1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ñîãëàñíî ìåòîäó óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íåñìåùåííóþ îöåíêó èíòåãðàëà (6.17) ìîæíî ïîëó÷èòü, ñóììèðóÿâû÷èñëÿåìóþ ïîñëå êàæäîãî ôèçè÷åñêîãî ðàññåÿíèÿ âåëè÷èíóhS (r0 , v) = exp(−τop (lS0 , r0 , v))∆S (r0 , ω),êîòîðàÿ ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ðàññåÿííàÿ ÷àñòèöà ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòü S .Çäåñü ∆S (r0 , ω) èíäèêàòîð ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè S ëó÷îì r(l) = r0 + lω , à lS0 ðàññòîÿíèå âäîëü ýòîãî ëó÷à äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. ßñíî, ÷òî ïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåé âåñîâîé îöåíêè óïðîùàåòñÿ, åñëè ôàçîâîå ñîñòîÿíèå ôèêñèðîâàòüñðàçó ïîñëå âûáîðà çíà÷åíèÿ v, ò.å.
èñïîëüçîâàòü ñõåìó ìîäåëèðîâàíèÿ ïî ðàññåÿíèÿì. Îòìåòèì, ÷òî ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèÿìè öåííîñòè ðàññåÿíèé è ñòîëêíîâåíèé äàåòñîîòíîøåíèå (4.51).6.6. ÂÅÑÎÂÀß ÎÖÅÍÊÀ ÏÎ ÏÐÎÁÅÃÓÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîZ ZΦ(r, v) dr dv = IDi = E(Li ),Di(6.18)Vãäå Li äëèíà òîé ÷àñòè òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ ëåæèò â îáëàñòè Di . Âåñîâàÿ ìîäèôèêàöèÿïðè èñïîëüçîâàíèè äîïîëíèòåëüíûõ ôàçîâûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ âàðèàíòîì ñòàíäàðòíîé îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì (4.7):îöåíêè ïî ïðîáåãó(i)ξt=NXQn χ(i)n ,(6.19)n=0(i)ãäå χn äëèíà òîé ÷àñòè îòðåçêà [rn−1 , rn ], êîòîðàÿ ëåæèò â Di . Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèåχn âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé (tn , xn ).
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ñ öåëüþ îáîñíîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.18) íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âåëè÷èíà E(χn |xn−1 ) ðàâíà ñîîòâåòñòâóþùåìóçíà÷åíèþ èíòåãðàëà èç (6.18).(i)Ïðè îáùèõ óñëîâèé íåñìåùåííîñòè (4.8) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Eξt = IDi . Åñëè(i)îáëàñòü Di îãðàíè÷åíà, òî Dξt < +∞ ïðè ρ(Kp ) < 1, ò. å., â ÷àñòíîñòè, ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, äëÿ êîòîðîãî Kp ≡ K.Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Diè äëÿ âåðîÿòíîñòè âûæèâàíèÿ ÷àñòèöû ïðè ñòîëêíîâåíèè q(.), íå ïðåâîñõîäÿùåé 1 − δ .Äëÿ èñòî÷íèêà ÷àñòèö, ñîñðåäîòî÷åííîãî â òî÷êå (r, v), èìååìIDi ≡ IDi (r, v) < +∞ ∀ r, v ∈ R × V.Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: ϕ∗i (r, v) = IDi (r, v) = IDi (x).Ïåðåéäåì äàëåå ê ñõåìå ìîäåëèðîâàíèÿ ïî ðàññåÿíèÿì", â êîòîðîé âñïîìîãàòåëüíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû âûáèðàþòñÿ â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: χ, ν, v, ò.
