1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 46
Текст из файла (страница 46)
) где Ч'(ф — произвольная функция, определяемая по заданным граничным условиям. Отметим, далее, очевидный интеграл ~р = сопя!, у = сопз1, описывающий равномерное распределение напряжений, Для нахождения произвольных функций необходимо задать значения гр и )( вдоль некоторой кривой С на плоскости х, у. Ре~пение этой задачи Коши булет неопределенным, если кривая С сама является характеристикой. Рассмотрим разрыв скорости вдоль некоторой линии 7.
(рис. 165). Пусть правая сторона (.1 ) шейки смещается относительно левой ( †) со скоростью о. В яокальной системе координат и, 1 имеем прежние формулы (53.24) для компонент скорости деформации. Так как $~ — — О, то линия разрыва проходит по характеристике (напомним, что вдоль нее е =- О), т, е прямолинейна Ф совпадает с траек- 8 54) постгоение Решений ИРи УслОВии ТРескА — сеи-ВеиАИА 247 торией численно меньшего главного напряжения. Направления и, п следовательно, главные и т) ~ — — О, т.
е. Т=- —. Таким образом, разы ' 2' рыв возможен только в нормальной составляющей скорости, Отметим, далее, что вдоль карактгристики может бгить разрывно численно меньшее главное напряжение, причем величина разрыва произвольна в пргделак (О, а,). Например, для режима Скл вдоль характеристики может быть разрывно п„причем О к. ('(ОД) к. а„ и к.ам 4.
Режимы С н Р. Для сингулярных режимов С' и Р имеем: а,=а,=-хп„ (54.8) где х= +1 для режима С, х= — 1 для режима Г. Из формул (53,3) вы~екает, что для любой декартовой системы координат к, у имеем: . и„= а =- ха, т„= О. к т м (54. 9) Дифференциальные уравнения равновесия (52.1), очевидно, удовлетворяются. Таким образом, рассматриваемые режимы отвечают равномерному гидростатичгскому (в плоскости я, у) напряженному состоянию. Любое направление для напряжения является главным.
Скорости деформации для режима С равны $,=-Х,~)0, $з=-) е) О. Рассмотрим в такой области разрыв скорости вдоль некоторой линии й (фиг. 1 65). Пусть первое главное направление скорости дсформапии составляет угол гр с осью и. Согласно формулам (52,8) и (53.24) имеем: Е~"=Хгзш я> ! Хесоз (р=О.
Следовательно, ~р= О, Хе —. О, оси и, 1 являются главными, тогда т)ш-— -О, т. е, Т== —. Итак, вектор разрыва и нормален к линии Х., относительное скольжение отсутствует. Ориентация линии разрыва относительно поля напряжений произвольна. Разрыв напряжений в рассматриваемых полях, очевидно, исключается (ввиду условия а+ =- и„). 5. Режимы Р, А (одиоосное растяжение или сжатие). Здесь а, =--.ха„ а, =- О.
Внося напряжения а„ и, т„ по формулам (53.3) у' г ху в дифференциальные уравнения равновесия (52.1), находим, что угол наклона первого главного направления гр =- сопз(, что соответствует полю одноролного растяжения (или сжатия). Скорости деформации определены формулами (52.18): г'з ьь =- )"т Ез — г'"г причем А, ~ О, Ла )~ О. Рассмотрим теперь разрыв скорости вдоль некоторой линии т". (фиг. 165, в). Пусть по-прежнему первое главное направление составляет угол ~р с осью л, Главные скорости удлинения В шейке даны 248 (гл, щ ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ формулами (53.26), следовательно, а — — (1 — гйп у) = — )с,. 2Ь вЂ” (1 -)- гйп У) =- А, -)- Лз, Скорость удлинения вдоль шейки равна нулю, поэтому $,.= (Хт+ Х,) з!п' ф — Х~ соз' ф = О.
(54. 10) Исключая из последних соотношений —, А, и Х„находим, что в!и у = соз 2ф, откуда у= — ", — 2ф, (54.11) т. е. главное напряжение о, =-и, действует в направлении 1, являющемся биссектрисой угла между нормалью к линии разрыва и вектором скорости ю. Заметим, что в силу (54.10) !8'ф к 1, т. е, ) ф ~ ( 4 . В этих пределах направление линии разрыва скорости относительно растягивающего напряжения произвольно'). Вектор же разрыва и ориентирован согласно (54.11). В общем случае одновременно происходят проскальзывание и бв утонение. Если же линия разб рыва нормальна к направлению растяжения (ф=О), то скольження нет (у= — ), образуется лишь шейка.
На линии разрыва скоростей компоненты напряжения непрерывны. Легко, далее, видеть, что Рнс. 169. линия разрыва напряжений па- раллельна направлению растяжения, причем справа от нее о,' =о„ а слева б, = — и, (см. рис. 39). Вдоль линии разрыва напряжений поле скоростей непрерывно. Приведенные результаты (с очевидными изменениями обозначений) переносятся на два других одноосных режима В и Е. 6.
