1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 45
Текст из файла (страница 45)
. . , j(i) ) òàê, ÷òî xi = (j(i) h, . . . , j(i) h),ãäå h øàã ñåòêè. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà h ïðîïîðöèîíàëüíà 1/M 1/l . ÀïïðîêñèìàöèÿÑòðåíãàÔèêñà îïðåäåëÿåòñÿ áàçèñîìχi (x) = χ(j (1) ...,j (l) ) (x(1) , . . . , x(l) ) = χj (1) (x(1) ) × . . . × χj (l) (x(l) ),(i)(i)(i)(5.23)(i)(m)ãäå χj (m) (x(m) ) = χ(x(m) /h − j(i) ), à χ(x) ôèíèòíàÿ, îäèíàêîâàÿ äëÿ âñåõ êîîðäèíàò,ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ. Êàê ïðàâèëî, â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âûáèðàþò B (i)ñïëàéí β (r) (x) ïîðÿäêà r (ñì. îïðåäåëåíèå 1.5 èç ðàçä. 1.8). Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òîèñïîëüçîâàíèå B -ñïëàéíîâ èìååò áîëüøîå ïðåèìóùåñòâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ýôôåêòèâíîé"ìîäåëèðóåìîñòè"ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ñ ïëîòíîñòüþ (5.20) â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1.17 èçðàçä.
1.8.Êàê ïðàâèëî, â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ ñïëàéíû ïåðâîãî ïîðÿäêà (èëè"), â ýòîì ñëó÷àå ïðèáëèæåíèå LM g(x) èç (5.20) íàçûâàåòñÿôóíêöèè g(x). Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îòðàæàåòàïïðîêñèìàöèîííûå ñâîéñòâà ïðèáëèæåíèÿ (5.20) ñ áàçèñîì (5.23).Óòâåðæäåíèå 5.7 [9].g(x) ∈ C p+1 (X) χ(x) ∈ C p (R)wm (g) (5.20)"ôóíêöèè-êðûøêèìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèåéòàêèå êîýôôèöèåíòûÏóñòüèâ, ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêàρC s (X) (g, LM g) ≤ Hs hp+1−s kgkC p+1 (X) , 0 ≤ s ≤ p,ãäå êîíñòàíòû Hs íå çàâèñÿò îò g(x) è h., òîãäà íàéäóòñÿÈç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå âûñîêîãîïîðÿäêà ïî h îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà ñëåäóåò âûáèðàòüáîëåå ãëàäêèå ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè. Äëÿ ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè îïòèìàëüíûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè â óòâåðæäåíèè 5.7 äàþò êîýôôèöèåíòû wm (g) = g(xm ), èòîãäà LM g(xm ) = g(xm ).
Ïðè ýòîì χ(x) = β (1) (x) ∈ C 0 (R) è äëÿ g(x) ∈ C 1 (X) ïîëó÷àåì ρC 0 (X) (g, LM g) ≤ H0 hkgkC 1 (X) . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè g(x) ∈ C 2 (X) ïîãðåøíîñòüìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ρC 0 (X) (g, LM g) ïðîïîðöèîíàëüíà h2 [9].  ñëó÷àå r > 1âûáîð ïîäõîäÿùèõ êîýôôèöèåíòîâ {wm (g)} â (5.20) áîëåå ñëîæåí. Ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ èíòåðïîëèðóþùåé ñïëàéí-ôóíêöèè, òî åñòü ñïëàéíà, ïðîõîäÿùåãî÷åðåç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ.
