1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ýòè óñëîâèÿ, â ÷àñòíîñòè, èìåþò ìåñòîäëÿ îäíîñêîðîñòíîãî ïðîöåññà ïåðåíîñà â îãðàíè÷åííîé ñðåäå ñ ôóíêöèåé èñòî÷íèêà,äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþùåé ïî âðåìåíè. ýòîì ïîäðàçäåëå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî, åñëè f (r, v, t) exp(−λt) −→ 0 äëÿ âñåõt→+∞(r, v), òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.38) èJ(t) = Ceλt [1 + ε(t)],ε(t) −→ 0.t→+∞(6.39)Âñëåäñòâèå (6.37) ôóíêöèÿ J 0 (t) îáëàäàåò òåì æå ñâîéñòâîì, òî åñòüJ 0 (t) = C1 eλt [1 + ε1 (t)], åñëè f 0 (r, v, t) exp(−λt) −→ 0 äëÿ âñåõ (r, v).t→+∞ ýòîì ñëó÷àå äëÿ λ < 0 èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèè J 0 (t) â ïðåäåëàõ (τ, +∞) ïðè τ → +∞ïîêàçûâàåò, ÷òîJ 0 (t) = Cλeλt [1 + ε1 (t)], ε1 (t) −→ 0.(6.40)t→+∞Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ λ < 0 èìååìZZ +∞0−1 λτλτJ (t) dt = C1 λ e −C1J(τ ) = Ce [1+ε(τ )] = −∞eλt ε1 (t) dt = C1 λ−1 eλτ [1+ε2 (τ )],ττò. å. C1 = Cλ. Ïóñòü òåïåðü λ ≥ 0.
Ââåäÿ äîïîëíèòåëüíîå ïîãëîùåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì(0)σc > λ, ïîëó÷àåì (ñì., íàïðèìåð, [2])J0 (t) = exp(−σc(0) t)J(t) = C exp((λ − σc(0) )t)[1 + ε(t)],(0)ïðè÷åì J00 = C exp((λ − σc )t)[1 + ε1 (t)]. Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà ïîñëå äèôôå(0)ðåíöèðîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ J(t) = exp(σc t)J0 (t), ïîëó÷àåì (6.40) è â ñëó÷àå λ ≥ 0.Âñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèé (6.39) è (6.40), âåëè÷èíà J 0 (t)/J(t) äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî çíà÷åíèÿ t äàåò îöåíêó âðåìåííîé êîíñòàíòû λ.
Îòìåòèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùóþ,îïðåäåëÿåìóþ òåîðåìàìè 6.4 è 6.5, îöåíêó ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, ìîæíî ðàíäîìèçèðîâàòü (ñì. ðàçä. 4.7) ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ ôëóêòóàöèé âðåìåííîé êîíñòàíòû ïðîöåññàïåðåíîñà ÷àñòèö â ñëó÷àéíîé ñðåäå.6.11. ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÎÁÐÀÒÍÛÕ È ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕÇÀÄÀ×6.11.1. Îáðàòíûå çàäà÷è.íèÿ I˜k ôóíêöèîíàëîâÏðåäïîëîæèì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åíû çíà÷å-Ik (σ1 , .
. . , σn ) = (ϕ, hk ) = (Φ, pk ),k = 1, . . . , N,ãäå ϕ ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, à Φ ñîîòâåòñòâóþùàÿ èíòåíñèâ(0)(0)íîñòü (ñì. ïîäðàçä. 6.1.1). Íåîáõîäèìî îöåíèòü ïàðàìåòðû σ1 , . . . , σn . Ïóñòü (σ1 , . . . , σn ) íà÷àëüíûå îöåíêè, òîãäà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè èìååì ñèñòåìó:nXaki δi = I˜k − Ik ,k = 1, . .
