1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ïîñêîëüêó d c/ sinh(d c) ≤ 1 ïðè c ≥ 0, òî âñèëó óñëîâèÿ (7.2)ZZ ZZZ000000 0000000δr0 (r ) dr dr =k(r, r )k(r , r ) dr dr ≤δr (r )δr (r0 ) dr0 ≤ 1−ν(ε).DDD−ΓεDD−ΓεÑëåäîâàòåëüíî, â åñòåñòâåííîì çäåñü ïðîñòðàíñòâå L∞ èìååì kK 2 k ≤ 1 − ν(ε) < 1. Ýòîîáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ðÿäà Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (7.6) è òåì ñàìûì âîçìîæíîñòüïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Êðîìå òîãî, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå èñõîäíîéäèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7.6). Ïðîáëåìû ñëåäîâ çäåñü íå âîçíèêàåò, òàê êàê îïåðàòîð K îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì ìíîæåñòâîôóíêöèé, èìåþùèõ ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà ëèøü íà âíóòðåííåé ãðàíèöå ìíîæåñòâà Γε .Äëÿ îöåíêè çäåñü ìîæíî ïðèìåíèòü ñîîòíîøåíèåu(r0 ) = Eζ,ζ = h(r0 ) +NXQn h(rn ),n=1ãäå {rn } îáðûâàþùàÿñÿ â Γε öåïü èçîòðîïíîãî áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì, êîòîðóþ ïðèε > 0 öåëåñîîáðàçíî òàêæå íàçûâàòü ε-ñôåðè÷åñêèì ïðîöåññîì, à âåñà îïðåäåëÿþòñÿôîðìóëàìè√dn−1 c√ ≤ Qn−1 , dn = d(Pn ), n = 1, 2, .
. . .Q0 = 1, Qn = Qn−1sinh(dn−1 c)Òåïåðü ìîæíî âñïîìíèòü, ÷òî çäåñü âðåìåííî ââîäèëîñü íåðåàëüíîå ïðåäïîëîæåíèå: ðåøåíèå u(r) èçâåñòíî â Γε . Îäíàêî âìåñòî òî÷íûõ çíà÷åíèé u(r) â Γε ìîæíî èñïîëüçîâàòüïðèáëèæåííûå, íàïðèìåð, áåðÿ èõ ñ áëèæàéøèõ òî÷åê ãðàíèöû, ò. å. ïîëàãàòüu(r) ≈ ψ(r∗ ),r ∈ Γε , |r − r∗ | = d(r). ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñìåùåííóþ îöåíêó ζε , ñðåäíåå çíà÷åíèå uε (r0 ) êîòîðîé îòëè÷àåòñÿ îò u(r0 ) íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà ε. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàññìîòðåòü âûðàæåíèå äëÿðàçíîñòè îöåíîê ζ è ζε , òî ïîëó÷èì∗|u − uε | ≤ |E{QN [u(rN ) − ψ(rN)]}| ≤ Aε,ãäå A íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ êîíå÷íà âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè â îáëàñòè Dïðîèçâîäíûõ îò ðåøåíèÿ (çäåñü èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå QN ≤ 1).Ñîâåðøåííî ïðîñòî â äàííîì ñëó÷àå ïîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü âåëè÷èíû Dζε .Òåîðåìà 7.2.Dξε < C < +∞ε>0Äîêàçàòåëüñòâî. Âåëè÷èíà ζε ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè c → 0, à ïðè c = 0èìååì QN ≡ 1 è (ñì.
ïîäðàçä. 4.4) Eζε2 = hε (2uε − hε ) + Kε (E ζε2 ). Ñëåäîâàòåëüíî,Eζε2 ≤ Kε (Eζε2 ) + C|hε |, è òåì ñàìûì âåëè÷èíà E ζε2 ìàæîðèðóåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíå(1)íèÿ χ = Kε χ + Chε , êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò èñõîäíîé çàäà÷å ñ çàìåíîé g → C0 |g|,ψ → C0 |ψ|. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà Dζε çäåñü ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, åñëè ïîñëåóêàçàííîé çàìåíû ðåøåíèå îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, à ýòî çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ ïðèc ≥ 0 è óïîìÿíóòîé ðåãóëÿðíîñòè óñëîâèé çàäà÷è.Èíòåãðàë, âûðàæàþùèé h(r) ïðè r ∈/ Γε , çäåñü ìîæíî îöåíèâàòü ìåòîäîì ÌîíòåÊàðëî ïî îäíîìó ñëó÷àéíîìó óçëó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âìåñòî ζε ïîëó÷àåì ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó ζε,1 (ñì. äàëåå ñîîòíîøåíèå (7.10)).