Îäíàêî â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå íå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü,êàê â ñëó÷àå ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè, ÿâíûõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ èíòåðïîëèðóþùåé ñïëàéí-ôóíêöèè. Ýòî çàòðóäíÿåò ðåàëèçàöèþ òàêèõ àëãîðèòìîâ íà ÝÂÌ è, êðîìå òîãî, óñëîæíÿåò ðàññìîòðåíèå óñòîé÷èâîñòè ïîãðåøíîñòèàïïðîêñèìàöèè ê âîçìîæíîé îøèáêå çàäàíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ ñåòêè.Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâî"äëÿ ìóëüòèëèíåéíîéàïïðîêñèìàöèè, êîòîðîå îáîñíîâûâàåò óñòîé÷èâîñòü ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè êïîãðåøíîñòè çàäàíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ.Óòâåðæäåíèå 5.8.g(x), g̃(x) ∈ C 0 (X)"ñíîñà ïîãðåøíîñòè â óçëûÏóñòü çàäàíû äâå ôóíêöèèòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî, òîãäà äëÿ ìóëü-sup ρC 0 (X) (LM g, L(M ) g̃) ≤ max |g(xm ) − g̃(xm )| .m=1,...,Mx∈X îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè X = [0, 1] ⊂ R íåïëîõèìè ñâîéñòâàìè àïïðîêñèìàöèè è"ìîäåëèðóåìîñòè"îáëàäàåò àïïðîêñèìàöèÿ Áåðíøòåéíà ñ áàçèñíûìè ôóíêöèÿìèχm (x) = Cnm xm (1 − x)M −m ,m = 0, 1, .
. . , M ;0 ≤ x ≤ 1.Óêàæåì íåñêîëüêî ìîäèôèêàöèé (ñâÿçàííûõ ñ óìåíüøåíèåì òðóäîåìêîñòè S = t × Dζ )ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZg(ξ)I=g(x) dx = Eζ; ζ =; ξ ∼ f (x)f (ξ)X5.3.4. Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ñõåìû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.(ñì. àëãîðèòì 3.1 èç ðàçä. 3.1), â êîòîðûõ ýôôåêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåíèÿâèäà LM g(x) èç (5.20). Îäíèì èç îñíîâíûõ ñïîñîáîâ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè Dζ ÿâëÿåòñÿ âûáîðêà ïî âàæíîñòè (ñì. ðàçä. 3.2). Çäåñü ïëîòíîñòü f (x) âûáèðàåòñÿ áëèçêîé êìîäóëþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè |g(x)|.
 ÷àñòíîñòè, ïðè g(x) ≥ 0 ìîæíî âûáðàòüïðèáëèæåíèå âèäà (5.20) ñ áàçèñîì (5.23) (ñì. òàêæå ôîðìóëó (3.18) èç ðàçä. 3.2), ÷òîîáåñïå÷èâàåò ñòðåìëåíèå ê íóëþ äèñïåðñèè Dζ ïðè h ↓ 0. Ñ ïîìîùüþ óòâåðæäåíèé 5.7,5.8 ïîëó÷àåì îöåíêó ñâåðõó âèäàDζ ≤H̃ 4h kgkW22 (X) .Q(5.24)Âåëè÷èíà Q = minm g(xm ) äîëæíà áûòü îòäåëåíà îò íóëÿ.Äðóãîé ñïîñîá ïðèìåíåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ (5.20) äëÿ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè Dζ ñâÿçàí ñ àëãîðèòìîì âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè (ñì. ðàçä.
3.6), â êîòîðîì èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåZZI = I1 + I2 ; I1 =(g(x) − LM g(x)) dx; I2 =LM g(x) dx,XXïðè÷åì èíòåãðàë I2 âû÷èñëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè, à äëÿ ïðèáëèæåíèÿ âåëè÷èíû I1 èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì 3.1. Ïðè ïðèìåíåíèè ïðèáëèæåíèÿ LM g(x) èç (5.20)ñ ìóëüòèëèíåéíûì áàçèñîì (5.23) àëãîðèòì âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè äàåò òîò æå ïîðÿäîê óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè ïî øàãó h ñåòêè X (M ) , ÷òî è àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè(ñì. ñîîòíîøåíèå (5.24)). Ïðè âû÷èñëåíèè âåëè÷èíû I2 ìîæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå ïðîñòûå ïëîòíîñòè (íàïðèìåð, ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â X ) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ, òàêæå áîëåå ïðîñòûå ïî ñðàâíåíèþ ñ àëãîðèòìîìâûáîðêè ïî âàæíîñòè.Êîìáèíàöèþ äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ êóáàòóðíûõ ôîðìóë ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àëãîðèòìû Í.Ñ.Áàõâàëîâà èç ðàçä.