. , N,(0)ãäå Ik ≡ Ik (σ1 , . . . , σn(0) ),i=1(0)(0)∂Ik (σ1 , . . . , σn )(0)aki =, δi = σi − σi ,∂σièëè â âåêòîðíîé ôîðìå:Aδ = Ĩ − I, δ = σ − σ (0) .(6.41)Ïðîèçâîäíûå {aki } âû÷èñëÿþòñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî îäíîâðåìåííî ñ {Ik } (ñì. ðàçäåë6.4). Åñëè ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå íåóäîâëåòâîðèòåëüíî, òî ìîæíî ñòðîèòü ñëåäóþùèåèòåðàöèè. Ñèñòåìà (6.41) ìîæåò áûòü ïåðåîïðåäåëåííîé è òîãäà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ò. å.
îïðåäåëÿòü(σ1 , . . . , σn ) ïóòåì ìèíèìèçàöèèêâàäðàòè÷åñêîé íîðìû Aδ − (Ĩ − I), Aδ − (Ĩ − I) .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñèñòåìó:A∗ Aδ = A(Ĩ − I)ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé A∗ A. Ïðåäâàðèòåëüíî öåëåñîîáðàçíî ïîäåëèòü k -þ ñòðîêó èñõîäíîé ñèñòåìû (6.41) íà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü sk ýêñïåðèìåíòàëüíîé(0)îöåíêè I˜k è óìíîæèòü i-é ñòîëáåö ìàòðèöû A íà σi (k = 1, . . . , N ; i = 1, . . .
, n). Òàêóþïðîöåäóðó ìîæíî íàçâàòü; îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòåéøóþ ðåãóëÿðèçàöèþ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îáðàòíîé çàäà÷è. Êàê ïðàâèëî, öåëåñîîáðàçíîèñïîëüçîâàòü áîëåå äåòàëèçèðîâàííóþ ðåãóëÿðèçàöèþ íà îñíîâå àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î (σ1 , . . . , σn ). Êðîìå òîãî íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷àåìûõ îöåíîê ê îøèáêàì â èñõîäíîé ìîäåëè çàäà÷è ïåðåíîñà.6.11.2. Ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ñðåäå, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûé êîíãëîìåðàò øàðîâûõ íåîäíîðîäíîñòåé.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîöåíòðû øàðîâ îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâåííûé ïóàññîíîâñêèé ïîòîê òî÷åê (ñì. ïðèìåð 2.2èç ðàçä. 2.4), ò. å. ÷èñëà öåíòðîâ â íåïåðåñåêàþùèõñÿ îáëàñòÿõ íåçàâèñèìû è ïîä÷èíåíûçàêîíó Ïóàññîíà; âîçìîæíî ïåðåñå÷åíèå øàðîâ. Ïîëíîå ñå÷åíèå âåùåñòâà âíóòðè ñôåððàâíî σ1 è ðàâíî σ2 â îñòàëüíîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè; äëÿ îïðåäåëåííîñòèáóäåì ïîëàãàòü, ÷òî max(σ1 , σ2 ) = σ1 .Ìîäåëèðîâàíèå òðàåêòîðèé â ðåàëèçàöèè òàêîé ñðåäû ìîæíî îñóùåñòâëÿòü ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ (ñì. ïîäðàçä. 6.2.1). Ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ñîñòîèò âòîì, ÷òî äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû âûáèðàåòñÿ ïî ôîðìóëå l = − ln α, ãäå α ñëó÷àéíîå ÷èñëî, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîå â (0, 1), è, åñëè ïîëó÷åííàÿ òî÷êà ñòîëêíîâåíèÿ íå íàõîäèòñÿ âíóòðè êàêîé-ëèáî ñôåðû, òî ìîäåëèðóåòñÿ äåëüòà-ðàññåÿíèå, ò.
