1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 12
Текст из файла (страница 12)
г; = гээ (1= 1, 2, 3), где г)' †некотор фиксированные главные значения девнатора 1),. з) То есть не зависит от пути, проходимого телом от одного состояния к другому; иначе было бы возможно осуществление регре1ннш шоЬйе первого рода, т. е.
возникновение энергии нз ничего. з) Подчеркнем, что в схеме нелинейно-упругого тела даже «состояние текучестю является своеобразным упругим состоянием. Моделью нелинейно-упругого тела является пружина с нелинейной характеристикой. Можно провести некоторую аналогию между «состоянием текучестиз (Т=сопэ1) и потенциальным полем силы тяжести (сила тяжести постоянна). 62 уРАВнения плАстическогО состояния [гл. и Тогда рассмотренные выше теории пластичности в условиях малой деформациит) совпадают Я. Действительно, главные оси девиатора напряжения неподвижны, а отношения его главных значений не изменяются (р,= сопз1); согласно уравнениям теории течения (13.5) имеем: двл = й)~.
~ее (15.1) Пусть упрочнение отсутствует, тогда из условия текучести Мизеса сРазУ вытекает, что г = сопз(, т. е, напРЯжениЯ з, =Ыгз — постовнные, Величина йХ пропорциональна приращению работы пластической деформации йАР, именно с()ь= йА /2тз. Суммируя приращения компонент пластической деформации йвло получим компоненты пластической деформации всб суммирование элементарных работ йАР приводит к пластической работе А . Последняя является скалярной функцией; обозначим ее через 2т,'~р. Тогда соотношения (15.1) принимают вид ее= ран но это есть уравнения деформационной теории пластичности (если вычесть слагаемые, относящиеся к упругой части деформации и следующие закону Гука).
Это отметили Хоэнемзер и Прагер в 1932 г. Если имеется упрочнение, то согласно (13.13) й)ь=Р'(ТД ТзЖ, где Тз — интенсивность касательных напряжений для состояния гзг. Вводя новую переменную Тз(=т и суммируя приращения компонент пластической деформации Фвлг в соотношениях (15.1), получим слева сами компоненты влр В правых частях (после выделения множителя ззг[Тз) суммирование приводит к некоторой функции т. Возвращаясь к исходной переменной, получаем: ЕР г',(Т г') г„ где р„ †некотор функция, т. е. уравнения деформационной теории пластичности в случае упрочнения.
Обратно, если потребовать эквивалентности обеих теорий, приравняв приращения компонент пластической деформации (13.5) приращениям компонент пластической деформации, вычисленным согласно уравнениям деформацнонной теории (14.4), то получим; й). Уг = г у йр+ <р йгг . Отсюда вытекает, что йЛ вЂ” фр йзз г) Л. И. Седов показал [ыз[, что прессов нагружеиич прн конечных деформациях тел, как правило, неосуществимо. 9 15) связь мвждх теогией течения и днеогмпционной твогией 63 В левых частях этих уравнений стоит бесконечно малое приращение некоторой скалярной величины. Выполняя интегрирование, находим, что напряжения э; имеют структуру ь, нг эб эб соответствующую простому нагружению (Ч' — скаляр).
Итак, обе теории совпадают только в случае простого яагружения. При сложном нагружении деформационная теория и теория течения приводят к различным результатам. Забегая несколько вперед, отметим, что эти результаты сближаются в одном важном для приложений случае деформирования. В пространстве деформаций путь деформирования изображается в виде некоторой линии(рис. 19); пусть, начиная с какого-то момента, путь деформироваиия приближается к прямой линии (пунктир); будем тогда говорить, что деформация развивается в определенном направлении.
Ес- Рис. 19. ли этот случай имеет место, то напряженные состояния, подсчитыеаемые по обеим теориям, сближаются. При этом влияние сложной истории деформирования быстро ослабевает и устанавливается неизменное напряженное состояние, определяемое теми фиксированными скоростями деформации, которые характерны для прямолинейного участка (см. ниже).
Интересно также отметить, что если исходить из более общих представлений о поверхности нагружения, имеющей особенности (см, 9 1 7), то для некоторых классов путей иагружения уравнения теории течения приводятся к уравнениям деформационной теории (см. работы Б. Будянского(ээ), В. Д. Клюшникова(тзь), Ю, Н. Работнова (ьэ)). 2. Пример.
Совместное кручение и растяжение тонкостенной трубы. В качестве примера, иллюстрирующего свойства введенных выше1уравнений пластичности, рассмотрим симметричную деформацию круглой тонкостенной трубы при действии скручивающего момента и осевого растяжения. Этот случай соответствует так называемым Р+М-опытам (5 7). Как уже указывалось ранее, здесь можно полагать отличными от нуля компоненты напряжения о, и т (в цилиндрической системе координат г, ~р, г).
Компоненты напряжения о„ и, т,, т„ отбрасываем вследствие их малости по сравнению с комйонейтами о, т,. Компоненты деформации у„, у„, малы по сравнению с у,. Для упрощения выкладок будем считать материал несжимаемым, что внесет незначительные изменеНия в общую - картину деформации.