3.9 è íåêîòîðûå ñëó÷àéíûå êóáàòóðíûåôîðìóëû ñì. ðàçä. 3.10. Ýëåìåíòû ïðèáëèæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âèäà(5.20) èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè äâóñòîðîííåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåòîäà èç ðàçä.3.11.5.3.5. Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèéâèäà L(M ) g(x) èç (5.20) èñïîëüçóþòñÿ òàêæå ïðè ðåàëèçàöèè äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ÷èñëåííûõ ïðîöåäóð ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ϕ(x), çàäàííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå:èíòåãðàëà ϕ1 (x), çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà (ñì. ñîîòíîøåíèå (5.10)), è ðåøåíèÿ ϕ2 (x)èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (5.12) [3].Ðàññìîòðèì àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè ϕ(x) = ϕ1 (x) ∨ ϕ2 (x) âèäà (5.20):ϕ(x) ≈ LM ϕ(x) =MXwm (ϕ)χm (x).(5.25)m=1Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé wm (ϕ) = ϕ(xm ).Ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ {ϕ(xm)}, èñïîëüçóÿ àëãîðèòìûìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñ ÷èñëàìè ðåàëèçàöèé {nm}:Àëãîðèòì 5.3.ϕ(xm ) ≈ Znm (xm ) =nm1 X(m)ζ .nm j=1 jÑòðîèì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ϕ(x):ϕ(x) ≈ LM ϕ̃(x) =MXZnm (xm ) χm (x).(5.26)m=1 àëãîðèòìå 5.3 â êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ LM ϕ(x) öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ ÑòðåíãàÔèêñà ñ áàçèñîì (5.23) (îñîáåííî âàæíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ ñì.
óòâåðæäåíèå 5.8).  òîì ñëó÷àå, êîãäàîöåíêà (5.26) ïîëó÷àåòñÿ ñîãëàñíî ìåòîäó çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (ò.å. â óçëàõ ñåòêèèñïîëüçóþòñÿ îäíè è òå æå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è îäíè è òå æå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ñîãëàñíî ýòèì ïëîòíîñòÿì), àëãîðèòì 5.3 ìîæíî íàçâàòü "ïðàêòè÷åñêîé"âåðñèåé àëãîðèòìîâ 5.1 è 5.2. Äëÿ ñõîäèìîñòè ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèéòðåáóåòñÿ îïðåäåëåííàÿ ãëàäêîñòü ôóíêöèè ϕ(x) (ñì. óòâåðæäåíèå 5.5).
Íà ïðàêòèêåýòî óñëîâèå ÷àñòî íå âûïîëíåíî, è ïîýòîìó â êà÷åñòâå îöåíîê {ζ (m) } âûáèðàþò íåçàâèñèìûå, ñëàáî çàâèñèìûå îöåíêè è ò.ï. (ñì. ïîäðàçä. 5.1.3, 5.3.7, à òàêæå [3]).5.3.6. Âåðîÿòíîñòíûå ïîäõîäû ê îöåíêå ïîãðåøíîñòåé äèñêðåòíî-ñòîõàñòè-Ïðè èçó÷åíèè ïîãðåøíîñòè δ (B) = ρB (ϕ, LM ϕ̃) àëãîðèòìà 5.3 âîçíèêàþò ïðîáëåìû âûáîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî íîðìèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà B , à òàêæå âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ñòðåìëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû δ (B) ê íóëþ÷åñêèõ ìåòîäîâ.ñ ðîñòîì ïàðàìåòðîâ M è n̄ = min(n1 , . .
