы О коэФФициенте НРедельной нАГРУзки 295 где»' — величина скачка кннематнческн возможной скорости, т' — угол наклона скорости е' к линии разрыва. Основные результаты по экстремальным принципам для жестко-пластического тела принадлежат А. А. Маркову (Г»4], Хиллу 1»«], Прагеру я Ход. жу 1»'], Койтеру (ы], С.
М. Фейнбергу [ы«], 9 65. Теоремы о ноэффициеите предельной нагрузки Полученные в предыдущем параграфе неравенства открывают возможность вычисления предельных нагрузок путем последовательного сближения верхней и нижней оценок. Однако неравенства (64.14), (64.21) непосредственно указывают способ приближения к предельной нагрузке лишь в простейших случаях (например, если на 8 задана постоянная по величине и направлению скорость, то знание мощности равносильно знанию нагрузки на 8 в этом направлении. Подобный случай имеет место в задаче о внедрении гладкого плоского штампа). При наличии нескольких нагрузок последним в предельном состоянии отвечает некоторая поверхность («поверхность текучести»); для нее найденные неравенства позволяют в принципе построить двусторонние оценки.
Простые и важные результаты можно получить в случае пропорционального нагружения. 1. Пропорциональное иагружепие. Рассмотрим важный случай поверхностных сил, возрастающих пропорционально одному параметру л» ) 0; в этом случае легко получить оценки для предельной нагрузки. Остановимся более подробно на исходных предположениях. Нагрузки на части поверхности тела 8Р возрастают в определенном отношении Х„;=тХы на ОР, (65.1) где Х~ — некоторое фиксированное распределение нагрузок на 8Р. Кроме того, примем, что на части поверхности 8 скорости равны нулю Оаг —— 0 («неподвижные опоры»). Предельное состояние тела достигается при некотором значении параметра т =т,.
Будем называть т, коэффициентом предельной нагрузки. 2. Верхняя оценка предельной нагрузки. Верхняя оценка л», получается из рассмотрения неравенства (64.14), которое тепепь принимает вид (см. замечание в конце стр. 292) Хяф~ХЯР( (т» ~ Н г(] + т« ~ ) ~о ] ( дЯр~ причем кинематически возможные скорости о,' обращаются в нуль 296 экстРемдлъные пРииципы и энеРгьтические методы [Гл. ЧИ1 на 8,. В силу (65.1) для предельного состояния имеем: ') Н' йу+ ~ ( [ь') ) йБ„ лг, ( т = тд.
~ ХйегсБр (65.2) Предполагается, что мощность заданных поверхностных сил на кинематически возможных скоростях, стоящая в знаменателе (65.2), положительна. Знак равенства в (65.2) может быть только в том случае, когда кинематически возможное поле и,' совпадает с действительным ог (с указанными в предыдущем параграфе оговорками). Безразмерное число в правой части неравенства обозначим через лгд и условимся называть его кинематическим коэффициентом. Итак, (65.3) Замечание. В случае плоского иапряженного состояния второе слагаемое в числителе следует заменить величиной э[ 'Ртга 3. Нижняя оценка предельной нагрузки. Из второго экстремального принципа вытекает нижняя оценка коэффициента предельной нагрузки «г,.
рассмотрим статически возможное напряженное состояние текучести оу, удовлетворяющее несколько измененным граничным условиям на 8 -: Л„1 —— т Х'„1 на Яр (65 4) (вместо условий (64.16), которые в данном случае можно записать в форме Хы = ог,Х„'1); здесь ль — некоторое значение параметра лг. К этому случаю нельзя непосредственно применить неравенство, полученное в конце предыдущего параграфа.
Теперь вместо уравнения (64.19) получим: ~ (оц — оН) йтуйИ=(пг — т,*) ~ Х„'1о; й8р+ ~ (т — т') [о~ ар. (65.5) Согласно (64.20) левая часть, вообще говоря, отрицательна, следовательно, ) (сэ — т') [ь) йбр т,— )лэ) 1 х'.ютйбр (65.6) Коэффициент предельной нагрузки т, не может быть больше кинематического коэффициента тд, Из (65.2) вытекает, что кинематический коэффициент тд получается приравниванием мощности нагрузок на кинематически возможных скоростях соответствующей мощности деформации. 8 65) твогвмы о коэьвицивнтв пгвдвльной наггьзкн 297 Знак равенства будет только в случае, если системы напряжений о;, о;; отличаются лишь на равномерное давление. Так как числитель не отрицателен (( т'( (т„ т, Я ) 0), а знаменатель положителен, то коэффициент предельной нагрузки т, не может быть меньше статического коэффициента пгг: (65.7) 4.
Следствия. Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из установленных выше неравенств. 1. Коэффициент предельной нагрузки и, единственен. Действительно, обратимся, например, к неравенству (65.8), согласно которому коэффициент предельной нагрузки пг, достигает абсолютного минимума для действительного поля скоростей. Предположение о существовании двух значений коэффициента предельной нагрузки т,ы тл„ согласуется с условием абсолютного минимума пг, лишь при их совпадении. 2. Добавление к телу материала не может понизить предельную нагрузку. Поясним эту формулировку простым примером, Рассмотрим круглую трубу (рис.
198, а); предельное давление, отвечающее осесимметричному полю напряжений (9 26), обозначим через р,=-2о,!п —. Ь Обратимся теперь к задаче о нахождении предельной нагрузки р, для длинной квадратной призмы с центральным круговым от- ру 4 верстием, загруженным рав- Рис. !98. номерным давлением; наружная поверхность призмы свободна от напряжений (рис. 198, б), Для вычисления нижней оценки — статически возможного коэффициента — можно взять следующее разрывное напряженное состояние: впишем в призму трубу, показанную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
