1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рассмотрим некоторое тело, занимающее объем )г, ограниченный поверхностью 8 = о„+ 8я (рис. 194). На части поверхности тел ть ла я„ задано усилие гт;;, составляющие последнего по осям х;(1 =- 1, 2, 3) обозначим через Х„п На части поверхности тела о', задана скорость и у г оэ; ее составляющие обозначим через 1 о„. Для простоты письма полагаем, что объемные силы отсутствуют. В Рп дальнейшем используются тензорные обозначения (см. $ 1). Пусть и;, †некотор поле напряРис. 194.
женнй, удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия (см. $ 4) внутри тела дп;у — =0 дх; (64.2) и уравновсшивающееся с заданными на границе Я„нагрузками Х„г согласно формулам Коши (1,2) ог и =:Х„п на 5г (64.3) где л — направляющие косинусы нормали и. т С другой стороны, введем некоторое непрерывное иоле скорости ог, удовлетворяющее заданным условиям на Яю т. е. о;=и; на Я. (64. 4) $64) экстгзмлльныв пгинципы для жестко-пластического тела 287 Этому полю скоростей отвечают компоненты скорости деформа.
ции ($3) (64.5) Введенные поля напряжений огт и скоростей ог в остальном произвольны и, вообще говоря, не связаны между собой. Предполагается, что эти поля непрерывны (ниже это ограничение будет снято). Конфигурация тела либо мало отличается от первоначальной (тогда У и о †объ и поверхность тела до деформации), либо характеризует известное текущее состояние.
Для всякой сплошной среды справедливо следующее основное уравнение; ~ и;,.$;,г(У=- ~ Х„ргг(Я, (64.6) где первый интеграл распространяется по всему объему тела У, а второй †всей поверхности тела о. Для доказательства представим поверхностный интеграл с помощью соотношений Коши (64.3) в виде ~ Х„,и;гьу = ~ о;уогл г(8 и преобразуем его в объемный по формуле Гаусса — Остроградского ~Цито = ') -8~ ~ И У.
(64.7) Легко видеть, что огт$;уг(1 х —— ) Х по;Юд + ~ Х„гпгдЕ, () = ~ Х„,юг)~ — ~ Хшо,.т(~. Первый интеграл в правой части равен нулю в силу дифференциальных уравнений равновесия (64.2), что и доказывает уравнение (64.6). Это уравнение необходимо обобщить, во-первых, на случай тела, имеющего жесткие (недеформируемые) области, во-вторых, на случай разрывных полей напряжений н скоростей. Первое обобщение почти очевидно. В самом деле, если тело содержит деформируемую (У„) и жесткую (У ) области, разделяемые поверхностью Х, на которой скорости и напряжения непрерывны, то для каждой области согласно (64.6) имеем: 288 э«сттамлльныа пгинцнпы и энвтгнтичвокиа методы [гл.
»чп Область интегрирования (здесь и в последующем) обозначается ее соответствующим дифференциалом. Так, первый интеграл слева берется по области )г, первый интеграл во втором соотношении— по поверхности тела о, примыкающей к области )г, и т. д. Складывая выписанные соотношения, приходим (так как 8 = 8, + Я ) к прежнему уравнению (64.6). Таким образом, основное энергетическое уравнение (64.6) можно писать ло отношению ко всему телу (включая жесткие области). 3. Обобщение основного энергетического уравнении на разрывные поля. Предыдущие результаты основаны на предположении непрерывности полей напряжения и скоростей.
Между тем простые примеры (изгиб, кручение, плоская задача) свидетельствуют о том, что в предельном состоянии разрывы в напряжениях встречаются весьма часто. В схеме жестко-пластического тела неизбежны и разрывы скоростей. Наконец, иногда удобно строить приближенные разрывные решения. В связи с этим рассмотрим обобщение энергетического уравнения на случай разрывных полей. Разрывы в напряжениях. Обратимся сначала к случаю, когда напряжения разрывны на некоторых поверхностях 3»()г= 1, 2, 3, ...). Поверхности Яь разбивают тело на конечное число частей, в каждой из которых напряжения изменяются непрерывно, и, следовательно, полученное выше уравнение справедливо; при этом соответствующие поверхностные интегралы распространены по поверхности каждой из выделенных частей.