Ïîâòîðíîå îñðåäíåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òîEζε,1 = uε (r0 ). Ïðèìåíÿÿ àíàëîãè÷íîå îñðåäíåíèå äëÿ äèñïåðñèè, òàê æå ëåãêî ïîêàçàòü,÷òî Dζε,1 îãðàíè÷åíà âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè g(r).Îöåíèì êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåîáõîäèìîå äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé ïîãðåøíîñòè ε â îöåíêå ðåøåíèÿ. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ÷èñëî ñôåð ïðè îáðûâåòðàåêòîðèé â Γε èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû | ln ε|. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷òîáû âåðîÿòíîñòíàÿ ïîãðåøíîñòü îöåíêè áûëà ïîðÿäêà ε, íåîáõîäèìî ìîäåëèðîâàòü Cε−2 òðàåêòîðèé.ÎòñþäàRε ∼ Cn | ln ε|/ε2 ,(7.7) óñëîâèÿõ çàäà÷è èìååìäëÿ âñåõ.ãäå Cn ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïðèõîäÿùååñÿ íà îäíó ñôåðó â ïðîñòðàíñòâån èçìåðåíèé.
Ïðè áîëüøèõ n âåëè÷èíà Cn çàâèñèò îò n ëèíåéíî.7.1.4. Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ ñèñòåìûóðàâíåíèé:∆ui (r) +mXcij (r)uj (r) = −gi (r),ui (r)Γ = ψi (r),i = 1, . . . , mj=1â îáëàñòè D ∈ R3 ñ ãðàíèöåé Γ. Ôóíêöèè {cij , gi , ψi } ìîãóò áûòü êîìïëåêñíîçíà÷íûìè.Âåêòîðíîå ðåøåíèå u óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé:" m#ZZZX100ui (r(s)) ds +Gr (r )Gr (r0 )gi (r0 ) dr0 .cij (r)uj (r) dr +ui (r) =4πd2 (r) S(r)D(r)D(r)j=1(7.8)àëãîðèòì áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì è øàðàìÈñïîëüçóÿ ñèñòåìó (7.8), ìîæíî ïîñòðîèòüPm?äëÿ îöåíêè u, åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîj=1 |cij (r)| < c äëÿ âñåõ r è i. Ýòîòàëãîðèòì ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿZ∆u(r, λ) = − u(r, λ0 )c(r, λ, λ0 ) dλ0 − g(r, λ), u(r, λ)|Γ = ψ(r, λ)Λïðè óñëîâèè, ÷òîçàäà÷èR|c(r, λ, λ0 )| dλ0 < c? äëÿ âñåõ r è λ.
Àíàëîãè÷íî, äëÿ íåëèíåéíîé∆u + cun = 0,uΓ = ψ,n≥2â îáëàñòè D ∈ R3 , èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿZZ1u(r) =u(r(s)) ds +un (r0 )Gr (r0 ) dr0 ,24πd (r) S(r)D(r)ìîæíî ïîñòðîèòü ñïåöèàëüíûé àëãîðèòì áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì è øàðàì ñ âåòâëåíèåì(ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ).7.1.5. Ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî ïàðàìåòðà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó (7.1) ñ êîìïëåêñíûì ïàðàìåòðîì: c = a+bi. Ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòèôóíêöèé g , ψ è ãðàíèöû Γ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿýòîé çàäà÷è, à òàêæå èñïîëüçóåìîå äàëåå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ âïèñàííîãî â D øàðà. Ïîñòðîåííûå ðàíåå îöåíêè ìåòîäàÌîíòå-Êàðëî äëÿ âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ äàëåå íà ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî ïàðàìåòðà.Ðåøåíèå çàäà÷è (7.8), òàê æå êàê â âåùåñòâåííîì ñëó÷àå, óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþZk(r, r0 )u1 (r0 ) dr0 + h(r),u1 (r) =(7.9)Dãäåk(r, r ) = q(c, d)δr (r ) ïðè r ∈/ Γε è k(r, r ) = 0 ïðè r ∈ Γε ;00Zh(r) =0√d c√ ;q(c, d) =sin(d c)G(ρ; c, d)g(ρ) dρ ïðè r ∈/ Γε è h(r) = u(r) ïðè r ∈ Γε .D(r)Çäåñü δr (r0 ) îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþâåðîÿòíîñòåé íà ñôåðå S(r), G(ρ; c, d) ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ øàðà D(r), îãðàíè÷åííîãîñôåðîé S(r).
Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåZ1G(ρ; c, d) g(ρ) dρ =4πD(r)ZZd2=E6ddωΩ0x q(c, d)x 1−g(x, ω) dx =d q(c, d − x)q(c, d)g(ν, ω) ,q(c, d − ν)(7.10)ãäå ω èçîòðîïíîå íàïðàâëåíèå, à ν ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ â èíòåðâàëå(0, d) ñ ïëîòíîñòüþ 6x(1 − x/d)d−2 . Ïîëó÷åííûå äàëåå ðåçóëüòàòû ñâÿçàíû ñî ñâîéñòâàìè ôóíêöèè q(c, d) êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî c, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåìóòâåðæäåíèè.Ëåììà 7.1.
Äëÿ c = a + bi ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà|q(c, d)| ≤ |q(a, d)|;|q(c, d)| ≤ |q(bi, d)|,|q(c, d)| ≤ |q(c, d − x)|,Äîêàçàòåëüñòâî.(7.11)a < 0;a < 0,0 ≤ x ≤ d.(7.12)(7.13)Äëÿ ôóíêöèè sin z/z èçâåñòíî ïðåäñòàâëåíèå∞ sin z Yz2=1− 2 2 ,znπn=1èç êîòîðîãî èìååì Y√ ∞ √ ∞ 2 sin d c Ydcd2 a sin d a √ =1− 2 2 ≥ d c 1 − n2 π 2 = d√a ,nπn=1n=1(7.14)îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ (7.11).
Äàëåå, ïðè a < 0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå 2 2 2 2 22 22dcbdidbd|a|1 − = 1++≥ 1 − 2 2 ,n2 π 2 n2 π 2n2 π 2nπ(7.15)èç êîòîðîãî ñëåäóåò (7.12). Íåðàâåíñòâî (7.13) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé ÷àñòè (7.15).Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïîñòðîåíèþ è îáîñíîâàíèþ íåîáõîäèìûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ñèìâîëîì c∗ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî÷èñëà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ îáëàñòè D.P∞nËåììà 7.2.Re(c) = a ≤ 0(7.9)n=0 K hkhÄîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâå (7.11) ëåììà 7.2 ñëåäóåò èç äîêàçàííîãî ðàíåå (ñì.ðàçäåë 7.1) ñîîòâåòñòâóþùåãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà.Òåîðåìà 7.3.Re(c) ≤ 0(7.9)(7.8)Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè u0 (r) ðÿä Íåéìàíà è K0 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ (7.9) ïðè c = 0 è ψ ≡ g ≡ C0 , òî u0 (r) ≥ C0 è limn→∞ K0n u0 (r) = 0.
Ïîýòîìó, åñëèu(r) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.9) è |u(r)| < C1 , òî ñ ó÷åòîì (7.11) èìååìÅñëè, òî ðÿä Íåéìàíàñõîäèòñÿ è ïîñëå çàìåíû ÿäðà è ôóíêöèè íà èõ ìîäóëè.äëÿ óðàâíåíèÿÅñëè, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îãðàíè÷åííîå ðåøåíèåóðàâíåíèÿ , ïðåäñòàâëÿåìîå ñîîòâåòñòâóþùèì ðÿäîì Íåéìàíà è ñîâïàäàþùåå ñðåøåíèåì çàäà÷è .u=nXK i h + K n+1 u,ïðè÷åì |K n+1 u| < C1 C0−1 K0n+1 u0 .i=0Íà îñíîâå äîêàçàííûõ óòâåðæäåíèé ðåøåíèå çàäà÷è (7.8) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî, êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòàíäàðòíîé îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì, ñâÿçàííîéñ áëóæäàíèåì ïî ñôåðàì. Ðàíäîìèçèðóÿ çíà÷åíèå h(r) ñîãëàñíî (7.10), ýòó îöåíêóìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:"n−1"N −1##NXYYd2n q(c, dn )+q(c, dn ) u(rN ).ξ=q(c, di ) g(νn , ωn )6q(c, dn − νn )n=0 i=0n=0ßñíî, ÷òî |q(c, dn )/q(c, dn − νn )| < C < +∞.
