1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 47
Текст из файла (страница 47)
а,— а,=2л, где 2м= а,, Из дифференциального уравнения равновесия (53 14) и условий непрерывности на окружности с = с получаем: а,= — (г (1+ 2!и — ), а,=/г (1 — 21п — ) . (55. 4) По условию текучести радиальное напряжение а, по величине не может превысить а, (см, рис. 159); при этом из (55.4) находится максимальный радиус пластической зоны ( — ) ж 1,65. Уравнения в пластической зоне являются гиперболическими; при максимальном давлении р =- 27г характеристики семейств а, р касаются на окружности г = а друг друга (ф= О), чему соответствует 5 на рис, 157 параболическая точка ю = — п, На границе раздела б г =- с характеристики ортогональны.
Распределенйе напряжений показано на рис. 170. 3. Упруго-пластическое равновесие при условии текучести Треска †С-Веиаиа. В данном случае у края отверстия реализуется режим ОЕ (рис. 159) и условие текучести имеет вид 252 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ (гл. ч! На рис. 171 показаны упругое (пунктир) и упруго-пластическое ( С сплошные линии; — =1,40) распределения напряжений, там же приведены графики остаточных напряжений ня, о,'„возникающих при снятии давления. Заметим, что радиальное Р остаточное напряжение О,'— сжимающее.
Это обстоятельство широко используется в машиностроении для закрепления Рнс. П2. Рис. 17!. труб в плоских (или изогнутых) металлических листах (плитах) посредством развальцовки. Процесс развалыговки труб заключается в раздаче изнутри конца трубы 1 (рис. 172), вставленного в отверстие в листе 2. После удаления инструмента (снятия давления) труба оказывается прочно закрепленной в листе (см, 1ЯА1, гл. ХХХ!В). й 56.
Растяжение полосы, ослабленной вырезами Рассмотрим (при условии текучести Мизеса) две задачи о растяжении полосы, ослабленной вырезами. Решения этих задач получены Р. Хиллом (х'Я); предполагается, что вырезы достаточно глубокие. 1. Растяжение полосы с круговыми вырезами.
Пусть полоса ослаблена симметричными вырезами с круговым основанием радиуса а (рис. 173). Вблизи круговой части контура возникают осесимметричные поля напряжений (благодаря гиперболичностн уравнений в этих областях поля напряжений полностью определяются формой свободного контура). Следовательно, напряжения в этих зонах будут описываться формулами (53.18), причем расстояние г от центра О и функция ю связаны уравнением (53.21).
Очевидно, что эти поля могут быть продолжены с каждой стороны не далее чем на расстояние г = 2,07а= с,; в этом предельном случае угол раствора круговой части дуги АВ не должен быть меньше 38'56', й 561 РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМН 253 Пусть Ь < 1,07а; тогда поля, распространяющиеся от каждого выреза, соединяются в центре С (рис. 173, а). Для осуществимости построения дуга АВ должна иметь достаточный угловой раствор б/ аl Рнс. !73. (в частности, построение всегда возможно, если угол раствора ~ )38'56'). Используя дифференциальное уравнение равновесия (53,19) и интегрируя по частям, находим предельную нагрузку а+А Р, =2 ~ овраг=-2(а+Ь) (о ), „А (56.1) а Элементарная предельная нагрузка равна Р' = 2о Ь= 2)' 3 ЬЬ.
а * а Отношение Р (Р, (коэффичиент усиления) может быть представлено приближенно формулой — 1 б 0,23 — (О( — (1,07), (56.2) При Ь=1,07а характеристики сливаются в центре С. В дальнейшем при Ь) 1,07и осесимметричные пластические области не изменяются, соединяясь по оси х шейкой (рис.
173, б), отвечающей параболической точке на эллипсе текучести (рис. 157). Вдоль шейки о,=Ь, о,=2Ь. С помощью (56.1) легко вычисляем предельную нагрузку а+А Р, =. 2 ) о с(г = 2Ь (а + 2Ь вЂ” сг) 254 (гл. Рд ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ и коэффициент усиления —, ж 1,15 — 0,04 — (Ь ) 1,07а). (56.3) В заключение остановимся на двух замечаниях. Сравнивая полученные результаты с соответствующим коэффи- циентом усиления (41.4) в случае плоской деформации, обнаруживаем, что при плоском напряженном состоянии коэф- фид(лент усиления несколько меньше. Верхняя и нижняя части полосы жестко смещаются в направлении действия нагрузок.
Вдоль линий раздела, проходящих по характеристикам, скорость разрывна, образуются шейки. Наблюдения Ханди (ть~ над растяжением медной полосы, ослабленной круговыми вырезами (рис. 174), подтверждают этот качественный вывод. Шейка хорошо наблюдается в стадии деформации, предшествующей разрушению. 2. Растяжение полосы с угловыми вырезами. Полоса ослаблена симметричными угловыми вырезами (рис.
175). К свободным прямолинейным сторонам вы- резов могут примыкать лишь области равномерного Рис 174 одноосного растяжения, причем ф =- фд =- 54'44', Рассмотрим схему решения, показанную на рис. 175, а. К области равномерного растяжения примыкает центрированное поле (53,16). По условию непрерывности напряжений угол О должен отсчитываться от полярной оси О'О" согласно рис. 163. В ромбовидной области АВСО реализуется равномерное ,напряженное состояние, причем по линии АВ касательные напряжения равны нулю .по симметрии. Но тогда др — угол между главным направлением и осью г, проходящей по линии ВО; последняя определяется углом О =- Од.
