1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Эти условия могут быть выражены дифференциальными соотношениями, аналогичными уравнениям Гейрингер и выведенными Хиллом [ь«]. 8. Линии разрыва скорости. В плоском напряженном состоянии, так же как и в случае плоской деформации, значительный интерес представляют разрывные решения, которые могут иметь место для Рнс. 1бб. областей гиперболнчности и параболнчности. Рассмотрим некоторую линию разрыва скорости Е.
В отличие от случая плоской деформации в плоском напряженном состоянии слелует допустить возможность скачка не только в касательной, но и в нормальной составляющей скорости. Подобный скачок приводит к резкому утонению (рис. 165„а, «шейка») или утолщению (рис. 165, б, «валик») пластинки вдоль линии разрыва, Такая линия является математической идеализацией наблюдаемого в опытах локального образования шейки. Условимся поэтому называть такую линию разрыва «шейкой»; ее следует рассматривать как предельное положение полоски интенсивной деформации, причем соответственно схеме плоского напряькенного состояния скорость де~ормации в шейке считаем равномерной.
2 53) постгоение гашений пги головни твктчести мизвсл 241 Скачок скорости не может быть произвольным, будучи связан определенными условиями с напряженным состонннем, Рассмотрим зги условия. Пусть одна сторона ( + ) шейки Е (рис. 165, в) смещается относительно другой ( †) со скоростью и. Обозначим через Ь ширину шейки (в пределе Ь вЂ” О). Вектор э наклонен к линии Л под углом Т, т. е. разрывны касательная и нормальная составляющие скорости.
В произвольной точке М шейки проведем локальную систему координат и, 1, направив ось 1 по касательной; тогда компоненты скорости деформации в шейке будут где э в модуль скорости. Скорость удлинения в направлении и, перпендикулярном к вектору скорости, очевидно, также равна нулю: $„ = О. Следовательно, т и сс-направления — характеристические, и угол между ними равен 2ф Итак, вектор разрыва скорости о наклонен под углом и 2=2ф —— 2 (53.25) н шейке; линия разрыва проходит по характеристике. При у =О характеристики ортогональны, утонение не возникает и происходит лишь относительное скольжение. Это будет в случае напряженного состояния чистого сдвига (со =- — ~ . 2/' Исходя из (53.24), легко находим обычным способом главные скорости удлинения в шейке 2Ь (1 г гйп 7), йя =- — — ( 1 — ь!п 7), (53.26) Третья главная скорость деформации (в направлении, перпендикулярном к плоскости и, 1) определяется из уравнения несжимаемости й = — — з1п у.
Ь Ьйл — Ьй (ой, + ой,). Внося главные скорости деформации в соотношения Сен-Венана— Мизеса (13.12), получаем главные напряжения <т~ 1+3 а1п т ус1 + 3 в 1пт у о, 1 — Зяпт — — — (53.2Т) Главные направления 1, 2 делят пополам углы между характеристиками. Мощность пластической деформации на единицу длины шейки равна (гл, ш 242 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Легко вилетгп что о,+о, юп у Ь)тА =йо7с"Р~~~ 3 з(па у. (53.28) В параболическом случае обе характеристики сливаются, совпа- лая вдоль шейки; в последней реализуется напряженное состояние, соответствующее одной из параболических точек на эллипсе (рис.
157). я я Для точки ю=-- — напряжения о,= — 2/г, П,=7т, угол у.=- —, 6 т я ' 2 следовательно, скачка скольжения нет, имеется разрыв только в нор- мальной составляющей скорости, происходит лишь утонение вдоль 6я линии разрыва. Для точки го = — напряжение о,=- — )с, о,= — 2)т, 6 угол у .=- — —,, скачка скольжения по-прежнему иет, рззрывна 2 линть нормальная составляющая, вдоль линии разрыва происходит утолщение. Рассмотрим в качестве примера р а с т яхсение плоского образца (рис. 166), предполагая, что шейка захватывает все ф 1 Рис. 167.