Èç îáùåé òåîðèè îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì(ñì. ðàçä. 4.3) ñ ó÷åòîì ëåììû 7.2 ñëåäóåò, ÷òî ξ = u(r). Êðîìå òîãî, èñïîëüçóÿ îöåíêóâåëè÷èíû ξ 2 äëÿ âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà è íåðàâåíñòâî (7.11), ïîëó÷àåì, ÷òî çäåñü|ξ 2 | < +∞, åñëè Re(c) ≤ 0.Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî çàìåíà âåëè÷èíû u(rN ) íà çíà÷åíèå ψ(P (rN )) âáëèæàéøåé òî÷êå ãðàíèöû (ìîäèôèöèðîâàííóþ òàêèì îáðàçîì îöåíêó îáîçíà÷èì ξε ),ïðèâîäèò ê ε-ñìåùåíèþ, ò. å. |u(r) − Eξε | < Cε, ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ìîäóëÿ ãðàäèåíòà ðåøåíèÿ â Γε .
Çäåñü âåëè÷èíà E|ξε2 | îãðàíè÷åíàâìåñòå ñ E|ξ 2 |.7.1.6. Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Äëÿ îáùåãî n-ìåðíîãî ñëó÷àÿ â ñîîòíîøåíèè (7.9)èìååì√(d c/2)(n−2)/2√ ,q(c, d) =(n/2)J(n−2)/2 (d c)ãäå J(n−2)/2 ôóíêöèÿ Áåññåëÿ. Âåëè÷èíó h(r) ìîæíî ðàíäîìèçèðîâàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì:Zd2h(r) =p0 (r, ρ)[G(ρ; c, d)/G(ρ; 0, d)]g(ρ) dρ,(7.16)2nãäå (ïðè n > 2)2n11p0 (r, ρ) = 2nd G(ρ; 0, d) =, |ρ − r| ≤ d.−(n − 2)d2 ωn (ρ − r)n−2 dn−2√ nÇäåñü ωn = 2( π)R /(n/2) ïîâåðõíîñòü n-ìåðíîé ñôåðû åäèíè÷íîãî ðàäèóñà.
Íåòðóäíîïðîâåðèòü, ÷òî p0 (r, ρ) dρ = 1. Ïðè n = 2 èìååì−2p0 (r, ρ) = 4d−2 G(ρ; 0, d) =d2ln,π |ρ − r||ρ − r| ≤ d.Îòíîøåíèå çíà÷åíèé ôóíêöèè G â âûðàæåíèè (7.16) îãðàíè÷åíî, òàê êàê ôóíêöèèÃðèíà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé c èìåþò â òî÷êå ρ = 0 ïîëþñà îäíîãî ïîðÿäêà. Ñîîòâåòñòâåííî (7.16) â âûðàæåíèè (7.10) ôóíêöèÿ d2 q(c, d)/[6q(c, d − ν)] çàìåíÿåòñÿ íàd2 G(ρ; c, d)/[2nG(ρ; 0, d)], ãäå ρ ñëó÷àéíàÿ òî÷êà â D(r), ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé êîòîðîé ðàâíà p0 (r, ρ).Ëåììà 7.1 ñïðàâåäëèâà â n-ìåðíîì ñëó÷àå, òàê êàê ôóíêöèÿψ(z) = (n/2)J(n−2)/2 (z)/(z/2)(n−2)/2ïðåäñòàâèìà â âèäå (7.14) ñ çàìåíîé âåëè÷èí {nπ} íà ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ôóíêöèèJ(n−2)/2 (èçâåñòíî, ÷òî ψ(0) = 1, âñå êîðíè ôóíêöèè Áåññåëÿ âåùåñòâåííû è èõ ìíîæåñòâî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ðåçóëüòàòû ïîäðàçä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
