1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ïðîöåññ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (6.65) (ñì. ïîäðàçä. 4.3.3) ñîâïàäàåò ñ àëãîðèòìîì ÏÑÌ. Óðàâíåíèå (6.65) èñïîëüçîâàòü íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòàíäàðòíûõ âåñîâûõ ìîäèôèêàöèé ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó åãî ÿäðîK(V 0 , t0 → V, t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó âçàèìíî ñèíãóëÿðíûõ ñëàãàåìûõ. Ýòî çàòðóäíåíèå ìîæåò áûòü ïðåîäîëåíî ïîñðåäñòâîì ìîäèôèêàöèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâàñèñòåìû ïóòåì ââåäåíèÿ íîìåðà âçàèìîäåéñòâóþùåé ïàðû â ÷èñëî êîîðäèíàò ôàçîâîãîïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû.
Äàííûé ïðèåì äàåò âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü íîâîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, ñòðóêòóðà ÿäðà êîòîðîãî ïîçâîëÿåò ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ââåñòè âåñîâûå ìîäèôèêàöèè ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíîñòèëèøü â âèäå ñîìíîæèòåëåé.6.14.3. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ êîàãóëÿöèè.  íàñòîÿùåì ïîäðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿíåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Ñìîëóõîâñêîãî â ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíîì ñëó÷àå. Äàííîåóðàâíåíèå îïèñûâàåò øèðîêèé êëàññ ïðîöåññîâ êîàãóëÿöèè â ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ êàê ïðîöåññû ñëèïàíèÿ ÷àñòèö, òàê è ïðîöåññû èõ ðàñïàäà íà ÷àñòèöû ìåíüøåãî ðàçìåðà.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé ÷èñòîãî ïàðíîãî ñëèïàíèÿ÷àñòèö. Ýòîò ïðîöåññ â ñóùíîñòè è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ êîàãóëÿöèè.  äàííîì ñëó÷àå îíî èìååò âèä:∞X1 X∂n(l, t)=k(i, j)n(i, t)n(j, t) − n(l, t)k(l, i)n(i, t),∂t2 i+j=li=1(6.66)ãäå n(l, t) ÷èñëîâàÿ ïëîòíîñòü ÷àñòèö ðàçìåðà l â ìîìåíò âðåìåíè t; ïðè÷åì ðàçìåð÷àñòèöû l ïðèíèìàåò íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ; k(i, j) êîýôôèöèåíòû êîàãóëÿöèè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ çàäàííûìè âåëè÷èíàìè. Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå n(l, t) óðàâíåíèÿ (6.66)ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà l è íåïðåðûâíîãî àðãóìåíòà t.
Ïðèñîåäèíÿÿê (6.66) íà÷àëüíûå äàííûån(l, t = 0) = n0 (l),(6.67)ïîëó÷èì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Ñìîëóõîâñêîãî. Âñå âåëè÷èíû â çàäà÷å ñ÷èòàþòñÿ îáåçðàçìåðåííûìè íà ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ. ×èñëåííîåðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6.66),(6.67) ìû áóäåì ïîíèìàòü â ñìûñëå íàõîæäåíèÿ ëèíåéíûõôóíêöèîíàëîâ îò ôóíêöèè n(l, t).Äëÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà îäíîðîäíîé êîàãóëÿöèè õîðîøî èçâåñòíà ìàòåìàòè÷åñêàÿìîäåëü, â îñíîâó êîòîðîé ïîëîæåíî ïðåäñòàâëåíèå î êîàãóëèðóþùåé ñèñòåìå êàê îá àíñàìáëå êîíå÷íîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.
Ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõòðåáîâàíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî àíñàìáëÿ è íà ñòîõàñòè÷åñêèéïðîöåññ åãî ýâîëþöèè âî âðåìåíè, ìîæíî èññëåäîâàòü âîïðîñ î ñòåïåíè àïïðîêñèìàöèèäàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ðàññìàòðèâàåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, ñâÿçàííîãî ñóðàâíåíèåì (6.66). Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî â ìåòîäàõ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà,îäíàêî èìåþòñÿ ñóùåñòâåííûå ðàçëè÷èÿ.