Рис. !66. его сечение; здесь П,=-О, у = агсз(п — =-19'28', а ТР= 54'44'. 3 Вектор разрыва скорости наклонен к оси образца под углом 35'16'. По обе стороны шейки материал чжесткийл. При известных условиях образование такой шейкичнаблюдается в опытах, причем угол ее наклона к направлению растяжения составляет 55 — 60'.
Этот 9 53) постгоение гашений пги зсловии тьючести мизеса 243 вопрос подробно разбирается в монографии Надаи (Я'), откуда заимствована фотография образующейся шейки (рис. 167). 9. Линии разрыва напряжений. Разрывы напряжений лолжны удовлетворять условиям равновесия и пластичности. Воспользуемся чер~ежом, привеленным в предыдущей главе (рис.
99). Рассмотрим элемент линии разрыва А, на который действуют компоненты напряжения пя, тя, сг,', о,; по условиям равновесия компоненты и„, т„ непрерывны, разрыв возможен лишь в нормальной составляющей о,, Из условия пластичности (52.2) находим: (53.29) Скачок составляюп1ей и, равен 1 (п,Д=-о,' — о, =2), 3 ()аа — т„' — — и„') Угол наклона характеристик на линии разрыва напряжений изменяется скачком. Пусть положение главных осей напряженного состояния определяется углами 6+ и 6 (рис. 163).
С помощью формул (53.3), заменив ~р на 6, можно вычислить компоненты и„ и„, т„г Условия непрерывности о„, тя, приводят к соотношениям р'+т+ соз26+ =р — т соз 26 т+ з)п26е =.т ага 26 где через р и т обозначены соответственно полусумма и полуразность главных напряжений. По условию текучести (52,2) р' -'; Зт' = 37га. Из приведенных соотношений следует, что г 2 з1п 26+ соа 26ч + р+/т+ Рис. 188.
Величина т вычисляется через р по условию текучести. Ни линии разрыва скорости компоненты напряжения непрерывны, поскольку напряженное состояние на этой линии (проходящей по характеристике) определено формулами (53.27). Обратно, поле скоростей на линии разрыва ~(апряжений непрерывно (ибо, если оно разрывно, то невозмоясен разрыв напряжений). Покажем, далее, что линия разрыва напряжений не удлинлетсл.
244 (гл. ш плоское нкпгяженное состояние Действительно, по уравнениям Сен-Венана †Мизе (13.12) имеем: $+,=)~'(а"; — о"), $,=-Х (о,— о ). Из непрерывности скоростей вытекает, что вдоль линии разрыва Д=$,, т. е. Х+(2а~ — а„)=)с (2о,— а„). В силу (53.29) величины в круглых скобках отличаются знаком, а так как А неотрицательно, то А+='А =-О, т. е.
$,=0. 1О. Жестко-пластическая граница. Пусть некоторая линия Т. отделяет пластическую область от жесткой области; будем считать, что последняя находится в покое (см. 9 38.5). Если на линии раздела Е скорость разрывна, то, как показано выше, эта линия проходит по характеристике. Если же скорость непрерывна, то на г'. скорость равна нулю; если при атом Т. не является характеристикой, то в покое будет находиться и характеристический треугольник, примыкающий к Л (ибо поле скоростей в нем определяется решением задачи Коши). Если же в пластической зоне происхолит деформация, то это возможно лишь в случае, котла Š†характеристи. Итак, жестко-пластическая граница проходит по характеристике (или по огибающей характеристик).
й 54. Построение решений при условии текучести Треска†Сеи-Веиана. Разрывные решения 1. Общие замечания. В 9 52 были сформулированы уравнения плоского напряженного состояния при условии текучести Треска— Сен-Венана; эти уравнения различны для различных режимов. Решение конкретных задач обычно требует рассмотрения течений в различных режимах, реализуюптихся в тех или иных частях пластической зоны. При атом нетрудно ошибиться и выбрать неправильную компоновку различных областей напряженного состояния, что иногда приводит к парадоксальным заключениям. Для выбора правильной конструкции решения необходимо тщательное построение согласованного поля скоростей. Уравнения для напряжений в различных режимах изучены В, В.
