1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ряд практических вопросов побуждает к изучению напряженного состояния токкой пластичной прослойки, скрепленной с жесткими частями. Приведем некоторые примеры. В подобных условиях работает спай (склейка); известно, что апай значительно более прочен, чем стержень равного сечения, изготовленный из того же материала, что и спай. Иногда выгодны сварные соедине- ния, в которых металл шва значитель! но более мягкий, чем металл скрепляемых частей.
Напряженное состояние в тонких прослойках отличается своеобразием, что л~ожет пролить свет на л — — л некоторые случаи неожиданных на пер- вый взгляд разрушений. ; — Е~ Для оценки прочности металла важ! ное значение имеет величина сопротивления отрыву. Измерение втой характеристики на стандартных образцах для пластичных металлов затруднительно; Рнс. 1ВЗ. обычно приходится проводить испыта- ния при весьма низких температурах (для снижения пластичности). Если, однако, растягивать составной образец (рис. 183), состоящий из двух прочных цилиндрических частей 1 (диаметр 2а), соединенных между собой тонкой (й«~ а) прослойкой 2 из испытуемого более мягкого металла, то при некоторой нагрузке )з происходит хрупкое (при малых деформациях) разрушение прослойки по некоторой неровной «плоскостна п-п.
Знание напряженного состояния в прослойке позволяет определить величину сопротивления отрыву. Отметим некоторые особенности растяжения такого образца. Для сталей различие в коэффициентах упругости невелико, поэтому в дальнейшем считаем их равными. Тогда при растяжении в пределах упругости образец находится в состоянии равномерного одноосного ф 60] ЯАпРЯженнОе сОстОЯние тонкой плАстичнОЙ пРОслОйки 269 растяжения, При достижении предела текучести материала диска последний сразу и полностью переходит в пластическое состояние. С развитием пластических деформаций напряженное состояние диска все более отклоняется от равномерного растижения и приобретает сложный пространственный характер, так как деформированню диска препятствуют «жесткие» части образца, остающиеся упругими.
При этом на плоскостях контакта слоя с жесткими частями развиваются касательные напряжения. Наибольшее значение последних определяется пределом текучести т,. Случай плоской деформации, когда на поверхности контакта касательное напряжение всюду постигло предела текучести, изучен Прандтлем (см. 9 47). Решение Прандтля относится к конечной стадии пластического течения. В условиях осевой симметрии аналогичное приближенное решение для конечной стадии можно получить„ несколько видонзменив вывод Зибеля, относящийся к сжатию цилиндра.
Ниже приводится также анализ процесса развития напряжений в прослойке по мере роста нагрузки. 2. Конечная стадия течения. Примем, опираясь на картину напряженного состояния по решению Прандтля, что на поверхности контакта касательные напряжения достигают предела текучести т„ а в основной части прослойки нормальные напряжения по величине значительно больше касательных (другими словами, напряженное состояние близко к гидростатическому) и приблизительно постоянны по толщине.
Далее, отметим, что в центре (г =О) и„ = и . Последнее равенство предполагается справедливым по всей прослойке. Введем безразмерные координаты р =г/а, ~с д/а, причем е отсчитывается от срединной плоскости диска, и безразмерные напряжения О, О„/и„ О, и /О„ и, и,/и„ т т„,/'г„ где и,= $гЗт,. Тогда условие пластичности Мизеса принимает для случаи растяжения вид О, — О„= 'Кг! — т'. (60.1) Интегрируя первое из уравнений равновесия (58.1) по з и учитывая, что при я = -Ь /г т„= ~ т„ получаем: На контуре р = 1 а,= 0; решение последнего уравнения, удовлетворяющее этому условию, имеет вид О„= (1 — р). 1 (60.3) Р'ЗН Компонента и, определяется из условия текучести (60.1); так как на контактных плоскостях правая часть этого условия равна нулю, (гл.
чц осасиммвтгичнля дввогмлцня а прослойка тонкая, можно приближенно считать, что всюду в про- слойке (60.4) Приведенное решение нарушается вблизи контура р =-1 и вблизи оси (как и для решения Прандтля). Поскольку и((1, то в тонкой прослойке возникают высокие нормальные напряжения, значительно превосходящие предел текучести, Среднее напряжение по поперечному сечению прослойки равно алл р =- —, Д о,гдгдгр = о о (60.5) 3. Развитие напряженного состояния. Прослойка соединяет достаточно жесткие части, обладающие примерно тем же молулем упругости, что и прослойка, но знзчительно более высоким пределом текучести. При небольшом усилии Р все соединение испытывает упругую деформацию одноосного растяжения Р и =- — = — р.
пль п„=п,=-т„,=О, до, о„— о 1 дт + т+ — О др р р'з дь (60.6) — + — +)/з — '=.о, д1' т дол др р дь (и, — а„)' + (а — п,)з . (- (о, — и„)' -~ - 2 с' = 2. (60.7) (60.8) Граничным условиям при р = 1 удовлетворим в смысле СенВенана, т. е.
и х ) п„ЫЬ.=О. (60. 9) Примем, далее, условие несжимаемости материала как в упругом, так и в пластическом состояниях, что не повлияет заметно на результаты, но существенно упростит решение. При нагрузке р=о, во всей прослойке сразу начинается пластическое течение, которое, однако, в дальнейшем сдерживается жесткими частями, вследствие чего на поверхностях контакта возникают касательные напряжения. Будем считать, что поверхности контакта остаются плоскими; благодаря «мягкости» прослойки эта картина является приемлемым приближением, Для введенных выше безразмерных переменных дифференциальные уравнения равновесия и условие текучести Мизеса имеют вид: 3 60) нлпгяжянноя состояния тонкой пластичной пгоолойки 271 Вследствие нечетности касательного напряжения т и малости ~ ищем решение в форме т=)7 (р) —.