å.÷àñòèöà ñíîâà äâèãàåòñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè ñ âåðîÿòíîñòüþ (σ1 − σ2 )/σ1 . Èíîãäà öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü âåñîâîé ñïîñîá ìîäåëèðîâàíèÿ, äèñïåðñèþ êîòîðîãî äëÿ ñðåäðàññìàòðèâàåìîãî òèïà ìîæíî îöåíèâàòü íà îñíîâå ìåòîäèêè, èçëîæåííîé â ðàçäåëå4.4.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåàëèçàöèè ñðåäû çäåñü äîñòàòî÷íî âûáðàòü çíà÷åíèå N ÷èñëà öåíòðîâ ñôåð èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà è çàòåì âûáðàòü òî÷êè êàæäîãî èç N öåíòðîâ íåçàâèñèìî è ðàâíîìåðíî ïî îáúåìó îáëàñòè. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ÷èñëàâû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé ìîæíî ðàçáèòü îáëàñòü íà ÷àñòè è äîâûáèðàòü â ýòèõ ÷àñòÿõðåàëèçàöèþ ïîòîêà öåíòðîâ ïî ìåðå ïîïàäàíèÿ â íèõ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû.
Î÷åâèäíî,÷òî ëèíåéíûå ðàçìåðû óêàçàííûõ ÷àñòåé äîëæíû áûòü âåëèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñàìè ñôåð. Óæå âûáðàííûå ÷àñòè ïîòîêà òî÷åê, âîîáùå ãîâîðÿ, ñëåäóåò çàïîìèíàòü,òàê êàê âîçìîæíî âîçâðàùåíèå ÷àñòèöû â ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè îáëàñòè. Ïåðåâûáîð÷àñòåé ïîòîêà íå ñîîòâåòñòâóåò èçëîæåííîìó â ðàçäåëå 4.7 ïðèíöèïó ðàíäîìèçàöèèè äàåò ñìåùåíèå îöåíêè, êîòîðûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ëèøü ïðè ñèëüíîé àíèçîòðîïèèðàññåÿíèÿ.Èçâåñòíî, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ âûøå ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé ñðåäû âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíà äëÿ îïèñàíèÿ êó÷åâîé îáëà÷íîñòè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïåðåíîñà ñîëíå÷íîãîèçëó÷åíèÿ â àòìîñôåðå. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ïðè îïèñàíèè äûìîâ áîëåå ïîäõîäÿùåéÿâëÿåòñÿ ìîäåëü, â êîòîðîé ïëîòíîñòè äëÿ îáùèõ òî÷åê øàðîâûõ îáëàñòåé ÿâëÿþòñÿñóììàðíûìè, ò. å.
σ1 çàìåíÿåòñÿ íà nσ1 , ãäå n ÷èñëî øàðîâ, êîòîðûì ïðèíàäëåæèòäàííàÿ òî÷êà.Äðóãàÿ îáùàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé ñðåäû îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ïîëíîãîñå÷åíèÿ σ(r) â âèäåmX(m)(m)σ (r) =σi (r),(6.42)ìàñøòàáèðîâàíèåìi=1(m)ãäå σi (i = 1, . . . , m) íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè íåêîòîðîãî îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãîïîëÿ, íàïðèìåð, ñëó÷àéíîãî êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî ïîëÿ, ñâÿçàííîãî ñî ñòàöèîíàðíûìèòî÷å÷íûìè ïîòîêàìè (ñì. ðàçäåë 2.7). Íàïîìíèì, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ σ(m)ñîâïàäàåò ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé îòäåëüíîãî ñëàãàåìîãî σi , à îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì êîìïîçèöèè, ò.
