1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Скорость относительного объемного расширения равна $=$„+5 +$ =д(он. (3.2) х Кроме скорости чистой деформации, характеризуемой тензором Т, элементарный объем испытывает жесткое смещение, определяемое поступательной скоростью тг и вращением с угловой скоростью 1 ю = — го1 тг. 2 Ускорение движуи1ейся частицы среаы определяется полной (субстанциональной) произволной скорости се =- — +о — +о — ",' о —; ... дах дох дох, дох, дГ хдХ Уду ' *дг' (3.3) Здесь первый член характеризует локальные изменения, остальные— представляют трансляционную часть, учитывающую изменения вследствие переноса частицы в соседнюю точку пространства. В тензорных обозначениях компоненты скорости деформации равны Диаграмма Мора и коэффициент )ь сохраняют смысл и в применении к скоростям деформации.
Подобным же путем ввалятся величина ю. и соответствующие фоРмУлы длЯ главных значений девиатоРа тзг. где о; — компоненты вектора скорости. 2. Инварианты теивора скорости деформации. Инварианты тензора Т~ и девнатора О можно получить из формул (2.6), (2.8) заменой в„, ..., ух на я„..., Ч„,. Выпишем лишь выражение интенсивности скоростей деформации сдвига: Н=-+ 2)/тг(О,) = = ~т 3- ~ йх — 1 )'+(5 — $х)'+(3х — $х)'+ — (Чхг+Чех+Чхх). (3 4) 28 основныв положения мвхлники оплошных твл (гл, 1 3.
Деформация и скорость деформации. Так как скорости суть полные производные по времени от перемещений ди; 41 то 1 ~ д йиг д аит'1 'т 2 (,дху й1 дхг йг /' (3.5) Очевидно, что и 511~ — „1 е,1. В случае малой деформации существуют простые соотношения между компонентами деформации и компонентами скорости деформации, именно, так как теперь д о= — и, д1 то д (3.6) Ускорения определяются формулами д'иг ча дм ' (3.7) 1Уд д йвгт — — — ~ — йи + — йат), Я ~дхт ' дх1 (3.8) Трансляционная часть в выражении полной производной отбрасывается на (том основании, что при малой деформации производные по координатам от смещения и скоростей обычно можно считать малыми.
д Следует, наконец, отметить, что й, ~ †так как главные оси тензора деформации н скоростей деформации, вообще говори, не совпадают. 4. Приращения компонент деформации. Механические свойства четаллов в условиях сравнительно медленной пластической дефорчации при не слишком высокой температуре практически не зависят, гак будет выяснено ниже, от скорости деформировання.
В атом случае тредставляют интерес, по сути дела, не скорости деформации, а бессонечно малые приращения $,, йУ (условно обозначаем их через йв;д шмня, что эти величины не являются, вообще говоря, дифферен!иалами компонент деформации), которые определяются согласно 3,5) формулами 5 3) СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ образуют тензор Т„, и имеют простой физический смысл. Соотношения (3.8) применимы для описания больших деформаций, которые можно получить суммированием бесконечно малых изменений (3.8).
В формулах (3,8) приращения компонент деформации вычисляются по отношению к текущему (мгновенному) состоянию; система коорлинат кг предполагается «вмороженной» в данный элементарный объем. Рассмотрим, например, олнородное растяжение цилиндра вдоль его оси, совпадающей с осью кт; тогда лг й'е тле 1 в текущая длина цилиндра, сц — бесконечно малое ее изменение. Суммирование приводит к так называемому натуральному удлинению где 1ь †начальн длина. Если главные оси при деформации не поворачиваются, интегралы с(з; имеют простой физический смысл, равняясь соответствующим натуральным удлинениям (п — . Очевидно, что при этом справедлив 6е' просгой закон сложения деформаций: сумма последовательных натуральных уллннений равна суммарному натуральному удлинению.
В общем случае интегралы ) с(з;т не вычисляются и не имеют определенного физического смысла; эти интегралы можно найти, если известен путь леформации, т. е. известны компоненты с(з;у в функции некоторого параметра (например, нагрузки). Это ограничивает область применения натуральных удлинений как меры деформации случаем фиксированных главных направлений. Инварианты тензора Т„, (девиатора тлю), которые получаются из соответствующих инвариантов тензора Т, переходом к компонентам весь будем обозначать через с(з, и'Г, р„„со„,. Полчеркнем еще раз, что величины де,у не следует рассматривать как дифференциалы компонент деформации е;Т Это будет верно только для малой леформации, когда справедливы формулы (2.3); тогда имеет место простая суперпозиция деформаций, н интегралы с(з,у суть компоненты деформации.
