1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Н. Давиденковым и Н. И. Спиридоновой 1"е]. При появлении шейки распределение напряжений перестает быть одноосным и равномерным. Трудность анализа усугубляется тем, что рчертзние шейки неизвестно, В приближенном решении используется ПАОРяженное состояние в шейке ОБРАзцА 275 8 61) экспериментально подмеченный факт равенства и равномерного распределения по миниашльнол!у сечению шейки натуральных деформаций в радиальном и тангенциальном направлениях.
Отсюда вытекает, что в текущий момент времени по сечению я =- О $,= $., —... сопзй Так как упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению с пластическими деформациями в шейке, то нз уравнения несжимае- Рис. 187. Рис. !88. о' =о„. (61.1) Далее по услови!о симметрии т„.=О при я=О. В том же сечении дифференциальные уравнения равновесия (58.1) принимают вид: до, — О, дг до,, /дт, 1 др '! де ~/г=а (61.2) а условие текучести будет (61.3) !г — о„=о . Рассмотрим в меридиональной плоскости траектории главных напряжений сг„о! (рис.
187) вблизи плоскости я=О; угол го наклона мости имеем: $,= — 2$„=сопз1, а из соотношений Сен-Венана — Ми- зеса следует, что в сечении я =- О 276 [гл. тп освсимметгичнля дввогмлция касательной к траектории напряжения о, мал, и формулы (58.7) при замене индексов 1, 2 соответственно на 1, 8 упрощаются: п,=о„а,жо,, т„ж(оа — сгт) со. Следовательно, вблизи плоскости з= О (61.4) о, — о,=о„т„-о,со (д ) с(д) (61.5) где р — радиус кривизны траектории главного напряжения при с = О.
Контур шейки является одной из этих траекторий; пусть для контура р =Л. Из дифференциального уравнения (61.2) получаем: так как о„= О при г = а. При с=О р= со, при примем, что г=а р=)с; опираясь на наблюдения, Я р=Л— г Тогда ос л га ог аа — га — = —, — =1+— о 2а1с ' о 2а1с (61.6) Это распределение напряжений в шейке показано в левой части рис. 187. Для вычисления напряжений необходимо измерить при опытах величины а, 77. Максимальные напряжения возникают в центральной части шейки и именно в центре ее начинается разрушение.
На фиг. 188 приведен рентгеновский снимок (заимствованный из книги Надаи (ва)) шейки образца непосредственно перед разрушением, подтверждающий этот вывод. й 62. Пластический изгиб круглых пластин Рассмотрим пластический изгиб круглой пластины (рис. 189) при осесимметричной нагрузке р=р(г), где г — радиус-вектор; толщина пластины 27с постоянна. Ось л цилиндрической системы координат г, ср, л направлена вниз, Будем исходить из схемы жестко-пластического материала. Тогда пластина остается недеформируемой вплоть до достижения предельной нагрузки (характеризующей несущую способность пластины). 1.
Основные положения. В классической теории изгиба упругих пластин основные положения имеют геометрический характер, а по- й 62] ПЛАСТИЧЕСКий ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН тп тому справелливы и при пластическом изгибе. Это означает, что сохраняются допущения Кирхгофа: 1) срединная плоскость не растягивается; 2) прямые, перпенликулярные до деформации к срединной плоскости, после деформации переходят в прямые, перпендикулярные к срединной поверхности. Компонентами напряжения и„ т„, можно пренебрегать по сравнению с компонентами и„ и„; касательные напряжения т,, тгм равны нулю по симметрии.
В пластине реализуется «плоское напряженное состояние». В сечениях г =- сопз(, <р = сопз! соответственно действуют изгибающие моменты М„ М: М,=~п„вг)г, М =~о зйв, причем интегрирование производится по толщине пластины ( — л, + Ь). Срезывающее усилие в сечении г = сопз( равно Рис. 189, и связано с изгибающими моментами известным дифференциальным уравнением равновесия (см, например, («т)) йМг М»-М, Д Касательные напряжения по кругу г †. — сопз( внешнюю нагрузку, поэтому (62.1) уравновешивают г 1 Г 1„!= — — — 1 рг г!г, О где а — радиус выреза в кольцевой пластине (лля сплошной пластины а = 0).
Обозначим через тв =ш (г) скорость прогиба пластины; компоненты скорости деформации определяются известными соотношениями $„= ах„$ч = гх„, (62.2) где введены параметры скорости кривизны срединной поверхности пластины а«м 1 й«в х= — —, х= — — —. г аг«' 9 г аг Очевидно, что отношение скоростей деформации $Д, постоянно вдоль нормали к плоскости пластины. 223 (гл. тй ОсесимметРичнАя деФОРмАция 2. Уравнения изгиба пластины при условии текучести Мизеса, Здесь скорости деформации и компоненты напряжения связаны (вследствие пренебрежения упругими составляющими) соотношениями Сен-Венана †Мизе (9 13) $„=- — (2О, — О„,), $,, = — (2Π— О,), Л' (62.3) а отличные от нуля компоненгы напряжения О„ О удовлетворяют условию текучести О," — О,О, -' О ' = О,'.
(62.ч) Как известно (9 16), соотношения (62.3) можно записать в виде Л' дг зйо, где через г" обозначено выражение в левой части услония текучести (62 ч). Другими словами, вектор скорости деформации нормален к кривой текучести (рис. 190, а, пунктирная стрелка). Обозначая отношение Щ„ через т), легко получаем иэ (62.3), что о, вдоль нормали пропорционально О,. Но тогда из условия текУчести вытекает, что а, = ~У, (11) а„п„= ~~ (т)) Ою где некоторые функции т). Рис. 190. Таким образом, напряжения а„ о постоянны вдоль нормали для положительных э и принимают обратный знак (соответственно изгибу пластины) для отрицательных э; напряжения О„ о разрывны на срединной плоскости (аналогично картине при изгибе балки) и изображаются на эллипсе текучести (рис. 190, а) противоположными точками.