å. (t, x) = (l, i, x),ïðè÷åì x0 âûáèðàåòñÿ èç èñòî÷íèêà ÷àñòèö. Êðîìå òîãî, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ñâîáîäíàÿ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, âíå íåêîòîðîé âûïóêëîé îáîëî÷êè ñðåäû, çàïîëíåíà ôèêòèâíîéñðåäîé ñ σ(.) ≡ σc (.). ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå âåñîâàÿ îöåíêà ïî ïðîáåãó ïðèíèìàåò âèä(i)ξt =NXQn hi (tn , xn ),n=1(i)ãäå hi (tn , xn ) ≡ χn (i) , ïðè÷åì χ0 (i) ≡ 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ϕ∗i (x) = Eξt (x) < C <(i)(i)+∞ ∀ x ∈ R × V , ãäå ξt (x) ≡ ξt ïðè óñëîâèè, ÷òî èñòî÷íèê ÷àñòèö ñîñðåäîòî÷åíâ òî÷êå x = (r, v).Òåîðåìà 6.2.(4.8) ρ(Kp ) < 1(i)∗ 22K hi ∈ C1 f /π ∈ N1Dξt < +∞(i)Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçâåäÿ ñóììó, âûðàæàþùóþ âåëè÷èíó ξt (x), â êâàäðàò è ïðîâåäÿ ñòàíäàðòíîå ÷àñòè÷íîå îñðåäíåíèå ñóììû ïðîèçâåäåíèé íåîäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ(ñì. ðàçäåë 4.5), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîà òàêæåÅñëè âûïîëíÿþòñÿ îáùèå óñëîâèÿ íåñìåùåííîñòè,, òî.Ehi2(i)ξt (x)=ENX,,Q2n h2i (tn , xn ) + 2hi (tn , xn )ϕ∗i (xn ) .n=1Âåñ Q2n ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðó Kp (ñì.
ðàçäåë 4.5). Ñëåäîâàòåëüíî,H(x) = Ehi2(i)ξt (x)∞X ∗n 2 < C0Kp hi (x) < C < +∞ ∀ x ∈ R × V.n=1h(i)Îêîí÷àòåëüíî èìååì E ξti2= (H, f 2 /π) < +∞.Ñîîòíîøåíèå K∗ h2i ∈ C1 èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âñëåäñòâèå ýêñïîíåíöèàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà.Ïîëó÷åííûå â ýòîì ðàçäåëå ðåçóëüòàòû àâòîìàòè÷åñêè îáîáùàþòñÿíà ñëó÷àé, êîRãäà âìåñòî èíòåãðàëà èç (6.18) íåîáõîäèìî îöåíèâàòü èíòåãðàë g(x)Φ(x) dx, ãäå g(x)(i) îãðàíè÷åííàÿ, êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿR χn íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðè ýòîì âìåñòî χn â(6.19) ðàññìàòðèâàåòñÿ âåëè÷èíà 0 g(rn−1 + lωn−1 , vn−1 ) dl. Îòìåòèì, ÷òî ïðè h(x) =∆Di (r)/v ìîäèôèöèðîâàííîå ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì âûðàæåíèå (6.19) îïðåäåëÿåòâåñîâóþ, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî èíòåãðàëó îò êîíöåíòðàöèè òðàåêòîðèé ïðîöåññà ïåðåíîñà ÷àñòèö ïî îáëàñòè Di .
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òîîöåíêè òàêîãî òèïà ïîñòðîåíû òàêæå äëÿ äèôôóçèîííûõ è, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðåðûâíûõ ïðîöåññîâ (ñì. äàëåå ðàçäåë 7.4).îöåíêó ïî âðåìåíè6.7. ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ6.7.1. Îäíîìåðíûé âàðèàíò.  ýòîì ðàçäåëå îïèñàíà ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, ñâÿçàííàÿ ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïîòîê÷àñòèö. ðÿäå ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òîëñòûé îäíîðîäíûé ñëîé âåùåñòâà 0 ≤ z ≤ H ïîòîê ÷àñòèö óáûâàåò ïðèáëèçèòåëüíî êàê exp(−cz). Îòñþäà âîçíèêàåòìûñëü î ïåðåõîäå ê óðàâíåíèþ ïåðåíîñà äëÿΦ1 (r, v) = ecz Φ(r, v).Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòîãî âûðàæåíèÿ â (6.1) è ñîêðàùåíèÿ íà exp(−cz) ïîëó÷àåìZ(ω, grad Φ1 ) + (σ − c cos v)Φ1 = Φ1 σs w(v, v0 , r) dv0 + ecz Φ0 (r, v),ãäå v óãîë ìåæäó ω è îñüþ z .
