1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1.4) В каждой точке среды существуют такие трн взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Направления нормалей к зтим площадкам образуют главные направ-~ пения тензора напряжения и не зависит от исходной системы координат, я, у, я. Это означает, что любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Соответствующие напряжения 'называ|отся главными нормальными напряжениями; будем обозначать их чеРез Оы О„О, пРичем Условимся нумеровать главные оси так, что О,) О,)оы (1.5) Тензор напряжения, отнесенный к главным осям, имеет вид т,=О О,О Нетрудно найти по формулам (1,2) — (1.4), у что в сечениях, делящих пополам углы Рис.
2. между главными плоскостями и проходящих соответственно через главные оси 1, 2, 8 (рис. 2), касательные напряжения по абсолютной величине равны — ~па — Оа~, —.~па — От~, — От — Оа~. Касательные напряжения в этих сечениях достигают зкстремальных значений и называются главными касательными напряжениями. Определим последние формулами: В,— аь а,— а, а,— О, тт= —, та — — —, ъа (1.6) С изменением ориентации площадки изменяется и величина действующего на площадке касательного напряжения т„. Наибольшее значение т„в данной точке называется максимальным касательным напряжением т„„„. Если условие (1.5) выполняется, то Нетрудно определить по формуле (1.3), что нормальные напряже- ния на площадках, на которых действуют главные касательные осиовныз положяния механики сплошных тел (гд.
! (4 напряжения (1.6), равны соответственно полусуммам ая-)-ат пт-(- аг а1-)-аа 2 ' 2 ' 2 (1. 7) Тензор напряжения можно задать, указав главные напряжения а„ а„ аа и главные направления 1, 2, 3. Такое задание отличается механической ясностью. Главные напряжения а; (1 = 1, 2, 3) являются корнями кубического уравнения ! а„— Л т„ т„, т, а,— Л или — Ла-)-7 (Т,)Ля+уз(Т,)Л+7а(Т,)=0.
(1 8) Нормальное напряжение а„на заданной площадке не зависит, очевидно, от выбора координатной системы и изменяется лишь при повороте площадки. Главные напряжения аы а„ аз являются экстремальными значениями нормального напряжения а„ и также не зависят от выбора координатной системы. Уравнение (1,8) может быть получено как условие экстремума а„. Следовательно, коэффициенты кубического уравнения (1.8) ие изменяются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой, т. е.
инвариантны, Эти коэффициенты 7, (Т,) = а, + а, + аа = — Зо', 7.,(Т,) =- — (а,сг +-аяаа+ааа ), 7 (Т,) =а,а,а, (1. 9) а = — (а„+а +а,) 1 называется средним (или гидростатическнм) давлением в точке. Смысл остальных инвариантов выяснится ниже. 2. Девиатор напряжения. Так как материалы обладают, как правило, различными механическими свойствами по отношению к слвигу и равномерному всестороннему сжатию, выголно представить записанные, для краткости, в главных осях, называются соответственно линейным, квадратичным и кубическим инвариантами тензора; ими удобно оперировать, так как они являются целыми рациональными и притом симметрическими (т. е.
не изменяющимися при перестановке аргументов) функциями компонент напряжения. Величина нлпгяжвнноя состояния тензор напряжения в виде суммы ') Т,=от,+ТУ„ ()НО) о О О где о Т,= О о Π— шаровой тензор, соответствующий среднему О О сг давлению в точке, а '-У тху о. — и у ту, тлл туг о — а (1.11) (1.12) все корни которого также вещественны. Инварианты девиатора легко получить из (1.9), если заменить ом оя, оа соответственно на г„ г„ гэ, У,(с),) = — О, сьч- ' '(н,— э <-ь,—,г„.н,— у), ~ е.щ Тз (В,) = егзазэ. Очевилно, что девиатор напряжения характеризуется лишь пятью независимыми величинами.
Неотрицательную величину Т= +)/Т,(.(),) = )l (о„— о )'+(о — о;)'-)-(о,— о„)я-~-6 (т„'+т,'+т„,') (1.14) называют интенсивностью касательных напряжений я). т) Т,— тах называемый единичный тензор Т=О 1 О для которого любое направление является главным, а диагональные элементы в произвольной прямоугольной системе координат х, у, г равны единицам. ") Иногда рассматривают приведенное напряжение (нлн интенсивность напряжений), равное РсЬ Т; в случае простого растяжения (сжатия) приведенное напряжение равно ) о,(.
