1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. равно среднему давленню; касательное же напряженне т„пропорцнонально Т /2 г' з б. Круги Мора. Наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку, дает диаграмма Мора. Пусть в этой точке направления координатных осей совпадают с главными направлениями; тогда согласно формулам (1,3) и (1.2) имеем: а„= а,п, '+ а,п',+ а,п'„ о„'+ т„' = а,'и,'+ сгчпч, + а,'пэ, причем 1 = п,'+ и, '+ и,'.
$1) ЙАЙРЙЖЙЙЙов соегояЙЙв Из этой системы уравнений находим квадраты направляющих косинусов: т„+ (а„— а,) (а„— а«) (а,— а,) (ад — а») т,*,+(а„— а,) (а„— а,) (а,— а,) (а,— а,) ~,'+ (а„— а,) (а„— а,) (а«аг) (໠— а~) и'= 1— (1,28) л,= 2 л'= » Так как о,)~о»)~оа, а левые части этих равенств неотрицательны, то должно быть: т„'+ (о„— о,) (о„— о,) =- О, т„'+ (о„— о,) (о„— от) ( О, т»+(о„— о,) (о„— о,) =- О, т.
е. напряжения о„, т„лежат внутри области, ограниченной полу- окружностями и заштрихованной на рис. 6; точкам какой-либо окружности отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось. Направляющие косинусы площадки с заданными о„, т„ вычисляются по формулам (!.28). При наложении на тело дополнительного всестороннего давления радиусы окружностей, очевидно, не меняются, и вся фигура лишь смещается вдоль горизонтальной оси о„.
Взаимоотношение главных значений тензора напряжения можно оценить введенным Лоде и Надаи коэффициентом )», = 2 » » — 1, (1.29) а,— а, Рнс. 6. характеризующим положение точки о, на диаграмме Мора и теряющим смысл только в случае гидро- статического давления. Для одних и тех же величин )г, диаграммы Мора подобны. Очевидно, ' что при фиксированном )», характер напряженного состояния определен с точностью до общего множителя и аддитивного гидростатического давления.
В этом смысле о )», можно говорить как о форме тензора (или девиатора) напряжения, как о характеристике «вида напряженного состояния». Общий же множитель, характеризующий «масштаб» построения, пропорционален, как это видно, из (1.16), интенсивности Т. М оснойнмв подожу««я мв«1««к«с«лош«ык твл (гл, 1 Параметр )г, изменяется в пределах от — 1 до + 1; так, для чистого растяжения (о;)О, о, = ов = О) для чистого сдвига (от)0, ох=О, аз= — а,) р,=О.
Параметр )г, является функцией инвариантов У,(х»,), Уа(1».) и просто связан с углом ю,. В самом деле, из (1.29) и (1.16) следует: р,=)У Зс(и (ю, + — ") . (1.30) Угол щ, иногда называют углом вида напряженного состояния. Я Ж Заметим, что для растяжения св = —, для сдвига гв = —, для сжа» тия ы,=О.
2 2. Деформация 1. Тензор деформации. Пусть при деформации среды точки последней получили смещение и, составляющие которого обозначим через их, и, и,. Деформация среды характеризуется симметричным гензором деформации 1 2 Уху 1 2 ТУ» составляющие которого равны д +2 ((дх) +(д ) +(д ) дих див 1"дих дих дии дии ди, ди 1 »У ду дх ( дх ду дх ду дх ду ~ ' (2.1) Теизор деформации, как и всякий симметричный тензор, приводится к главным осям: Т вЂ” 0 в, 0 )ь = — 1, для чистого сжатия (от=от=О, оа(0) )г,= +1, 1 2 7»У 1 2 Тх» 2 7»» 1 2 ТУ» 23 й 21 девогмхция причем е„ е, еа называются главными удлинениями. Это означает, что всякая деформация может быть осуществлена простыми растяжениями в трех взаимно перпендикулярных направлениях (главных направлениях).
Разности (2.2) ут — еа — еа, та=ел 1 у 1 2 называютсн главными сдвигами. Наибольший по величине сдвиг в данной точке будем называть максимальным сдвигом 7,„. 2. Малая деформация. В случае малой деформации компоненты е„, е„, ..., 7„, малы по сравнению с единицей; если, кроме того, достаточно малы углы поворота (анализ этого вопроса дан в курсе теории упругости В В.
Новожилова(а')), то в формулах (2.1) можно пренебрегать произведениями ( — ), †" †", ..., следовательно, (,дх,) ' дх ду ди„ дии дих . е„=- — ", е„=- дх ' ду дг (2 3) ди дии диа ди ди„ ди Здесь е„, е, е, представляют собой относительные удлинения соответственно в направлениях осей х, у, г, а у„ю у „у„, — относительные сдвиги (у, — изменение угла между осями х, у и т. д.); относительное изменение объема равно (2.4) е =-е„+з +е,. Эти простые формулы непригодны, если необходимо описать значительные формоизменения массивных тел; тогда компоненты деформации сравнимы по величине с единицей, н нужно исходить из общих зависимостей (2Л).
Подчеркнем также, что даже при малых удлинениях и сдвигах линейные соотношения (2.3) часто оказываются недостаточными в вопросах деформации и устойчивости гибких тел (стержни, пластины, оболочки) вследствие того, что элементы тела испытывают значительные перемещения и повороты. В дальнейшем, говоря о малой деформации, мы будем подразумевать такую деформац ю, когда формулы (2.3) применимы.