Соколовским (г'). Последовательное построение поля скоростей стало возможным лишь после введения ассоциированного закона течения. Анализ разрывных решений принадлежит Р. Хиллу ('а'~. 2. Реисимы ВЕ и АВ (ота, < О). В 9 52 было отмечено, что система уравнений для напряжений и скоростей для рассматриваемого режимз совпадает с соответствующей системой для случая плоской деформации. В таких областях характеристики ортогональны и совпалают с линиями скольжения. Изложенные в предыдущей главе результаты полностью переносятся на сл~чай пластинки при ата,( О. В случае пластинки имеется лишь ограничение для величины нор- 2 54) постгоаиие гашений пги головни тгвскх — свн-вьнхня 245 мальных напряжений (например, дли режима Е)Е и ( п„(о»~ «.о,).
Утонение пластинки не происхолит ($, = 0). Невозможность утоиения исключает разрывы нормальной составляющей скорости; из условия $, = 0 следует (см, формулы (53.24)), что $„ = — з!п Т = О, т. е. у =- 0 Происходит, как и в случае плоской деформации, относительное скольжение вдоль линии разрыва скорости, проходящей по характеристике. «Шейка» не может возникнуть.
Что касается линии разрыва напряжений, то приведенные в 2 39 результаты полностью сохраняются. Линия разрыва напряжений— биссектриса угла между одноименными линиями скольжения. 3. Режимы СВ и ЕЕ. Для режима С0 (см. 2 52) п,=о„ 0<о,<о,. Положим (54.1) о, — о, = 2п»1(, где у =- у (х, у) †неизвестн функция. Тогда о., + и, = 2п,х (1 — )(), (54.
2) где х=з!ало,=з!дпп,. Для режима СВ х= +1; множитель х введен для того, чтобы полученное решение можно было перенести на режим ЕГ, где х =- — 1. С помощью формул (53.3) находим: " ) = — и, !х (1 — у) .+. )( соз 2(р~, т„= о,)( зш 2гр, (54,3) У где гр = ~р (х, у) — неизвестный угол межлу первым главным направле- нием и осью х. Подставляя эти значения в дифференциальные урав- нения равновесия, освобождаясь от двойных углов, умножая полу- ченные уравнения соответственно на з!п~р, созгр, складывая затем эти уравнения и вычитая, находим после некоторых упрощений ьйп 2гр — — (х + соз 2~р) — = О, дф ду дх ду = (54.4 з!п 2<р — — (х + соз 2~р) — + 2х — = О.
д!пХ д1п Х д~у ( ) дх ду ду Нетрудно построить общее решение этой системы. Уравнения характеристик первого уравнения имеют вид дх йу йр »1п 2~р — (н+ соз 2~р) О и легко интегрируются: гр=сопз)=См у=к!й~~р+(х+1) — |+С,. (545) ХараКтеристики — прямые линии, наклоненные к оси х под углом "1 ~р+ (х+1) †" и, следовательно, совпадающие с линияйи скольже- 4 ) ния, т. е.
с прямыми траекториями главных напряжений (2 52.3). 246 (гл. ю плоское нлпгяженное сОстОяние Для режима Сст' характеристики совпадают с прямолинейными траекториями численно меньшего главного напряжения и, (для режима Ес" и, = — о„ х = — 1 и характеристики проходят по прямолинейным траекториям главного напряжения о ). По ассоциированному закону в режиме С7) Ет == О, т.
е. характеристика не удлиняется. Общее решение первого из уравнений (54.4) может быть прел- ставлено в виде у=-х15~<р Р (х —,1) 4~+Ф(гр), (54. 6) где Ф (<р) — произвольная функция, определяемая по заданным граничным условиям. Составим теперь уравнение характеристик второго уравнения системы (54.4) йх йу д!ЛХ яп 2~р — (к+сов 2~р) 2 д% дх Это уравнение имеет то же семейство характеристических линий, т. е. система (54 4) — параболического типа. Вдоль характеристической линии д~р йх д 1п )( = — 2х — —. дх яп2у' Дифференцируя по х решение (54 6), вычисляем производную др дх ' — вносим ее в последнее соотношение и выполняем интегрирование. Тогда общее ре1пение второго уравнения (54.4) будет: 'Р Ор) 54.7) 2х+ (1 — х соа 2ср) Ф' (~р) ' (" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