— тензор, характеризующий касательные напряжения в данной точке и называемый девиатором напряжения. Нормальные составляющие последнего (т. е. и„— о, о — и, о,— о) будем иногда обозначать через г„, ь, е,. Главные направления девиатора напряжения В. и тензора напряжения Т, совпадают, а главные значения з, отличаются от ог на величину среднего давления и определшотся, очевидно, кубическим уравнением — )с~+Та(ст ) ) -Рта(П,) =-О 16 основные положения механики сплошных твл (гл. ~ Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль только в том случае, когда напряженное состояние является состоянием гидростатического давления.
Для чистого сдвига а,=т, аз=О, а,= — т, где т — напряжение сдвига. Следовательно, Т=ж В случае простого растяжения (сжатия) в направлении осв х а,=а,; а„=а =т„=т =т„=О; г тогда Т==. )аь) =уз ' (1.15) 2 / м1 аг= — Тсоз ы, —— 2 l пх з,= — Тсоз (ы + — ), '=уз ~ ' з~' 2 яа = — = Т соз О),. р'з ( (1. 16) Угол ы, определяется из уравнения — - и'э ~ ~~.1 т (1.17) Нетрудно найти, исхоля из (1.6), (1.16), главные касательные напряжения: т, =- — Тз(п(ы, — — ~ зу тз =- — Тз1п (ы,+— 3/ (1.18) ъз — Т 51п 0)~. Угол ы„ как известно, изменяется в прелелах ь~~л .
(1.19) Действителяно, так как а,)аз)аз, то ть)0, тз(0, тз.»О, т. е. гйп(ы,— — ) «=О, з!п (ы,+ — ) )О, з1поэ,)0, откуда следует (1.19). Поскольку кубическое уравнение (1.12) имеет вещественные корни, решение его находится в тригонометрическом виде. Используя известные формулы алгебры, можно выразить главные компоненты девиатора через инварианты (~з а'): 17 5 1) нлпгяжвннов состояния Как уже указывалось, т,„= — т,. Отсюда вследствие (1.19) вытекает неравенство, установленное иным путем А.
А. Ильюшиным: (1. 20) Таким образом, интенсивность касательных напряжений Т и максимальное касательное напряжение т ,„ незначительно отличаются друг от друга. Так, Тж1,08 т,„ (1.21) с наибольшей погрешностью около 7»/о. Интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна, как показал В. В. Новожилов (дз'), среднему квадратичному значению касательных напряжений, вычисленному по поверхности малой сферы, окружающей рассматриваемую точку тела. 3. Тензорные обозначения.
При рассмотрении общих вопросов теории пластичности использование тензорных обозначений упрощает изложение и делает его более ясным. Тензорные обозначения находят все более широкое распространение в современной научной литера- туре по теории пластичности. По отмеченным причинам тензорные обозначения используются и в ряде разделов этой книги.
Декартовы координаты х, у, х будем обозначать через хы х„ ха и записывать их как хо где индекс д принимает значения 1, 2, 3. Разумеется, вместо д можно взять другую букву (например, 7', уч = = 1, 2, 3; обычно используются латинские буквы). Через пг (или, скажем, п~) обозначим составляющие единичного вектора нормали к площадке; очевилно, что и; равны направляющим косинусам нормали. Компоненты тензора напряжения можно теперь обозначить через аг» д', у= 1, 2, 3. Вслелствие закона взаимности касательных напря- д жений а;, =- ауп Соотношения межлу тензорными обозначениями и использованными выше «техническими» обозначениями очевилны: а„ =а„, ад, =т„ и т.
л. Условимся, далее, говорить о тензоре напряжения как о тензоре ад., формулы Коши (1.2) можйо теперь представить в форме з р =-,У~~а»по 7'=.1, 2, 3. д=! Широкое распространение получило правило суммирования, введенное А. Эйнштейном. Опустим знак суммы, принимая, что по всякому дважды повторяющемуся в одночлене латинскому индексу проводится суммирование по значениям 1, 2, 3. Тогда предыдущие формулы переписываются в виде (1. 22) р =-аг по 18 ОснОВные положения механики сплошиых тел [ГЛ. 1 Повторяющийся инлекс 1' называется немым (или индексом суммирования); он может быть заменен любой другой (обычно латинской) буквой.