Пусть, с одной стороны Ял действуют поверхностные силы Х~, с другой — Х„о Из условий равновесия элемента какой-либо поверхности вытекает, что Х+~+Х,,~=О (1=1, 2, 3). Следовательно, при сложении уравнений, выписанных для каждой из частей тела, все интегралы по поверхности разрыва Яь сократятся, т. е. наличие разрывов в налряжениях не сказывается на форме основного энергетического уравнения. Р а з р ы в ы в с к о р о с т я х.
Перейдем теперь к рассмотрению разрывов поля скоростей на некоторых поверхностях 8, (1= 1, 2, 3, ...). Прежде всего отметим, что разрыв возможен лишь в составляющей скорости, лежащей в касательной плоскости к Ю, (касательной составляющей скорости), иначе в теле образуются «трещины». Исключение составляет случай тонкой пластины (или оболочки), когда вдоль некоторых линий может возникнуть резкое утоненне («шейка») илв утолщение («валик»). Подобные разрывы рассмотрены в гл, Ч1. К этому случаю мы вернемся позднее; теперь же примем, что нормальная составляющая скорости на Ю, непрерывна. Проведем в некоторой точке поверхности разрыва 8, локальную систему координат х, у, е, направив ось я по нормали к поверхно- ф 64) экстРемАльные пРинципы для жесткО-плАстическОГО телА 289 сти (рис. 195).
Обозначим через тг,, ег, касательные составляющие скорости соответственно с положительной и отрицательной сторон поверхности Яг. Пусть тг, = и+ — тг, есть вектор относительной скорости; вдоль этого вектора направим ось х. Поверхность разрыва надлежит рассматривать как предельное положение тонкого слоя с непрерывным, но резким У изменением скорости по толщи- и не слоя (рис. 196, а). Резкое изменение претерпевает лишь "У $с СОСтазпвгОЩаЯ Он, а ОР, О, ПОЧТИ оа постоянны по толщине слоя. Очевидно, что скорость сдвига вгони т)„, значительно больше других компонент скорости деформа- Х ции; при стремлении толщины слоя к нулю т)на оо, а остальные компоненты скорости де- Рвс.
195. формации остаются ограниченными. Обозначим, далее, через т касательную составляющую напряжения на поверхности Яг в направлении х. Поверхности разрыва Яг разделяют тело на части У, в каждой из которых напряжения и скорости обладают необходимыми свойствами непрерывности, а потому к каждой из частей применимо Рнс. 196. найденное выше уравнение. Последнее включает мощность поверхностных усилий; при сложении уравнений, выписанных для каждой части тела, всегда будут встречаться два интеграла по каждой поверхности разрыва (по положительной и отрицательной ее сторонам, рис. 196, б). РассмотРим элемент повеРхности г(8г) пУсть с отРицательной стороны гЮг лежит область У», с положительной в область 19 л.
м. Качанов 290 экстгечлльн!«а пгипципы и энвггети'!вские методы (Гл. ч!н Соответствующая мощность напряжений для ооласти И„равна (о о„+т о, Кто ) г(я!, где через т и и обозначены составляющие касательного напряжения и касательной скорости по оси у.
Для области И»„! соответствующая мощность напряжений равна — (!т„о„+ т,ох+ то,) дЯ!. Следовательно, сумма мощностей напряжений для элемента равна — т(и] !!о„ где через о обозначен скачок скорости о„ вЂ” о = («!„„!. Итак, напряжения, действующие на поверхностях разрыва скорости, развивают мощность — ~и~ ') т (о~ г(8„ где суммирование охватывает все поверхности разрыва о!. Эту мощность надлежит включить в основное энергетическое уравне- ние (64.6), тогда ~ Х„!т!г!тя = ~ агд1,Лг+ ~ т (о) !(я . (64.8) сг„— о, сг — о, о, — о, (64. 9) т.
е. поверхность разрыва является в сущности поверхностью максимального касательного напряжения (поверхностью скольжения). Поскольку напря!кения и скорости деформации теперь связаны соотношениями (64.1), сдвиг происходит в направлении действующего касательного напряжения, поэтому т 1о) = т, (о1 > О. (64.10) Для простоты письма знак суммы опущен; интегрирование распространяется на все поверхности разрыва Я = о' + Я» + „, В уравнении (64.8) слева стоит «мощность» поверхностных сил, справа — «рассеяние», Остановимся на нескольких замечаниях. 1.