Тогда из Условия несжимаемости и уравнений деформациониой теории (14.23) УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ (гл. и 1 вытекает, что е,=-е„=- — — з . Если же исходить из уравнений теории 2 х' течения (13.7), то аналогичным образом получим, что ~(з,=Не„= 1 = — — г(е,. Условимся рассматривать лишь случай идеальной пластичности и введем безразмерные величины где Ев =о, Оу =т . Решение по дефор мационной теории.
Легко получаем, исходя из (14.20): 'Р~ 'И+у' причем условие текучести будет Ч~ + тз — 1 Полагая последовательно (15.2) (15.3) "ри О ~( О ~( 2, при О(ти(1, д=а(НО (1 5.4) находим: ,„7 ( р/ ~т) (15.5) с(ь = йу+ т(Л д, Фу = Ит+ НЛ т, где согласно (13.6) и условию текучести (15.3) с(Л =- — Е ЙХ = д И~+ т ~(7. 2 3 (15.6) (15. 7) Сюда же следует присоединить условие текучести (15.3); с его помощью находим из (15.6), (15.7) дифференциальное уравнение дя — (' В ВТАБ — = )/'1 — 7В ()/1 — О — д ) . Подчеркнем, что дли определения д из этого уравнения необходимо задать путь деформирования у = 7 (ь); такое требование не возникает, если мы исходим из деформационной теории (см.
(15.2)). причем величины у, Ь считаем положительными (при сложном нагружении с переменами знака приобретает значение эффект Баушингера, игнорируемый теориями). Решение по теории течения. По уравнениям (13.7) получаем: % 15) связь межах таогиай твчаиия и дееогмлциоииой теогиай 65 Заданный путь дсформировавия у=чу (~) считаем гладким и удовлетворяющим условию иагружеиия йЛ ) О.
Выполнив подстановки (1 5.4), преобразуем последнее уравнение к уравнению Риккати йо ! а, ! — — ' — у'(ь) + —. йь 2 2 (15.8) у(Ц=А+Вь; если уч уо при Ь= Ьо и у=у! при Ь=Ьы то тАа — та1о ва — во ьа ьо та Уо Дифференциальное уравнение принимает вид дое ! йь 2 (тиа+ 2Вте 1) Это — уравнение с разделяющимися переменными; иитеграл его, удо влетворяющий условию при те=тио имеет вид гм, Т-м, 2~! Здесь введены обозиачевия (15.9) Е = ~ ' " ~ ехр ~ — )/Вв+ 1 (~ — ~о)~, '~= — В.+~ В' — 1~~~~. Рвс.
20. При ои>те нужно в (15.9) брать знак —, при те<те,— зиак+. Ступенчатый путь. В опытах часто примеияется ступенчатое вагружеиие (рис. 20); иа каждой ступеньке постоянно либо Ь, либо у. Соответствующие решения легко получить, исходя из уравнений (15.6), (15.7). Так, пусть ~ = сопя(, тогда йЬ= 0 и йу=— йт ! то 3 Л, М. Качанов Частные случаи. Для некоторых конкретных функций у(Ь) нетрудно построить частные решения етого уравнения, представляющие интерес для анализа уравнений теории пластического течения и постаяовки опытов.
Остановимся ва нескольких случаях иитегрироваиия, отличающихся простотой. Линейный путь деформирования. Пусть (гл. и УРАВнения плАСТичРского СОСтояния Интегрируя и удовлетворяя условию 2= в тт при у= у, находим: (15.10) где положено 0 (у) = — ' ехр 12 (у — ут)]. (15,11) Пусть иа другой ступеньке у= сопя(, тогда аналогичным путем получаем: (~) ' 2 у= —, т=г! — д, г (Д+1 причем д= д для (, = ~„ а г".
(Ь) = — ~1 ехр (2 (Ь вЂ” Ь1)]. 3. Сближение результатов пря развитии деформаций в определенном направлении. На рис, 21 изображены иа плоскости Ь, у различные пути деформироваиия, соответствующие некоторым рассмотренным случаям. Числа указывают значения д по теории течения, Рис. 21. числа в скобках дают значеиия д по деформационной теории; окружность единичного радиуса ограиичивает заштрихованную область упругих деформаций. Эти данные позволяют гв некоторой „мере судить о различиях в напряженных состояниях (зиачеииях д) по теории течения при разных путях перехода в одно и то же деформированное состояние.
Нетрудно 8 15) связь мяждх тяогияй твчгния и дкеогмьционной ткогией 67 также заметить тенденцию к сближению напряженных состояний, вычисляемых по теории течения и деформационной теории, по мере развития деформаций в определенном направлении. Можно строго показать асимптотическое сближение результатов, цредсказываемых теорией течения и деформационной теорией, если путь деформирования стремится к некоторому линейному пути (рис. ! 9). В самом деле, пусть, начиная с некоторого момента, с воараставяем Ь ПутЬ дЕфОрМацян ПрвбЛИжаЕтея К ПряМОй у= А +ВЬ; тОГда у'(Ь) — ь В, ПрНЧЕМ В > О. По деформацнонной теории решение в с возрастанием ь стремится согласно (!5.5) к значению = — В+ У"Вт+1 По теорнн течения в определяется уравнением (15.8); введем новое неизвестное и=в — в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