Ïåðâîå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êîëè÷åñòâî÷àñòèö â ìîäåëèðóåìîì àíñàìáëå ñòàíîâèòñÿ ïåðåìåííûì è ôèêñèðîâàííûì ÿâëÿåòñÿëèøü ÷èñëî N = N0 íà÷àëüíûõ ÷àñòèö. Âòîðîå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî N -÷àñòè÷íîå óðàâíåíèå Êàöà , êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì è ñâÿçü åãî ñ íåëèíåéíûì êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåìÁîëüöìàíà èçâåñòíà.  ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ñìîëóõîâñêîãî òàêîãî îñíîâíîãî îáùåïðèíÿòîãî N -÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ íåò. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî,êàê àëãîðèòìîâ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, òàê è èõ âåñîâûõ ìîäèôèêàöèé âàæíî èìåòüëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà.  ÷àñòíîñòè, íàëè÷èå èíòåãðàëüíîé ôîðìû óðàâíåíèÿ Êàöà äàëî âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü óíèâåðñàëüíûå âåñîâûå ìåòîäû äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà (ñì.
ïîäðàçä. 6.14.2).Ñ.Â.Ðîãàçèíñêèì áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé áîëüöìàíîâñêîãî òèïà óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà, ïðåäñòàâëÿþùååñîáîé âåðîÿòíîñòíîå îïèñàíèå ýâîëþöèè ñèñòåìû èç N ÷àñòèö. Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà äàåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãîíåëèíåéíîãî êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.Ïðîöåññ êîàãóëÿöèè â ñèñòåìå N ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ ìàðêîâñêóþ öåïü, ïåðåõîäû â êîòîðîé îñóùåñòâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòàðíûõ ïàðíûõâçàèìîäåéñòâèé (ñëèïàíèé) ÷àñòèö.
Ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ìåæäó ýëåìåíòàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè â ñèñòåìå îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû è ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì. Âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ñèñòåìå èç N ÷àñòèö çà âðåìÿ dtðàâíà A(N, LN ) dt, ãäåN−1 XNXA(N, LN ) =a(N, li , lj ).i=1 j=i+1Âåëè÷èíà a(N , li , lj ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì P∞l=1 k(li , lj → l), åñëè N ≥ 2;a(N, li , lj ) =0, èíà÷å.Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå â ñèñòåìå ðåàëèçóåò ïàðà ÷àñòèö ñ íîìåðàìè iè j , ðàâíà a(N, li , lj )/A(N, LN ). Ïðè ýòîì îáå ÷àñòèöû çàìåíÿþòñÿ íà íîâóþ ÷àñòèöó,èìåþùóþ ðàçìåð li + lj , à ðàçìåðû îñòàëüíûõ ÷àñòèö íå èçìåíÿþòñÿ.
Âðåìÿ ìåæäóýëåìåíòàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè â ñèñòåìå ðàñïðåäåëåíî ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ïëîòíîñòüþ A(N, LN )E(N, LN , t), ãäå E(N, LN , t) = exp(−A(N, LN )t). Ýòîé öåïè Ìàðêîâàìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå èíòåãðàëüíî-àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå âòîðîãî ðîäà,àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèþ (6.65).ÃËÀÂÀ 7. ÐÅØÅÍÈÅ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÄËß ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÈÕÓÐÀÂÍÅÍÈÉ7.1. ÂÅÑÎÂÛÅ ÎÖÅÍÊÈ, ÑÂßÇÀÍÍÛÅ Ñ "ÁËÓÆÄÀÍÈÅÌÏÎ ÑÔÅÐÀÌ"7.1.1. Áëóæäàíèå ïî ñôåðàì.óðàâíåíèÿ ÃåëüìãîëüöàÐàññìîòðèì òðåõìåðíóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ∆u + cu = −g,uΓ = ψ,(7.1)â îáëàñòè D ⊂ R3 ñ ãðàíèöåé Γ, ïðè÷åì c < c∗ , ãäå c∗ ïåðâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ îáëàñòè D, r = (x, y, z) ∈ D. Ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè óñëîâèÿðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèé g , ψ è ãðàíèöû Γ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.1), à òàêæå åãî âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå è èíòåãðàëüíîåïðåäñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ øàðîâîé ôóíêöèè Ãðèíà [1].Ðàññìàòðèâàåìûå äàëåå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñâÿçàíû ñ òàê íàçûâàåìûì ïðîöåññîì áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì â îáëàñòè D [2].
