1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2 14). 5. Заключительные замечания. Уравнения Прандтля †Рей (13.?) в случае идеальной пластичности и уравнения (13.14) в случае ТЕОРИИ плАСтйчесКОГО ТЕЧЕНИЙ упрочнения связывают компоненты напряжении с бесконечно малыми приращениями компонент напряжения н деформации, т. е. не являются конечными соотношениями (в отличие от уравнений деформационной теории пластичности, й 14). Соотношения (13.7) н (13.14), вообще говоря, не интегрируются, т. е., другими словами, не сводятся к конечным соотношениям между компонентами напряжения и деформации. Этот математический факт отражает зависимость результатов от истории деформирования.
Если, например, в пространстве напряжений мы перейдем из некоторой начальной точки О (рис. 17), характеризуемой нулевыми напряжениями, в точку О, ( с напряжениями о)п) двумя путями 7 и 17, то компоненты деформации в точке О, по уравнениям теории пластического течения будут различными. г Уравнении (13.7) н (13.14) не содержат времени; однако, разделив их на Ж, можно формально перейти от приращений Ывг к скоростям деформации й;,. Тогда уравнения будут внешне напоминать уравнения течения вязкой жидкости. Эта аналогия в какой-то мере оправдывает название теории 7 пластического течения. Следует подчеркнуть, что под переменной 7 здесь можно понимать время или монотонно возрастающий параметр нагрузки или, наконец, какую-нибудь другую монотонно возрастающую величину (например, характерный размер пластической зоны).
Переход к «скоростям деформации» иногда удобен, так как позволяет применять наглядную терминологию гидродинамики. Уравнения же теории пластического течения принципиально отличны от уравнений вязкого течения. В них в отличие от последних всегда можно отбросить И7 и вернуться к формулам (13.7), (13.14), не содержащим времени. В дальнейшем, для краткости, мы будем обычно говорить о теории течения (вместо теории пластического течения). Этот термин, очевидно, не вполне удачен, но он краток и получил широкое распространение у нас и за рубежом (Вож 111еогу).
В случае упрочнения возможно вычислить деформации при задании пути нагружения, т. е. при задании о; = а,у(Г), где 7 — некоторый параметр (например, время); можно также найти в принципе напряжения, если задан путь деформнрования, т. е. е;, = вт,(/). Уравнения теории пластичности Сен-Венаиа †Мизе имеют значительно более простую структуру и представляют собой конечные зависимости между компонентами напряжения и скорости деформации. Следует подчеркнуть, что и в зти уравнения время входит несущественным образом и может быть исключено (сокращением на И7) или заменено каким-нибудь подходящим монотонно изменяющимся параметром.
[гл. и уРхвнеиия пластического состояния 5 14. Деформационная теория пластичности 1. Общие соотношения. Рассмотрим медленное растяжение стержня (рис. 18, а). Вдоль участка ОАВ происходит нагружение, разгрузке соответствует линия ВС. Площадь ОАВС представляет собой потерянную работу деформации. Ббльшая часть этой работы, как показывают экспериментальные исследования, переходит в тепло, но вызывает при отсутствии теплообмена очень незначительное (для деформации в, = 4% — около 2'С) нагревание испытываемого Рнс.
18. образца. Поэтому при монотонном возрастании внешней нагрузки безразлично, куда перешла работа деформации †тепло или в упругую потенциальную энергию стержня, внд кривой ОАВ останется неизменным. Наоборот, при разгрузке,"=когда деформация среды происходит вследствие накопившейся в ней упругой энергии, происшедшая диссипация энергии приобретает решающее значение, и чем она больше, тем сильнее линия разгрузки ВС откланяется от линии нагружения ОАВ. Таким образом, уравнение о, = Г'(в,) ветви нагружения может представлять как пластическую, так и нелинейно- упругую деформацию стержня.
В связи с этим замечанием можно попытаться построить уравнения пластической деформации в виде конечных соотношений между напрнжениями и деформациями. Подобные уравнения были бы существенно проще уравнений теории пластического течения. Следуя этой мысли, рассмотрим уравнения пластической деформации как некоторое обобщение закона Гука.
Примем следующие исходные положения: 1) Тело изотропно. 2) Относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлениям в = Зйо. (! 4.1) Это допущение, как отмечалось ранее, хорошо подтверждается опытами, И 14) деФОРНАцнонная теОРия пластичности 3) Деаиаторы деформации и напряжения пропорциональны 13,= фо, (14.2) Таким образом, элементы девиатора деформации равны соответствующим элементам девиатора напряжения, умноженным на скаляр ф! последний является некоторой, пока не определенной функцией инвариантов тензоров напряжения и деформации. Очевидно, что девиаторы деформации и напряжении коаксиальны (т.
