1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Легко видеть, что П=-,— ", +~~(Г) ГдГ. (14,25) Второе слагаемое характеризует работу изменения формы злемента тела. Формулы (14.17) переносятся, очевидно, и иа рассматриваемое состояние упрочнения. Заметим, что при у(Г) = 0 получаем упругую среду Гука, при я(Г) = †' приходим к состоянию текучести. Г В й 12 рассматривалось также другое условие упрочиеиия (12.5). Нетрудио видеть, что мы пришли бы к тому же результату, используя в нашей схеме второе условие упрочиеиия.
В самом деле, работа пластической деформации равна А =) Т дà — Та. 1 26 В силу (12.3) à — одиозяачная функция интенсивности Т, следовательно, АР зависит только от интенсивности касательных напряжений, что согласуется с условием (12.5). б. Обсуждение полученных уравнений. Полученные выше уравнения деформационной теории пластичности были сформулированы Генки (аь~ в 1924 г. для состояния текучести; несколько позднее уравнения были обобщены на случай упрочнеиия. Уравнения этой теории — нелинейные, но благодаря относительной простоте они нашли широкое применение, несмотря на некоторые принципиальные недостатки. Уравнении деформационной теории пластичности в полной мере описывают пластическую деформацию при простом нагружении (2112), когда компоненты девиатора напряжения возрастают пропорционально 5 14) ДЕФОРМАЦИОИНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 59 одному параметру; эти уравнения пригодны и в тех случаях, когда имеются некоторые отклонения от простого нагружения.
При рассмотрении сложных нагружений в состоянии упрочнения возможны такие деформации, при которых значение Т (или Г) сохраняется, а компоненты тензора напряжения (или деформации) изменяются. Поскольку при схеме единой кривой (12.2) следует считать упрочнеиие единым «для всех направлений», постольку при дТ= 0 надлежит полагать все изменения упругими. В связи с этим против деформационной теории пластичности можно выдвинуть различные возражения. Рассмотрим, например, два пути нагружения до некоторого состояния )а, характеризуемого значением интенсивности Т„ один ~») путь состоит в нагружении до состояния ?« с той же интенсивной1) стью Тз и последующем переходе в ~~«при постоянной интенсив)») ности Т;, тогда в конце пути мы получим пластические деформации, соответствующие Та' .
Другой путь сначала следует по первому, но, немного не доходя до состояния ула , сворачивает и идет к состоя- ~1) нию Т~" при интенсивности Т, все время возрастающей н приближающейся к Тз. Поскольку этот путь может быть сколь угодно близок к первому пути, естественно ожидать, что и пластические деформации в состоянии Тм) будут прежними. Однако по уравнениям деформационной теории мы получим другие значения пластической дефоРмации, соответствУющие Ула, ибо все вРемЯ идет иагРУжеиие. (3) Возникает вопрос: что же представляют собой уравнения деформационной теории пластичности? Ниже будет показано, что рассматривагмыг уравнения являются уравнениями нелинейно-упругого тела.
Естественно, что использование этих уравнений для описания пластических деформаций при сложных зигзагообразных путях нагружения может привести к неудовлетворительным результатам. Можно считать, что при пластической деформации, развивающейся в некотором определенном направлении, уравнения деформационной теории пластичности пригодны. К этому вопросу мы вернемся несколько позднее (9 15). В дальнейшем, для краткости, будет обычно применяться термин сдгформаиионная теория» (бе1огша((оп (беату).
Перейдем теперь к доказательству того, что уравнения деформацнониой теории суть уравнения нелинейно-упругого тела. Обратимся к примеру растяжения стержня (рнс. 18) медленно изменяющейся силой. Пусть фиксированному значению напряжения о, отвечает некоторая деформация г,, ие изменяющаяся со временем, н обратно — фиксированному значению зх соотвегствует не изменяющееся во времени напряжение о,. Каждое такое ссстоянне стержня будет рагнсггсным. Процесс деформации, состоящий яз последовательности равновесных состояний. Иазыва«тся равновесным арвкгсссм дг4юрмакии. 60 [гл.
и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ Представим себе процесс медленной разгрузки, происходящей вдоль тойже кривой ВАО (рис. 18, а), причем в обратном порядке проходятся те же состояния, какие осуществлялись при нагружении ОАВ. Если, придя в начальную точку О, мы не сможем указать никаких изменений, то процесс называется обратимым. Такой процесс можно осуществить при помощи идеально упругого тела, например упругой среды Гука (рис. !8, б); в случае, когда изпряжеиия не пропорциональны деформациям, мы будем говорить о нелинейно-упругом тглг.