Äëÿ åãî îïèñàíèÿ ââåäåì ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ: D çàìûêàíèå îáëàñòè D; d(P ) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè P äî ãðàíèöû Γ;Γε ε-îêðåñòíîñòü ãðàíèöû Γ, ò. å. Γε = {P ∈ D : d(P ) < ε}, S(P ) ìàêñèìàëüíàÿ èçñôåð ñ öåíòðîì â òî÷êå P , öåëèêîì ëåæàùèõ â D: S(P ) = {Q ∈ D : |Q − P | = d(P )}. ïðîöåññå áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì î÷åðåäíàÿ òî÷êà Pk+1 âûáèðàåòñÿ ðàâíîìåðíîïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû S(Pk ); ïðîöåññ îáðûâàåòñÿ, åñëè òî÷êà ïîïàäàåò â Γε .Îáîçíà÷èì ÷åðåç s0 (P, ε) ïîâåðõíîñòü òîé ÷àñòè ñôåðû S(P ), êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèòìíîæåñòâó Γε .
Ïîñòðîèì ñôåðó Sε ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå êàñàíèÿ ãðàíèöû Γñôåðîé S(P ). Òîãäà ïëîùàäü ÷àñòè ñôåðû S(P ), öåëèêîì ëåæàùåé âíóòðè Sε (P ), ðàâíàπε2 . Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó ñíèçó äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ î÷åðåäíîéòî÷êè â Γε :πε2ε2s0 (P, ε)≥≥= ν(ε),(7.2)4πd2 (P )4πd2 (P )4d2maxãäå dmax òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíèöà ðàäèóñîâ ñôåð, öåëèêîì ëåæàùèõ â îáëàñòè D,êîòîðàÿ ìîæåò áûòü è íåîãðàíè÷åííîé.Äàäèì òî÷íîå îïðåäåëåíèå ïðîöåññà áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì. Çàäàäèì öåïü Ìàðêîâà{Pn }n=1,2,...,N ñëåäóþùèìè õàðàêòåðèñòèêàìè:π(r) = δ(r − P0 )P0p(r, r0 ) = δr (r0 )r r01) ïëîòíîñòü íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ò. å öåïü âûõîäèò èçòî÷êè );2) ïëîòíîñòü ïåðåõîäà èç â , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé îáîáùåííóþ òðåõìåðíóþ ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íà ñôåðåS(r);3) p0(r) âåðîÿòíîñòü îáðûâà öåïè, îïðåäåëÿåìàÿ âûðàæåíèåì0 ïðè r ∈/ Γε ;p0 (r) =1 ïðè r ∈ Γε ;4) N íîìåð ïîñëåäíåãî ñîñòîÿíèÿ.Êàê óæå óêàçûâàëîñü, äàííàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì.Åå ìîæíî, î÷åâèäíî, çàïèñàòü â âèäåPn = Pn−1 + ωn d(Pn−1 ),n = 1, 2, .