Ýòî óðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷å, äëÿ êîòîðîé σ1 =σ −c cos v = σ −cµ, à â êàæäîì ñòîëêíîâåíèè îáðàçóåòñÿ W = σs /(σ −c cos v) ðàññåÿííûõ÷àñòèö.Âåëè÷èíó W ìîæíî íàçâàòü. Åñëè W ≤ 1, òî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåðîÿòíîñòü ðàññåÿíèÿ. Âåëè÷èíà 1 − W áóäåò, ñîîòâåòñòâåííî,âåðîÿòíîñòüþ ïîãëîùåíèÿ. Åñëè W > 1, òî ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ìîæíî èñïóñêàòü Wðàññåÿííûõ ÷àñòèö èëè èñïóñêàòü îäíó ÷àñòèöó, íî âåñ åå äîïîëíèòåëüíî óìíîæàòüíà W .
Ïîñëåäíèé ñïîñîá óïðîùàåò ðàñ÷åòíóþ ïðîãðàììó, íî óâåëè÷èâàåò äèñïåðñèþðåçóëüòàòà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü äàæå áåñêîíå÷íîé, åñëè âîçìîæíû çíà÷åíèÿ âåñîâîãîìíîæèòåëÿ, ïðåâîñõîäÿùèå åäèíèöó.Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîñêîðîñòíîé ñëó÷àé: v ≡ ω .  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî êîìïåíñèðîâàòü ôëóêòóàöèè âåñîâ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîé ìîäèôèêàöèè ðàññåÿíèÿ w1 (ω 0 , ω) =w(ω 0 , ω)a(µ), ãäå a(µ) ïîêà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñëå ìîäåëèðîâàíèÿ (áåç ïîãëîùåíèÿ) òàêîãî ðàññåÿíèÿ âåñ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôîðìóëå, Z +1c cos v 000a(µ) .Q=Q qw(ω , ω)a(µ) dω1−σ−1êîýôôèöèåíòîì âûæèâàíèÿÎòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåZ +1cµ a(µ) = qw(ω, ω 0 )a(µ0 ) dω 0 ,1−σ−1(6.20)òî ïðîèñõîäèò ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîêðàùåíèå âåñîâ; ýòî ñóùåñòâåííî óëó÷øàåò àëãîðèòì.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èçâåñòíî â òåîðèè ïåðåíîñà ïîä íàçâàíèåì. Åìó óäîâëåòâîðÿåò çíà÷åíèå c = 1/L, ãäå L > 1/σ òàê íàçûâàåìàÿ. Ôóíêöèÿ a(µ) è âåëè÷èíà c äëÿ èçîòðîïíîãîðàññåÿíèÿ (ò. å. ïðè w = 1/4π) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè:õàðàêòåðèñòè-÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðîáëåìû Ìèëíàäèôôóçèîííàÿ äëèíàa(µ) =1,1 − µ/(σL)q σ σ/c + 1ln= 1.2 c σ/c − 1 îáùåì ñëó÷àå èíîãäà îöåíêó âåëè÷èíû c ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ òðàíñïîðòíîãîïðèáëèæåíèÿ (ñì.
äàëåå ïîäðàçä. 6.7.3). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìîäèôèöèðîâàííîå òàêèìîáðàçîì ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàðèàíò ìîäåëèðîâàíèÿïî öåííîñòè (ñì. ðàçä. 4.5), â êîòîðîì â êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ ê ôóíêöèè öåííîñòèèñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ïðîáëåìû Ìèëíà exp(z/L)a(µ); ïàðàìåòð c ïðèýòîì îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Êîíñòðóêöèè è îáîñíîâàíèå ýôôåêòèâíîñòè àëãîðèòìîâ òàêîãî ðîäà ïîäðîáíî èçëîæåíû â [2]. Ïîêàçàíî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòüîöåíêè âåðîÿòíîñòè ïðîõîæäåíèÿ çäåñü ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî òîëùèíå ñëîÿ, à íåýêñïîíåíöèàëüíî, êàê ïðè ïðÿìîì ìîäåëèðîâàíèè.6.7.2.