Уравнение (64.8) справедливо для любой сплошной среды, находящейся в равновесии. Скорости и напряжения, входящие в (64.8), вообще говоря, не связаны между собой. 2. Пусть среда подчиняется уравнениям теории Сен-Венана — Мизеса (64.1). Как уже отмечалось, в окрестности поверхности разрыва скорость сдвига т)„» — оо, при этом из соотношений (64.1) вытекает, что $ 64) экстгамальныв пгинципы для жастко-пластического талл 291 3. В случае плоского напряженного состояния возможен также разрыв нормольиой составляющей скорости на линии разрыва Л (9 53, фиг. 165). Рассеяние на единицу длины шейки дано формулой (53.28). Вместо второго слагаемого в правую часть основного уравнения (64.8) следует включить величину т,й ) о)" 1+ ь4пау дэы где дэг — элемент линии Е (или сумму таких слагаемых, если имеется несколько линий разрыва).
Здесь о †величи разрыва скорости, у †уг наклона скорости и к линии Е; при Т= — относительное 2 скольжение отсутствует, происходит лишь утонение, при У=О происходит лишь проскальзывание. 4. Минимальные свойства действительного поля скоростей. Применим энергетическое уравнение (64.8) к жестко-пластическому телу. Пусть величины пгч $;, о; являются действительным решением задачи; при этом напряжения и скорости деформации связаны соотношениями Сен-Венаиа — Мизеса и удовлетворяют всем условиям равновесия и сплошности. По отношению к этому действительному состоянию основное энергетическое уравнение (64.8), очевидно, справедливо. Наряду с действительным состоянием рассмотрим другое, кикелатически возможное поле о~, удовлетворяющее условию несжимаемости и заданным граничным условиям (64.4) на 3,.
Скоростям о; отвечают согласно (64.5) скорости деформации ЦГ, которым по соотношениям (64.1) при $;. ~ О соответствует дениатор напряжения э,"р Последний, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям равновесия. Далее, напряжениям э,"~ по формулам Коши (64.3) отвечают некоторые поверхностные силы Х„", (определенные с точностью до гидростатического давления). Наконец, пусть кинематически возможное поле о; разрывно на некоторых поверхностях 81,1=1, 2,...
Таким образом, проводится сопоставление действительного поля. скоростей о; с кинематически возможным о,'. По отношению к действительному распределению напряжений игу и кинематически возможному полю скоростей е,' основное энергетическое уравнение (64.8) также применимо и переписывается в форме ) п1~Цгг()г — ~ Х„ге,'г(Я+ ) т (е'~ Н8;, = О, (64.11) где через (о') обозначен скачок о'+ — о' на Яр. Как уже отмечалось (9 16), напряжения пгг и скорости деформации $О, $,2 можно представить векторами в девятимерном пространстве напряжений. Условию текучести будет соответствовать выпуклая поверхность (гиперповерхность) †поверхнос текучести 10ч 292 экстгвмлльные пгинципы и энявгвтичяские мвтоды [гл. кш (см.
рис. 23). В силу соотношений Сен-Венана — Мизеса (64.1) векторы о;~ и $0 параллельны; выражение о;~~;., являющееся скалярным произведением параллельных векторов, равно произведению их модулей, т. е. ОЙ/ЬИ вЂ” — ЗВЬЦ= ТН= т,н. Другое выражение о~ Ц1 является скалярным произведением, вообще говоря, непараллельных векторов, поэтому оЩ=- г;,Ц1 ~ ТН'. (64.12) Знак равенства будет в пластической зоне при Ц1 = сй;р где с †некотор скалярный множитель. Но тогда из (64.1) вытекает, что е"1=агу т. е. напРЯженное состоание о,"0 отвечаюЩее кинематически возможному полю, отличается от действительного напряженного состояния о,Г величиной гидростатического давления. Так как о;г удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (64.2), то легко видеть, что упомянутое аддитивное давление должно быть постоянным. Если 8 ~=0 (где-то на поверхности заданы скорости), то с = 1 и поля скоростей о; и о; совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