Приравнивая напряжения по формулам (53.3) напряжениям согласно (53.16) при О = 0„ находим: 1я 2гр = 2 (К О . (56. 4) Из построения, приведенного на рис. 175, а, следует, что др = Π— (5+ 2фд — гд). Таким образом, угол О определяется из уравнения 21д О, + 16 2 (6+2ф,— О,) .—. О. (56.5) Зная О,, легко находим главные напряжения в области АВСО г. помощью формул (31А) и (53.16) од, аа= — (3 созОд ~ 1' 1+Зейн Од). (56.
6) РАстяжение полосы, ОслАз.ченной ВЫРезАми 255 3 56) Построение возможно, если гр ) О. При чр —.-0 из (56.4) вытекает, что О,.— О. Таким образом, 6) и — 2ф = 70'32'. При этом коэффициент усиления равен — (3 соя О 1 1~1 г 3 жпЯО ), -- — 2чр ~~ 6 ( — . (56.7) При О,=-О все построение вырождается в линию разрыва (шейку) вдоль АВ; оба семейства характеристик сливаются в одно (см.
рис. 163). Ряс. 175, Это решение, показанное на рис. 175, б, сохраняется и для более острых вырезов, когда 6 С 70'32'. Вдоль АВ о, = 2Ь, о,.=- Ь и коэффициент усиления теперь равен 6 < 70'32'. (56.8) р= у-з ф 57. Изгиб полосы с односторонним вырезом Рассмотрим изгиб полосы с односторонним вырезом (рис. 176), причем ограничимся разбором случая углового выреза, Конструкция полн характеристик показана на рис. 176, а. К нижней прямолинейной границе примыкает треугольник равномерного одноосного сжатия — ф' ЗЬ. У выреза поле такое же, как и в предыдущей задаче (рис.
175, а). Нормальное напряжение на линии АВ равно о, согласно (56.6), причем угол О, находится из уравнения (56.5). Положение точки В (характеризуемое отрезком Ь,) определяется условием равенства нулю главного вектора напряжений, действующих в наименыпем поперечном сечении, именно: О,Ь,— о,(Ь вЂ” Ь,)=0 (о,=-'р'ЗЬ).
256 (гл. ш плоское нлпгяжвиноь состояние Предельный изгибающий момент равен адлдя а, (л — лд)д 2 Лля гладкой полосы высотойй предельный момент равен М'= — ')д'. е б, 4 Коэффициент усиления равен М 2ад Ме а,+а,' Как и в предыдущем параграфе, решение верно при 6) и — 2дрд =- 70'32'. Рис.
176. При 6=и — 2фд все построение выше точки В вырождается в линию разрыва (шейку) вдоль 7Дй АВ. При 6(п — 2ф осуществляется решение по схеме, показан- (Ю. ной на рис. 176, б. Напряжения в шейке равны а =2)д, а =)д. Легко видеть, что /Я л Уз 2+ )/ 3 /42 а коэффициент усиления постоянен М 4 — = 1,072. (57.2) М„2+ УгЗ График коэффициента усиления в зависимости от угла выреза приведен на рис. 177. В предельном состоянии жесткие части полосы испытывают поворот относительно точки В.
Несколько сложнее задача об изгибе полосы с круговым вырезом (см. [дз')) ' .47 7а Я' .27' 717' Ю -~ — Д Рис. 177. 257 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ У! ЗА)ТАЧИ К ГЛАВЕ У1 1. Рассмотреть упруго-пластическое состояние быстро вращающегося круглого диска постоянной толщины при условии текучести Треска — Сеи-Веиана. Прн какой угловой скорости достигается чисто пластическое состояние? 2.
Рассмотреть (в условиях плоского напряженного состояния) изгиб короткой консоли силой (рис. 119) при первом типе поля скоростей (т. е. для чдлинныхз консолей), используя решения, показанные иа фиг. 163. 3. Показать, разыскивая решения дифференциальных уравнений равновесия и условия текучести Мизеса, независящие от радиус-вектора г, что функ- I В(з 1 В ция ш = зз + ( — ) , где з = о , удовлетворяет уравнению '136) ' ( — )' — ~ +12 — 483 =О. бшх В (') бз 4. Показать, что частный интеграл ш 4йз уравнения (") приводит к решению Хилла (63.16), содержащему одну произвольную постоянную.
б. Показать, что интегрирование уравнения (*) приводит к решению с двумя произвольными постояннымн В, пп и =А-(-Всоз2(0-)-ы), а =А — Всоз2(6+ы), т, =Вейн 2(0+ы), В г — гав где Аз=3(йз — ВВ). 6, Рассмотреть задачу об изгибе полосы с двумя угловыми вырезами (см. $57, рис. 176). 7. Рассмотреть задачу об изгибе полосы с одним круговым вырезом для случая, когда поле сжатия (рис. 176, а) соединяется в некоторой точке В с осесимметричным полем. 8. Найти предельную нагрузку при изгибе консоли (рис. 119) давлением, равномерно распределенным по верхней грани.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