Примером необратимого процесса может служить упруго-пластическая деформация ОАВС (рис. !8, а); при любом, даже бесконечно малом уменьшении напряжения деформация не возвращается по кривой ВАО, а следует линии разгрузки ВС. Подчеркнем, что как обратимый, так и необратимый процессы в нашем случае являются равновесными.
При иэотермическом процессе упругой деформации существует однозначное соответствие между напряжением и деформацией о,=г(г,). Рассмотрим теперь необратимый равновесный процесс деформации; здесь напряжение не является больше функцией только мгновенных значений деформации; процесс деформации зависит, кроме того, и от направления движения по кривой деформации, т. е.
оттого, происходит ли нагружение или разгрузка. Мы рассматриваем рогнотсный н е о б р а т и м ы й процесс деформации, следовательно, искомое соотношение не должно содержать времени (а значит, и скорости деформации); достаточно указать поведение материала при нагруженнн и разгрузке. Итак, равновесный необратимый процесс растяжения стержня можнопредставить на каждом участке нагружгния и разгрузки уравнением состояния нг. которого идеального нелинейно-упругого тела.
Термодинамические соображения, которые были развиты выше, относятся и к деформации тела при сложном напряженном состоянии; здесь также можно поставить вопрос о представлении равновесной пластической деформации уравнениями состояния нелинейно-упругого тела. В связи с этим необходимо выяснить, каковы возможные формы уравнений состояния нелинейно-упругого тела. Для проведения соответствующего термодинамического анализа нужно охарактеризовать свойства рассматриваемой среды. Мы примем, что состояние тела вполне определяется шестью независимыми параметрами состояния (обобщенными координатами состояния), за которые можно принять либо компоненты деформации еу, либо компоненты напряжения оу.
Остановимся на совокупности параметров еу т) и сохраним прежние исходные положения 1, 2, 3 (З 14.1), из которых вытекают соотношения (14.б)— (14.9). В дальнейшем, однако, мы не будем основываться на экспериментально найденных условиях текучести и упрочнения, а воспользуемся условием обратимости процесса деформации изучаемой нами идеальной упругой среды, которое доставляет нам термодинамический анализ. Рассмотрим элементарный параллелепипед йхдйх,йх,, мысленно выделен. ный нз среды.
На его грани действуют напряжения ОВ. Приращение внутренней энергии элемента йЭйхтйхзйхз складывается из приращения работы дыйормации йАйхтйхзйхз и приращения количества теплайОйхтйхзйхз, поглощейного рассматриваемым элементом тела, т. е. йЭ=йА+Щ, т) Для простоты мы рассматриваем изотермический [процесс; это ограничение несущественное, и можно провести аналогичныйтермойннамический анализ прн изменяющейся температуре [ы'[. 9 15] связь мкждх ткогиий ткчкння н дкеогмацнонной ткогнкй 61 где «(А определяется по (14.9), а компоненты напряжения зависят, вообще говоря, от параметров состояния е;р Согласно первому началу термодинамики внутренняя энергия Э вполне определяется мгновенным состоянием системы х), следовательно, 0Э должно быть полным дифференциалом. Существование внутренней энергии Э=Э (зп), являющееся следствием закона сохранения энергии, имеет место для всякого процесса.
Второе начало термодинамики позволяет отличать обрапшмие процессы; именно, только для обратимых процессов отношение — , где 8 †абсолютн температура, является 8 ' полным дифференциалом функции состояния †энтроп «': Так как для иэотермического процесса 8 = сопж, то АЦ вЂ полн дифференциал. Но тогда и ЫА должно быть полным дифференциалом. Формула для АА была получена ранее (14.9); из иее вытекает теперь, что для нелинейно- упругого тела возможны лишь состояния 1) ф=сопэ1, 2) Т=сопж, 3) ф= — Г'(Т), 1' 2 где г (Т) — некоторая функция.
Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости (закон Тука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений деформациониой теории пластичности и воэможности использования в теории пластичности уравнений нелинейно-упругого тела«).
Наконец, развиваемая конпепция делает понятным существование потенциала работы деформации. й 15. Связь между теорией течения н деформацмонной теорией 1. Случай простого нагружения. В случае простого нагружения (9 7) компоненты девиатора напряжения изменяются пропорционально возрастающему параметру 1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