Осеснмметрнчное поле. Рассмотрим осесимметричное напряженное состояние при отсутствии скручивания (т. с, при т„а = 0). Компоненты напряжения о„, ов будут гланными. Решение зависит от того, какой осуществляетсн режим. Остановимся для определенности на задаче о бесконечной пластине с круговым вырезом (рнс. !69), уже к г) Этот результат не согласуетсн с наблюдениями (см. 4 53,8) и еще раз напоминает об известной условности схемы течения в сингулярном режиме.
РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ 249 9 55! изученной в предыдущем параграфе при условии текучести Мизеса. Если по контуру выреза г == а действует внутреннее давление, а на бесконечности напряжения равны нулю, то вблизи отверстия а, < О, аа > О и решение будет таким же, как в случае плоской деформации. Если же пластина с свободным вырезом испытывает на бесконечности равномерное растяжение, то напряжения и„, па †одно знака (что вытекает из анализа упругой задачи) и условие текучести имеет вил Оа = сопз(:= о,.
Граничное условие таково: при г = а О„=О. Тогда из дифференциального уравнения равновесия при указанном граничном условии получаем: п„=-п,(1 — — ) . Задача относится к параболическому типу, и единственное семейство характеристик представляет собой пучок прямых, исходящих из центра (фиг. 169). На этой же фигуре показано распрелеление напряжений; оно незначительно о~личается от поля напряжений при условии текучести Мизеса. 7. Замечания о жестко-пластической границе и разрывах. Жестко-пластическая граница, примыкающая к гиперболической зоне (режимы 1РВ, АВ), проходит по характеристике (в данном случае— по линии скольжения).
Если же линия раздела ограничивает параболическое состояние (режимы Сс), ЕГ, ...), она также проходит по характеристике. Доказательство аналогично приведенному В конце прелыдущего параграфа. Рассмотренные выше случаи разрывов не являются исчерпывающими. В принципе с каждой стороны линии разрыва может осуществляться любой режим течения и необходимо обсудить различные возможные варианты. На этом мы не останавливаемся; разрывы при условии пластичности Сен-Венана подробно рассмотрены в книге [хт].
й 55. Упруго-пластическое равновесие пластияы с круговым вырезом нод действием равномерного давления Рассмотрим в качестве простого примера осесимметричную упруго-пластнческую задачу для бесконечной пластины с круговым отверстием. По контуру выреза г = а приложено равномерное давление р (рис. 170). 1. Упругое состояние. При небольшой величине лавйения р пластина находится в упругом состоянии и напряжения (в полярной 250 (гл. ш ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ системе ксорлинат г, О, где 3 †полярн угол) будут о„.=- — р( — ), ов..+р — ) .
(55.1) Таким образом, в пластине при упругих деформациях реализуется состояние чистого сдвига. Максимальное касательное напряжение и интенсивность касательных нага~я пряжений равны Т=р (,г) н впервые пластическая леформацня появляется на краю отверстия при давлении р -= =т,=- )с С возрастанием давления пластические деформации распространяются в кольце а < г ( с, радиус с которого подлежит определению.
Очевидно, что в упругой области г ) с напряжения будут о, — — Уг ( — ), о =- )с ( с ) (55.2) 2. Упруго-пластическое равновесие при условии текучести Мизеса. Решение осесимметричной задачи в пластиНа границе раздела г =- с напрясостоянию чистого сдвига, т, е. Рнс. 170. ческой зоне было получено в 9 53,5 жения непрерывны н соответствуют при г=с Определяя нз этого условия произвольную постоянную в решении (53,19), получаем: ( — ) =-е "(а ") в)пю. Полагая здесь г=а, найдем значение ы„соответствующее данному с; давление по краю отверстия определяется по формуле (53.13) для о, при ю †.. ю,. Легко вилеть, что гл, ) — и растет вместе с (-.) с т 5 †) .
Давление р при этом увеличивается, достигая при го, = — и максимального значения 27с. Дальнейшее возрастание давления и расширение пластической зоны невозможны; при этом максимальном давлении р .= — 2л происходит беспрепятственное (при малых лефор- 2 55) РАВноВесие плАстины с кРуГОВым ВЫРезом 251 маниях, конечно) утолщение пластины у края отверстия. Для того чтобы показать это, пренебрежем упругими деформациями у края отверстия, тогда согласно (52.3) о — 2о, 3,+ ', За=0.
Г Отсюда, используя условие несжимаемости ~,+~ +~,=0, находим скорость относительного утолщения пластины При максимальном давлении р =- 27г напряжения у края отверстия г = а будут (см. рис. 157): а„ -- — 2л, аз == †/г и, очевидно, ~, оо, Максимальный радиус зоны пластичности получаем из (55.3) при 5 г = а, га =- — п: 6 ( — ) 1,75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