(60.10) Очевидно, что первое условие (60.9) удовлетворено. Уравнение несжимаемости имеет вид (60. 11) ди ди„ ди„ ди — — (60, 12) л Г и, ди ди„ и„ др р р дь а — о е х а — о Так как прослойка тонкая, то в дальнейшем будем строить приближенное решение задачи, разыскивая напряжения на плоскостях контакта ь= +-х и продолжая нх в глубь слоя тем или иным способом.
Сечения Ь= О, ~ = х, Ь = — х остаются плоскими. Так как прослойка тонкая, естественно принять гипотезу плоских сечений а, = а,(Ц. Тогда из уравнения несжимаемости вытекает, что смещение а,= — ' — — а,'(1) р, С, (ь) 1 где Сх(Ь) — произвольная функция, а штрих означает производную по ь. При Р.=-О и,=О, следовательно, С,(Ь) =О. Теперь соотношения (60.12) принимают вид: 3 ° 3 — ии ии О 2 * 2 У3 — риа о,— о о — о о — и, 4 т е Отсюда заключаем, что всюду в прослойке (60. 13) о =и. г ч' Рассмотрим теперь соотношения (60.13) при Ь.=х. Из условия пластичности (60.8) при ь =-х имеем: (60,14) В рассматриваемой задаче упругие и пластические деформации— одного порядка, и следует, вообще говоря, исходить из уравнений теории пластического течения.
Это, однако, связано с большими математическими трудностями. Учитывая монотонный характер нагружения, будем исходить из уравнений деформацнонной теории. Тогда, согласно соотношениям (14.5), имеем; [гл. чп ОсеСимметРичНАя ДеФОРЯАЦия Знак + соответствует случаю растяжения. Тогда из (60.13) получаем: $Г Зла Рй~ г' 1 — йа 2й Вводя произвольный параметр находим закон распределения контактных касательных напряжений ср Я— (60.15) )~'1+ Сара Знак + соответствует случаю растяжения прослойки.
Теперь из дифференциального уравнения равновесия (60.6) при ь = х находим: 1 о, = = 1 )СЕ1р + р (р = сопз(). 1 (60. 16) -~ з.3 Р Так как напряжение о, значительно по величине, четно по Ь, то полагаем о, не зависящим от ь. Тогда в прослойке и, определяется согласно (60.14). Напряжение о, = о в прослойке определяем по условию текучести о, = и, ~ ')1'1 — та. (60.17) Удовлетворяя второму граничному условию (60.9), находим по стоянную р. Внося ее значение в (60.16) и (60.1Ф), получаем, что )Г'1+Сара~ 1 У 1 . С,~ ) + — ~ — агсз[пс1 — — ') + )Гзи ~С1 с ) 2 ~с, ' с) У1+сар ' (60.18) где положено с Напрнжения а, статически эквивалентны усилию Р, т, е.
1 2 ') О,Р1(Р=Р а 2 60) нхпгяжвнноз состояниз тонкой пластичной пгослойки 273 Это уравнение определяет связь между постоянной С и средним напряжением р: + — ~ — агсз1п Са — — '~ . (60.19) 2 ~Сг С,~ При С= О, что соответствует началу пластического течения, Л = О, и, = 1, р= 1. При малых значениях С распределение контактного касательного напряжения )т близко к линейному, с возрастанием С о Рг 64 ~Щ дг (л Рис. 185. фу аг 4р Рис. 184. это распределение все более отклоняется от линейного закона (рис.
184)., При С со касательное напряжение стремится к пределу текучести т„ что соответствует конечному пластическому состоянию (Й = 1, пунктир). Тогда среднее напряжение равно ж 1 Р=Ра — += 3)г Зи' Для тонких прослоек формулы (60.5) и (60.20) мало различаются. Приведенное значение ра является предельным средним напряжением, которое можно приложить к прослойке.
При достижении р наступает развитое пластическое течение. Нормальные напряжения и, и и, = и, распрелелены по сечению неравномерног их графики при Ь= О для некоторого значения р приведены на рис, 186; график и, для конечного пластического состояния показан пунктиром. В средней части тонкой прослойки с ростом нагрузки развивается почти агидростатическоеа растяжение. При этом нормальное напряжение может достигать значительной величины (может в несколько раз превысить величину предела [гл.
тп ОсесимметРичиАя деФОРмАция текучести о, при одноосном растяжении). В таких условиях в мягкой прослойке может произойти хрупкое разрушение вследствие исчерпания прочности на отрыв. Рис. 18Б. На рис. 186 показаны зависимости максимального напряжения о,м,„(прн г=О) от среднего осевого напряжения р для ряда значений параметра толщины х. 5 61. Напряженное состояние в шейке растягиваемого образца Вопрос о напряженном состоянии в шейке образца, возникшей при растяжении, сложен и полностью не разрешен. Так как важно знать величины напряжений в момент, предшествующий разрушению, построены приближенные решения, основывающиеся на тех или иных допущениях, подсказанных опытными данными. Рассмотрим одно из таких решений, предложенное Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