5. Условия совместности скоростей деформации. Компоненты скорости деформации, как и компоненты деформации ($ 2), не могут быть заданы произвольно. Они должны удовлетворять шести 36 основные положания механики сплошных тел (гл. ~ условиям совместности, вполне аналогичным условиям совместности Сен-Венана (2.16): дгах де "ьу д»Ч»у — "-+ — = —; дуг дхг дхду ' (3.9) дгь» ' д ~» дчу» дч дЧ„у'1 дудг дх х дх ду дг,l' 6. Случай несжимаемой среды.
Для несжимаемой среды $ = О, т. е. — =- О. (3.1 О) При этом условии компоненты $г являются компонентами девиа- тора скорости деформапии н интенсивность скоростей деформаций сдвига равна т1=-(2$г4")»". (3.11) 6 4. Дифференциальные уравнения движения. Граничные и начальные условия дтх у дх ду дг дт„у доу дт„, — л- — + — + Р (Р— тв ) = О, дх ' ду дг У х дтуг (4.1) Подчеркнем, что эти уравнения описывают движение элемента среды, уподобляемого твердой частице. В тензорных обозначениях этн уравнения записываются в форме двг; д + р(и — пу) =-О.
(4.2) В дальнейшем нам понадобятся лифференциальные уравнения равновесия в цилиндрических н сферических координатах; приводим эти уравнения без вывода (см.(гыеа)), 1. Яяфференциальные уравнения движения. Обозначим через р плотность среды, через Р'„, Р,Р» †компонен массовой силы, через тв„, аю те, — компоненты ускорения частицы среды. Движение элемента среды определяется приложенными к нему силамн; подсчитав эти силы, получаем дифференциальные уравнения движения сплошной среды, впервые установленные Коши: 2 5) О МЕХАНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 2. Уравнения равновесия в цилиндрических координатах.
В цилиндрических координатах г, у, г уравнения равновесия имеют вид: да, 1 дтгт дт, Ог — и дг г дф дг дТР 1 дц дт„, 2тг — т+ — — ч+ — т+ — ~+рг =О, дг г д~р дг г 1 дттг до 3. Уравнения равновесна в сферических координатах. В сферических координатах г (радиус), ~р (долгота), Х (широта) з случае центральной симметрии уравнение равновесия имеет вид — г -1- — (и — ц ) + ар = О до, 2 дг г (4.4) (4. 3) причем П =ОТ Тг =т т=тг«=О.
9 ' т 4. Граничные условия. Кроме приведенных выше уравнений, мы располагаем еще граничными условиями, которые могут иметь разнообразный характер. На границе 8 тела могут быть заданы нагрузки р„, р, р,. В этом случае на 5 лолжны выполня~ься уравнения (1.2), которые будут условиями равновесия элементарного тетраэдра, примыкающего к границе, поц лейстанем внутренних н внешних сил.
Могут быть заланы смещения (или скорости) точек границы тела. Наконец, встречаются смешанные граничные условия, котла на границе частично заданы нагрузки, частично в смещения (или скорости). 5. Начальные условия. Рслн процесс деформации является не- стационарным и описывается уравнениями, содержащими производные по времени (или по параметру нагрузки), необходимо задать состояние тела в начальный момент времени. й 5.
0 механических уравнениях состояния тела 1. Механические уравнения состояния. Расмотренные выше величины (силы, напряжения, перенос, вращение, деформация, скорость деформации и т. и.) необходимы для описания динамического и кинематического состояний элементарной частицы среды и могут быть названы механическими переменными. Они связаны, как мы знаем, только тремя уравнениями движения (4.1) Для построения замкнутой феноменологической теории движения сплошной срелы лолжна быть также известна связь межлу динамическим и кинематическим состояниями частицы.
Совокупность таких соотношений можно назвать «механическими уравнениями состонния»; их необходимо отличать от уравнений движения (4.1), являющихся следствием основныв положения мвхлники сплошных твл [гл. принципа Даламбера и описывающих не существенную для состояния вещества механику переноса и вращения частицы среды. Механические свойства реальных тел весьма сложны.
Не следует, однако, стремиться к формулировке уравнений состояния, описывающих все детали механического поведения тела при воздействии нагрузок. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую механическую модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства. Тогда возможно разви~ь достаточно общую и обозримую математическую теорию.
Такие простые модели составляют основу и для последующих уточнений, Этим объясняется большое значение, которое заняли в механике и ее приложениях модели идеально упругого тела и идеальной жидкости. 2. Упругое тело, идеальная н вязкая жидкости. Механика континуума издавна изучает движение идеальной и вязкой жидкое~ей, а также деформацию идеального упругого тела. Для последнего в качестве уравнения состояния принимается обобщенный закон Гукиэ в=Зло, (5. 1) с), =- 26с)„ (5.2) где й, 0 †констан материала т). В приведенной записи закона подчеркнуто различие в сопротивлениях упругого тела изменению объема и изменению формы (сдвигу). Постоянные л, О можно считать независимыми. Для идеальной жидкости имеем характеристическое уравнение у'(и, р) =О (5.3) и условие отсутствия внутреннего трения ,с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