Èññëåäîâàíèå äèñïåðñèè. Èçó÷èì âîïðîñ îá ýôôåêòèâíîñòè ÷àñòè÷íîãîöåííîñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîãäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè öåííîñòè ìîäèôèöèðóåòñÿ òîëüêî ðàñïðåäåëåíèå äëèíû ïðîáåãà.Ðàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêè çíà÷èìóþP−∞ < z ≤ H Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âíå ýòîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà íàõîäèòñÿ àáñîëþòíûé ïîãëîòèòåëü (σ = σc ), ïðè÷åì ñðåäíèé ñâîáîäíûé ïðîáåãσ −1 = 1 âî âñåì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññåÿíèå ÷àñòèöû â òî÷êå ñòîëêíîâåíèÿ îïèñûâàåòñÿñèììåòðè÷íîé íîðìèðîâàííîé ïëîòíîñòüþ w(µ, µ0 ), ãäå µ - êîñèíóñ óãëà ìåæäó íàïðàâëåíèåì ïðîáåãà è îñüþ z . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöûâäîëü çàäàííîãî íàïðàâëåíèÿ ðàññåÿíèÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ðàâíà e−l , l ≥ 0.
Âåðîÿòíîñòü âûæèâàíèÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè â òî÷êå z < H ðàâíà q < 1. Ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèå(4.3) äëÿ îïèñàííîé ìîäåëè, ñ ó÷åòîì âñïîìîãàòåëüíîé ïåðåìåííîé l, ìîæíî çàïèñàòüâ âèäåZZçàäà÷ó îá îöåíêå âåðîÿòíîñòè.ñòèö èç ïîëóïðîñòðàíñòâàAϕ∗ (z, µ) = q1e−l0âûëåòà ÷à-w(µ, µ0 )ϕ∗ (z 0 , µ0 ) dµ0 dl + h(z, µ),z < H,(6.21)−1ãäå A = +∞ ïðè µ < 0 è A = (H − z)/µ ïðè µ > 0, ïðè÷åì z 0 = z + µl. ñõåìå ïî ðàññåÿíèÿì (ñì. ðàçäåë 6.5) âåðîÿòíîñòü âûëåòà ÷àñòèöû, ñòàðòîâàâøåéâ òî÷êå x = (z, µ), îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé Eξx (ñì.
äàëåå ðàçäåë 6.9) ïðèexp{−(H − z)/µ} ïðè z < H è µ > 0,h(z, µ) =(6.22)0èíà÷å.Ðàññìîòðèì äîïîëíèòåëüíî óðàâíåíèå (6.21) ñî ñâîáîäíûì ýëåìåíòîìa(µ) exp{−(H − z)/µ} ïðè z < H è µ > 0,ha (z, µ) =0èíà÷å.(6.23)Çäåñü a(µ) ñîâìåñòíî ñ äëèíîé äèôôóçèè 1/L óäîâëåòâîðÿþò õàðàêòåðèñòè÷åñêîìóóðàâíåíèþ (6.20) ïðè σ = 1. Äëÿ ðåàëüíîé èíäèêàòðèñû ðàññåÿíèÿ èìååì: a(µ) ≥ > 0ïðè µ > 0.  ñëó÷àå (6.23) ïîäñòàíîâêîé íåòðóäíî ïðîâåðèòü (ñì. ðàçäåë 4.4), ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ öåííîñòè ðàâíàϕ∗ (z, µ) = Eξx = a(µ) exp{−(H − z)/L}.(6.24)Ìîäåëèðîâàíèå äëèíû ïðîáåãà ñîãëàñíî ïëîòíîñòè e−l ecµl ïðèâîäèò ê ýêñïîíåíöèîíàëüíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, äëÿ êîòîðîãî σ 0 = 1 − cµ.
Ïðè ýòîì, åñëè îáðûâ òðàåêòîðèèìîäåëèðóåòñÿ ôèçè÷åñêè è c = 1/L, òî ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ýêâèâàëåíòíî öåííîñòíîìó ìîäåëèðîâàíèþ äëèíû ïðîáåãà ñ èñïîëüçîâàíèåì (6.24), äëÿ êîòîðîãîQn = Qn−1 e−lcµ /(1−cµ). Îòìåòèì, ÷òî, åñëè σ 6= 1, òî öåííîñòíîå âåñîâîå ìîäåëèðîâàíèåñòðîèòñÿ äëÿ σ 0 = σ(1 − µ/L). ñëó÷àå èçîòðîïíîãî ðàññåÿíèÿ áûëî ïîëó÷åíî [2], ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà Kp∗ óðàâíåíèÿ (4.15) ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ρ(Kp∗ ) = 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè öåííîñòíîì ìîäåëèðîâàíèè äëèíû ïðîáåãà äëÿ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì â ñëó÷àå èçîòðîïíîãîðàññåÿíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíûé êðèòåðèé êîíå÷íîñòè äèñïåðñèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