В каждом олночлене олин и тот же немой индекс не должен встречаться более двух раз. Индекс у иногда называется свободным. Легко видеть, по нормальное напряжение 11„(1,3) равно (1.23) здесь два немых индекса 1, /, и, следовательно, провалится двойное суммирование; свободных индексов нет. Среднее давление равно 1 1 1" = з пп = 3 (оы+ вез+ пез) Символ Кронекера (лельта-символ) определяется соотношениями 1 при 1=/, 11 ) О при 1~:), Тензор с такими составля1ощими в системе координат кг называется единичным тенэором (см. Тт).
Девиатор напряжения имеет составляющие Т вЂ” ( — в1в, ) (1.25) Среднее лавление можно также записать в форме 1 3 пудик 4. Геометрическаяинтериретация. Вернемся теперь к рассмотрению величин и, Т, га„через которые вычисляются главные напряжения. Величинам о, Т, св, можно дать несложную геометрическую интерпретаци1о.
С втой целью введем пространство главных напряжений п„пе, пз. Тогла напряженное состояние в данной точке можно в рассматриваемом пространстве напряжений представить вектором ОР, компоненты которого соответственно равны и„ и„ сге (рис. 3). Плоскость (1.26) пт+ п,-[-о; = — О проходит через начало координат и одинаково наклонена к осям. Так как сумма квадратов косинусов нормали и с осями равна единице, в;1 = о1 — пб;,.
(1. 24) Линейный инвариант девиатора равен нулю, т. е. гп = О. Нетрудно убсдиться в том, что интенсивность касательных напряжений в новых обозначениях равна $!) йапгяжвннов состоянйв то соз(л и ) = = . Следовательно, единичный вектор нормали к рас- 1 ( — ° сматриваемой плоскости равен 1 3 где з, 1, з — единичные векторы по осям пы п„пз. Прямая линия з з п,=п,=-п, проходит через начало координа~ и перпендикулярна к рассматриваемой плоскости. Точки этой линии, называемой гидрогтатичегкой осью, отвечают гидростатическим напряженным состояниям. Представим вектор ОР в форме ОР= п,з', +овгз+ п,з,. Проекция ОР на нормаль пропорциональна среднему давлению (ОР, и) = )/Зп. Введем теперь вектор Рис.
3. 00 = зА+ зззз+ зз'з изображающий девиатор О,, Легко видеть, что ОР= О~+)/Зпп. Заметим, что (09, м)=0, т. е. вектор 00 лежит в плоскости (1.26); условимся называть последнюю девиаторноа плоскостью. Длина вектора 00 пропорциональна интенсивности касательных напряжений ~ 00) = )l 2 Т. (1.27) Угол сз, определяет положение векторз 00 на девиаторной плоскости. Действительно, пусть оси 1', 2', 3' суть проекции осей пз, пз, пз на плоскость О (рис. 4).
Вычислим проекцию вектора 00 на ось 3'. Так как / 2 1 соз (и, 3') = ~' —, соз (и, 8') = соз (о', Ю') = — —.—, 20 оснойнь(а ноложяння мвхлн»кн онлонтнь(х тал (гд. 1 то з пр. Щ= ~~'~ зг сов(оп ю') = — )г 2Тсозш,. 1=! Таким образом, угол между вектором О(;) и отрицательной осью 3' равен ш,. Вектор О~ не может отклониться от отрицательной оси д' больше чем на 60'. Рассмотрим теперь в данной точке среды площадку, одинаково наклоненную к главным осям. Условимся такую площадку называть октаэдрической Тл ! Рнс. 4.
Рнс. 5. (так как она является гранью правильного октаэдра, рнс. 5). Проекцнн вектора напряжения р (см. рнс. 3), действующего на октаэдрнческой площадке, по формулам Коши (1.2) соответственно равны =, =, —, Следо- аг ач Уз ' Уз ' р з ' вательно, нормальное напряжение ва этой площадке ап т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