. . ,ãäå ωn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ èçîòðîïíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íîé äëèíû.7.1.2. Ñðåäíåå ÷èñëî ïåðåõîäîâ. Âåðîÿòíîñòü p1 (r) îáðûâà öåïè ïîñëå î÷åðåäíîãî ïåðåõîäà èç r â r0 ìîæíî îöåíèâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Zp1 (r) =p(r, r0 )p0 (r0 ) dr0 ≥ ν(ε).(7.3)ΓεÑëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ÷èñëî q(P0 , ε) ïåðåõîäîâ â öåïè áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì, îïðåäåëÿþùåå ñðåäíåå âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ öåïè íà ÝÂÌ, íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû ν −1 (ε).Áîëåå òîãî, äëÿ øèðîêîãî êëàññà ãðàíèö Γ íà îñíîâå òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ óäàëîñüïîñòðîèòü ëîãàðèôìè÷åñêóþ îöåíêó.q(P0 , ε) ≤ C| ln ε|,(7.4)êîòîðàÿ çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âûïóêëûõ îáëàñòåé.Îöåíêà (7.4) ñòàíîâèòñÿ ýâðèñòè÷åñêè î÷åâèäíîé íà îñíîâå ñëåäóþùåãî ðàññìîòðåíèÿ ïëîòíîñòè öåíòðîâ ñôåð. Èçâåñòíî [2], ÷òî ïðîöåññ áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì, ñâåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñõîäèòñÿ ê ãðàíèöå, ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêè äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ýòó ïëîòíîñòü âáëèçè ïëîñêîé ãðàíèöû.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç x ðàññòîÿíèå äî ïëîñêîéãðàíèöû. Ñîîáðàæåíèÿ ïîäîáèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) öåíòðîâ ñôåð ïî x ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ äîëæíà áûòü áëèçêîé ê x−1 .Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò îöåíêà (7.4).Âïðî÷åì, äëÿ ïëîñêîé ãðàíèöû â òðåõìåðíîì ñëó÷àå òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ äàåòñëåäóþùèé òî÷íûé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 7.1.ΓÅñëè ïëîñêîñòü, òîq(P0 , ε) =ãäå d0 = d(P0).Äîêàçàòåëüñòâî.ln(ε/d0 ) − 1,ln 2 − 1Âåëè÷èíó ln dN ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:ln dN = ln d0 +NXk=1lndk.dk+1Äëÿ ïëîñêîé ãðàíèöû âåëè÷èíû ln(dk /dk+1 ), î÷åâèäíî, íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; â ÷àñòíîñòè, â òðåõìåðíîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå dk = 2dk−1 αk ,ãäå {αk } íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå â èíòåðâàëå (0, 1), è E ln(dk+1 /dk ) = ln 2 − 1.
Ñîãëàñíî òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ (ñì.,íàïðèìåð, [3]), èìååìln(ε/d0 ) + E γ(ln ε),q(P0 , ε) =ln 2 − 1ãäå γ(ln ε) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïåðåñêîêà âåëè÷èíû ln dN ÷åðåç óðîâåíü ln ε, ò. å.γ(ln ε) = ln dN − ln ε. Î÷åâèäíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âåëè÷èíà γ(ln ε) èìååò ñòàíäàðòíîåýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ò. å. E γ(ln ε) ≡ −1.Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëÿåìîå òåîðåìîé 7.1 âûðàæåíèå äàåò âåðõíþþ îöåíêó âåëè÷èíûq(P0 , ε) äëÿ âûïóêëîé îáëàñòè.7.1.3. Îöåíêà ðåøåíèÿ. Äàëåå áóäóò ñôîðìóëèðîâàíû àëãîðèòìû áëóæäàíèÿ ïîñôåðàì íà îñíîâå èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ òðåõìåðíóþçàäà÷ó Äèðèõëå:∆u − cu = −g, uΓ = ψ,(7.5)â îáëàñòè D ñ ãðàíèöåé Γ; c = const ≥ 0. Ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè g , ψ è Γ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è(7.5), à òàêæå âîçìîæíîñòü åãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ øàðà.Äëÿ ôóíêöèè u(r) ìîæíî çàïèñàòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåZu(r) =k(r, r0 )u(r0 ) dr0 + h(r),(7.6)Dãäå√d c√ δr (r0 ) ïðè r ∈/ Γε è k(r, r0 ) = 0 ïðè r ∈ Γε ;k(r, r ) =sinh(d c)√Zsinh[(d − |r0 − r|) c ] 01√h(r) =g(r ) dr0 ïðè r ∈/ Γε è h(r) = u(r) ïðè r ∈ Γε .4π|r0 − r| sinh(d c)0Çäåñü d = d(r), δr (r0 ) îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ√ ðàâíîìåðíîìó ðàñïðå√äåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé íà ñôåðå S(r).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