. , nM ). Äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàçðàáîòàíû L2, â êîòîðîì ñòðîÿòñÿ âåðõíèå ãðàíèöû âåëè÷èíûZ1/2 !22(ϕ(x) − LM ϕ̃(x))2 dxEδ (L2 ) = E,ïîäõîä-X-ïîäõîäèC, â êîòîðîì âåëè÷èíà δ (C) = supx∈X |ϕ(x) − LM ϕ̃(x)| îãðàíè÷èâàåòñÿ ñâåðõóïî âåðîÿòíîñòè.  êàæäîì èç ýòèõ ïîäõîäîâ óäàåòñÿ ðàçáèòü ïîãðåøíîñòü íà äâà ñëàãàåìûõ è. Äëÿ L2 -ïîäõîäà, â ñèëóíåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è òåîðåìû Ôóáèíè (î ïåðåñòàíîâêå îïåðàöèé èíòåãðèðîâàíèÿ è âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ), èìååìZZ(L2 ) 222≤EEδ(ϕ(x) − LM ϕ̃(x)) dx × E1 =E(ϕ(x) − LM ϕ̃(x))2 dx.äåòåðìèíèðîâàííóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ êîìïîíåíòûXXÄàëåå çàìåòèì, ÷òî ELM ϕ̃(x) = LM ϕ(x) (ñì. ñîîòíîøåíèå (5.25)).
ÏîýòîìóE(ϕ(x) − LM ϕ̃(x))2 = (ϕ(x) − LM ϕ(x))2 + DLM ϕ̃(x) è(L )δ1 2Z=1/2(ϕ(x) − LM ϕ(x)) dx,2(L )δ2 2Eδ (L2 )22(L )(L )≤ δ1 2+ δ2 2 ;Z=DLM ϕ̃(x) dx.X(5.27)XÄëÿ C -ïîäõîäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, èìååì(C)δ (C) ≤ ρC (ϕ, LM ϕ) + ρC (LM ϕ, LM ϕ̃) = δ1(L )(C)+ δ2 .(5.28)(C)Ïåðâûå ñëàãàåìûå δ1 2 è δ1 èç ñîîòíîøåíèé (5.27), (5.28) ÿâëÿþòñÿ íåñëó÷àéíûìè (äåòåðìèíèðîâàííûìè) è îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó íà îñíîâàíèè àïïðîêñèìàöèîííûõ ñâîéñòâáàçèñà Ξ(M ) .
 ÷àñòíîñòè, ïðè èñïîëüçîâàíèè àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà ñ áàçèñîì(5.23) ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü óòâåðæäåíèå 5.7 è åãî îáîáùåííûé àíàëîã äëÿ ïðîñòðàíñòâÑ.Ë.Ñîáîëåâà W2r (X).(L )(C)Âòîðûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ñëàãàåìûå δ2 2 è δ2 èç ñîîòíîøåíèé (5.27), (5.28) îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ óñòîé÷èâîñòè áàçèñà Ξ(M ) (äëÿ àïïðîêñèìàöèèÑòðåíãàÔèêñà ýòî ñâîéñòâî îòðàæàåò óòâåðæäåíèå 5.8) è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Çäåñü âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, êàêèå îöåíêè {ζ (m) } âóçëàõ {xm } èñïîëüçóþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, åñëè â óçëàõ ñåòêè èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè ìå(L )(C)òîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé, òî ïðè ïîñòðîåíèè âåðõíèõ ãðàíèö äëÿ δ2 2 è δ2 ìîæíîèñïîëüçîâàòü óòâåðæäåíèå 5.5, òàê êàêHHPmax |Zn̄ (xm ) − ϕ(xm )| ≤ √≥ P sup |Zn̄ (x) − ϕ(x)| ≤ √.m=1,...,Mn̄n̄x∈XÄëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê â óçëàõ {ζ (m) } ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ðàññóæäåíèÿ èç ïîäðàçä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