е. имеют одни и те же главные направления), а их главные значения соответственно пропорциональны, именно: Р;=фа! (ю'=1, 2, 3). (14.3) Отсюда сразу вытекает, что главные сдвиги пропорциональны главным касательным напряжениям или, другими словами, что диаграммы Мора для напряженного и деформированного состояний поаобны, т. е. ! Полагая чр=-сопз(= —, приходим к закону Гука (5.2). Таким 20 ' образом, уравнение (14.2) представляет собой естественное и простое обобщение этого закона. ! Полагая, далее, ф = — +!р, представим компоненты деформации 20 в виде суммы компонент упругой е,'! и пластической деформации еп =- е" ,= ге; . !р (14.4) Третье положение надлежит трактовать как известную идеализацию опытных данных.
Напишем уравнение (14.2) в составляющих (14. 5) Ргг=!Рву Исключая отсюда с помощью (14.1) объемное расширение, легко находим соотношения Генки [ьа] е! =йпб!7+ фа;р (14.6) е 1 Ог/ За 5г/ + ег/ (14. 7) Вычисляя с помощью (14,5) интенсивность деформаций сдвига, по- лучаем важное соотношение Г=2фТ. (14. 8) Соотношения (14.5) нетрудно также разрешить и относительно напряжений 56 [гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ Вычислим теперь с помощью (14.6) приращение работы деформации йА =ОСйв; =- й ((т+ фуч) + Тэдф, (14.9) где через (э' обозначена упругая энергия объемного сжатия (э'= — йте = — .
2 6а' (14.10) Исключая из (!4.9) функцию ф, находим: (!4.11) ФА = ойв+ ТйГ. (14. 12) Инварианты о, в сюда не входят, так как можно пренебречь влиянием среднего давлении на процесс формоизменения; заметим, что, вообще говоря, соотношение (14.12) может содержать и более сложные переменные, например работу пластической деформации А . 2. Состояние линейной упругости (закон Гука).
Пусть ф = сопв1 = .— 1 В этом случае приходим к закону Гука 1 Т Зч С 2С 1, гу 1+У '!)' (14. 13) Разрешив эти соотношения относительно компонент напряжения, получим иную форму закона: и; =-Хеб; + 2)ЕЕС, (14.14) где Х и (А =0 — упругие константы Ламе. Интенсивность касательных напряжений здесь пропорциональна интенсивности деформаций сдвига Т= ОГ. (14.15) Приращение работы деформации является полным дифференциалом упругого потенциала гэ С П= П(е; )= — + — Г'.
С 6а 2 Здесь первое слагаемое есть приращение упругой энергии объемного сжатия, второе — приращение работы деформации формы. Полученные выше уравнения не являются полными, так как содержат неизвестную функцию тР! для определения последней необходимо дополнительное соотношение вида 57 $ 14) ДЕФОРМАЦИОННАН ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Сравнивая формулу для дП с формулой (14.9), заключаем, что имеют место соотношении а;7 —— —, (14.! 7) выражающие, по сути дела, закон Гука в форме (14,14). 3. Состояние текучести. Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие текучести Мизеса Согласно (14.8) в этом случае будет Г 2т, ' (14.18) т. е.
в состоянии текучести функция ф является мерой интенсивности сдвигов. Здесь также существует потенциал работы деформации ея П=ба-+ТТГ, (14.19) равный сумме энергии упругого обтемного сжатия и рабогас изменения формы т,Г. Г Значение з(з= — можно внести в соотношения Генки (14.6), одтг нако мы не получим однозначного определения компонент деформации через компоненты напряжения, что вполне естественно, если вспомнить, что на площадке текучести (рис.
9) взаимно однозначной связи между напряжением и деформацией нет. Далее из (14.7) находим: аг = — 6;.+ — ег . (14. 20) а" — абы= — в". 2т, 7 Г гу' (14.21) Формулы (14.17), справедливые и для состояния текучести, приводят здесь к соотношениям (14.20). 4. Состояние уцрочнения. Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие упрочнения (12.2) Отметим, что напряжения, представленные этими формулами, †од" значные функции компонент деформации и тождественно удоелетео ряют условию текучести Мизеса.
В случае несжимаемой среды (Тг = О) напряжения определяются через деформацию с точностью до гидростатического давления: (гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ В силу (14.8) получаем: 2ь( 1 (14.22) Согласно (14.6) имеем: 1— егу=нобгу+ 2 К(У) згр (14. 23) Отсюда нетрудно найти обратные зависимости От =,а бр+ а(Г) е;Г (14. 24) ЫТ Полученные соотношения при — ФО определяют взаимно одно- аГ значную зависимость между компонентами напряжения и деформации. В состоянии упрочнения приращение работы деформации (14.9) является благодари (14.22) полным дифференциалом некоторой функции П=П(е;~) — потенциала работы деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