иже нередко используются тензорные обознзчения компонент деформации (2.5) где хг †декарто коорлинаты, и; †составляющ вектора перемещения, Легко видеть, что е=в; бьн 24 основные положения механики сплошных тел (ГЛ. 1 Т,= 1 ет +И„ (2.7) ! где — еТ,— шаровой тензор, соответствующий объемному расширению, а девиатор деформации (), 1 1 7хг 1 2 7У» 1 е — — е 3 1 2 7.У 1 е — — е У 3 1 2 7уг 7пу 1 7пг характеризует изменение формы элемента среды, обусловливаемое сдвигами.
Инварианты девиатора деформации равны Т,(О,) =О, тз(ь'~) = б 1(ет ее) +(ез еа) +(ез ет) 1 (2 3) /Р,) (е Зе)(е Зе)(еа Зе)' В теории пластичности важную роль играет квадратичный инвариант 1а(1У,), который можно рассматривать как суммарную характеристику аскажения формы элемента среды. Неотрицательная величина Г =+ 2)/7з(б,) = = )У 3 Х' (е е.)'+(е.
е )'+(е е.) +2 (7„'„+7УУ,+7,',) (2.9) / 2 / 3 называется интенсивностью деформаций сдвига т). В случае чистого сдвига е„=е =.е,=7,=7„,=0, 7„=7. )нося эти значения в (2.1), находим: Г=)7). ') Иногда рассматривают приведенную деформацию (или интенсивность 1 гформаций), равную =Г. В случае простого растяжения (сжатия) стержня )/з з несжимаемого материала приведенная деформация равна ) ед(. 3.
Инварианты. Инварианты тензора деформации образуются так же, как для тензора напряжения, и в главных осях имеют вид: /т (Т) = ет+ ее+ ез, /а (Т,) = — (е,еа -(- езез+ е,е,), (2.6) /з (Т,) = ете,е,. Удобно пользоваться представлением тензора деформации в виде суммы 25 3 2) дееогмАция Численный множитель перед корнем в (2.9) выбран так, чтобы при чистом сдвиге интенсивность Г равнялась величине сдвига у. Соотношение (2.7) может быть записано также в форме ! вгг 3 або+ еп (2.10) где еп — компоненты девиатора деформации. Первое равенство (2,8) в этих обозначениях имеет вид еп = О, а интенсивность деформаций сдвига равна Г = (2еоео)'~'.
(2.1 !) 4. Геометрические интерпретации. Геометрические интерпретации, аналогичные рассмотренным выше интерпретациям тензора напряжения, могут быть развиты для любого симметричного тензора, в частности, и для тензора деформации. Подобно предыдущему получим: =!' соз(ы ° — 3), Г соз (га,+ —,), 1 — =Г совы, в е,= ея— (2.12) причем 8 12 У37А(7т ) (2.18) Так же, как н ранее, «3 и существует приближенное соотношение )г, = 2 — — 1 ет ез ° е,— ез связанный с углом вида деформации ы, соотношением ) 8~8(~'+3) (2.15) Г ж1,08 у,„. (2.14) Сохраняет смысл и диаграмма Мора; при этои по оси абсцисс надлежит откладывать относительное удлинение е„ по заданному направлению л, а по оси ординат †полови абсолютной величины сдвига у„ в плоскости, перпендикулярной к п.
Подобно параметру )г„ вводится параметр 26 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШН!ЛХ ТЕЛ [ГЛ. ! 5. Условия совместности деформаций. Компоненты деформации должны удовлетворять шести тождественным соотношениям СенВенана: д»ех д'еи дауна + дуа дх» дхду (2. 16) д»ех д 7 дуп, дух» дух» ~ дудг дх~ дх ' ду дг / Остальные соотношения получаются из выписанных круговой заменой индексов. Е. Компоненты деформации в цилиндрических н сферических координатах. В дальнейшем нам понадобятся выражения компонент деформации в цилиндрических и сферических координатах; приводим их беа вывода (»»»а).
Цилиндрические координаты г, ~, г. Пусть компоненты вектора смещения и„ и„ и, не зависят от чл тогда относительные удлинения и сдвиги имеют внд: и~ е = —, (2.17) ди. у т Сферические координаты г, ф, у. В интересующем нас случае центральной :имметрии компоненты вектора смещения и =иг — О, а т ди, и, е,= —, е, =ег= —; у„=у 7=7„7=0. дг' *' г' (2.18) 1 3. Скорость деформации 1. Теивор скорости деформации. Пусть частицы среды движутся о скоростью о, составляющие которой равны оххх „(л, у,, »), о =о (х, у,, 1), о =-о (х, у, г, г), В течение бесконечно малого промежутка времени с(г' среда испыывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями ,г(г', о аг', о,ду. Компоненты этой деформации, вычисленные по (2.3), У иеют общий множитель йг, разделив на который, получаем композиты симметричного тензора скорости деформации 1 2 Ч»У Т, =- » ди„ е = — ", дг ' ди„ их дг г $У 1 2 г)У ди е = » дг ' ди, ди» % 3) скоеость двеогмьции где доо $ =-— т 'ду дох $ =— дох дг ' (3.1) дох до, доо до Ч =- — + — ', те дг ду ' до доо ц 'хт ду ' дх Величины ~„, ~, $, опрелеляют скорости относительных удлинений элементаРного объема в напРавлениЯх кооРдинатных осей; Ч„, Ч „ т)х, определяют угловые скорости окашиеания первоначально прямых углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