å. ïðåäñòàâëåíèå (6.42) óäîáíî, åñëèîäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîäåëèðóåìîãî ïîëÿ áåçãðàíè÷íî äåëèìî.Ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ïîëåé âèäà (6.42) ïðåäñòàâëåíû â [2].  ÷àñòíîñòè, òàì îïðåäåëåí êëàññ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé k(r) äëÿ èçîòðîïíûõ ïîëåé (6.42), êîòîðûé îêàçûâàåòñÿ áëèçêèì ê êëàññó âûïóêëûõ ôóíêöèé, ÷òî âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ ñîçäàíèÿóäîâëåòâîðèòåëüíûõ ìîäåëåé ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíîé èíôîðìàöèåé î êîððåëÿöèîííûõõàðàêòåðèñòèêàõ ðåàëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ áûâàåò òîëüêî âåëè÷èíà ìàñøòàáà,èíà÷åR∞äëèíû êîððåëÿöèè ρ. Âåëè÷èíà ρ îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé ρ = 0 k(r) dr, íîìîæåò áûòü îïðåäåëåíà è âûðàæåíèåì ρ1 = [−k(0)/(2k 00 (0))]1/2 .Öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåíèÿ (6.42) ñ áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè m, òàêêàê ïðè m → ∞ ðåàëèçàöèè äàæå ñëó÷àéíîãî êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî ïîëÿ σ (m) ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûìè, à ýòî íàèáîëåå åñòåñòâåííî (äëÿ ïîëåé ñ àáñîëþòíîíåïðåðûâíûìè îäíîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè).
Îäíàêî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå m, äëÿ êîòîðîãî õàðàêòåðíûéðàçìåð îáëàñòåé ïîñòîÿíñòâà σ (m) ñóùåñòâåííî ìåíüøå ñðåäíåé äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû; òàêîå çíà÷åíèå m öåëåñîîáðàçíî îïðåäåëÿòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõïðåäâàðèòåëüíûõ ðàñ÷åòîâ.Âîçìîæíû ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû â ñðåäå ñ ïîëíûì ñå÷åíèåì âèäà (6.42). Íàèáîëåå ïðîñòûì (íî, âîçìîæíî, íå ñàìûìýêîíîìè÷íûì) çäåñü ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòì, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî äëèíà ïðîáåãà ìîäåëè(m)ðóåòñÿ íåçàâèñèìî äëÿ êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ σi (r), à çàòåì âûáèðàåòñÿ ìèíèìàëüíàÿèç ïîëó÷åííûõ äëèí; ðàñïðåäåëåíèå òàêîé âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ôèçè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà (ýòî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ).Èçâåñòíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ñòîõàñòè÷åñêèõ ïëîñêèõ ñðåäàõ.
Êàê îêàçàëîñü, ýòè ðåçóëüòàòûõîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ïðèâåäåííîé äàëåå àñèìïòîòèêîé ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òàêèå ñðåäû. Ýòà àñèìïòîòèêà ïîêàçûâàåò âàæíîñòü ó÷åòàñòîõàñòè÷åñêîé íåîäíîðîäíîñòè ðåàëüíûõ ñðåä è äàåò òåñòîâûå çíà÷åíèÿ äëÿ àëãîðèòìîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ; êðîìå òîãî, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ êîýôôèöèåíòïðè àñèìïòîòè÷åñêîì âûðàæåíèè öåëåñîîáðàçíî âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî. Ïîýòîìó äàëåå êðàòêî ïðåäñòàâëåíà óêàçàííàÿ àñèìïòîòèêà.Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî àñèìïòîòèêà èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîì ñëîå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà â áåñêîíå÷íîé ñðåäå,ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíà ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü.1.
Ïëîòíîñòü áåñêîíå÷íîé ñðåäû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíîå ñëó÷àéíîå ïîëå ñïëîñêîé àñèììåòðèåé; òî÷íåå, êîýôôèöèåíòû ðàññåÿíèÿ è ïîãëîùåíèÿ çàâèñÿò ëèøüîò îäíîé êîîðäèíàòû z ñëåäóþùèì îáðàçîì:σs = σs (z) = qσ(z),σc = σc (z) = (1 − q)σ(z),0 ≤ q < 1,à èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ âåçäå îäèíàêîâà. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ σ(z) îäíîðîäíà ïî z èóäîâëåòâîðÿåòR zóñëîâèÿì, îáåñïå÷èâàþùèì âûïîëíåíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ τ = 0 σ(z0) dz0.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