Вследствие этого изгибающие моменты равны (здесь О„ 5 62) пластический изгив кгтглых пластин 279 о †значен напряжений при я ) 0) Я о)аа Я ат ьа (62,5) и удовлетворяют в силу (62.4) соотношению М, 'Мам +М' =М, (62. 6) где М,=о;Ьа — максимальное значение изгибающего момента. Это уравнейие является частным случаем конечного соотношения между усилиями и моментами в пластических оболочках, указанного А. А.
Ильюшиным (аа1, и представляет на плоскости М„М„также эллипс (рис. 190, б). Заменяя в соотношениях (62.3) напряжения о„о„через моменты М„М„скорости деформации — через кривизны х„х„ нетрудно получить соотношение: х =1*.—, х =1* —, а дР дй дМг* " дМ где через г' обозначено выражение в левой части конечного соотношения (62.6), а Х" †скалярн множитель. Таким образом, вектор скорости кривизны нормален к предельной кривой в плоскости М„ М„ (рис. 190, б).
Стало быть, ассоциированный закон течения справедлив и 'для зависимостей между обобщенными величинзми †момента М„ М и скоростями кривизн х„ х. Исключая с помощью условия '(62.6) момент М„ из уравнения равновесия (62.1), получаем нелинейное дифференциальное уравнение для М„ Решение дифференциального уравнения (62.7) при соответствующих граничных условиях определяет предельную нагрузку.
Из соотношений (62.3) и (62.2) . получаем дифференциальное уравнение скорости прогиба пластины г (2М, — М,) „—, — (2М, — М,) --- = О, (62.8) которое легко интегрируется, если известны изгибающие моменты М„М,. Аналогично возникновению пластических шарниров при изгибе балки в пластинках возможно появление шарнирной окружности.
йиа Вдоль нее скорость прогиба непрерывна, производная — разрывна, дг йаш следовательно, скорость кривизны х = — — ие ограничена. Подга скольку моменты М„Я„всюду огрзничены, из (62.8) следует, что на шарнирной окружности М,=2М„. Необходимо также допустить, Что некоторая (кольцевая) часть пластины может остаться жестиой, [гл. Еы 280 ОсесимметРичиАИ дЕФОРЯАция Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях; последние имеют вид: 1) на свободном краю М,=О; 2) на опертом краю М,=О, та=О; йм 3) вдоль заделанного края та = О, — =-О. й' Последнее условие означает, что и О, т. е. ̄— 2М =0; следовательно, М =2М =ч- — М, 2 с Р Рс м 3.
Уравнения изгиба пластины при условии текучести Треска— Сен-Венана. Решение уравнения (62.7) связано с известными трудностями. Задача, однако, существенно упрощается, если заменить эллипс Мизеса шестиугольником, соответствующим условию текучести Треска — Сен-Вснаиа (рис. 191). Тогда пластина разбивается на кольцевые зоны, в каждой из которых условие текучести линейное и интегрирование легко осуществляется. Ошибка при этом невелика; ее можно уменьшнтьч если вместо вписанного шестиугольника взять шестиугольник, проходящий посредине межлу вписанным и описанным шестиугольниками; для этого достаточно заменить о, значением о,'ж1,08 о,. Уравнения для скорости прогиба тп легко устанавливаются с помощью ассоциированного закона течения, изложенного применительно к плоскому напряженному состоянию в 9 52.
При этом йы $, переходят в $„ $ . На окружности, разделяющей кольцевые области различных решений, должны быть непрерывны в силу условий равновесия изгибающий момент М, и срезывающее усилие © изгибаю- Рис. 19! щий же момент М может быть разрывен. Скорость прогиба та должна быть непрерывной, скорости же деформации с„$, могут быть, вообще говоря, разрывными. Окружность, на которой разрывна $, (т. е. касательная к поверхности скорости прогиба испытывает конечный поворот), называется шарнирной. Оа шарнирной окружности М, = ~М. В самом деле, на втой окружности разрывна скорость деформации $„,а $„ не ограничена.
По ассоциированному закону течения подобное положение возможно лишь дли вертикальных сторон шестиугольника (рис. 191), вдоль которых М,=- ~М,. 9 62) пластический изгив кгтглых пластин 281 В схеме жестко-пластического тела следует допустить, что часть пластины (некоторая кольцевая зона) может остаться недеформируемой и испытывать, вообще говоря, жесткое вертикальное смещение, Граничные условия 1), 2) (для свободного и опертого краев), рассмотренные выше, очевидно, сохраняются. В случае же заделки йо — =0 н М,=~М.
вг г м 4. Примеры. Рассмотрим несколько частных задач, исходя из условия текучести Треска — Сен-Венана. 1) Пластина опе рта, равномерная нагрузка р распределена по кругу радиуса с (рис. 192). Напряжения в соответствующей упругой задаче максимальны в центре (г=О), и здесь впервые возникают пластические деформации. При г=О М„= М = М„ и вблизи центра будет один из пластических режимов С, ВС, Сь). Режим СВ противоречит уравнению равновесия ( на Сгу ̄— М и — '= 0); с другой стороны, М„( М„р) О, вМ, и из дифференциального уравнения (62.1) вытекает — < О. Точно в'М, вг так же невозможен и режим С, следовательно, реализуется режим ВС, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
