1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Êàê ïðàâèëî, ïåðåõîä x0 → xîñóùåñòâëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå âûáîðà ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé âñïîìîãàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ìîæåò áûòü, âåêòîðíûõ): t = (t1 , . . . , tm ) ∈ T , ò.å. ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå:Z0k(x , x) = k1 (x0 , t1 )k2 ((x0 , t1 ), t2 ) . . . km ((x0 , t1 , . . . , tm−1 ), tm ) δ(x − x(x0 , t)) dt.τÇäåñü x(x0 , t) - ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ íîâîå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíûõ åâêëèäîâûõ êîîðäèíàò ÷åðåç x0 è çíà÷åíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ t.Êàê ïðàâèëî, ïîñòðîåíèå âåñîâ {Qn } íåïîñðåäñòâåííî ïî ôîðìóëàìQ0 =f (x0 ),π(x0 )Qn = Qn−1k(xn−1 , xn )p(xn−1 , xn )äëÿ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ çàäà÷ îêàçûâàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì.
Äëÿïðåîäîëåíèÿ ýòîãî çàòðóäíåíèÿ öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè ê ìîäèôèöèðîâàííîìó ôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó T × X , òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòè (t, x). Ñîîòâåòñòâóþùåå ñóáñòîõàñòè÷åñêîå ÿäðî èìååò âèä:k((t0 , x0 ), (t, x)) = δ(x − x(x0 , t))mYi=1ki ((x0 , t1 , . . . , ti−1 ), ti ),(4.48)ïðè÷åì (x0 , t1 , t0 ) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê x0 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: K èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì (4.48); f (t, x) = f0 (t) × f (x), ãäå f0 (t) íåêîòîðàÿ ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòåé â T ; ϕt = Kϕt + f ; Ih = (ϕt , h); ϕ∗t = K∗ ϕ∗t + h.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèåðàâåíñòâà:Zϕ(x) =ϕt (t, x)dt,Ih = Ih ,ϕ∗t (t, x) ≡ ϕ∗ (x).TÏåðâîå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì ìîäèôèöèðîâàííîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïî t, âòîðîå ÷àñòè÷íûì èíòåãðèðîâàíèåì ïî t â èíòåãðàëå (ϕt , h),à òðåòüå âûòåêàåò èç âåðîÿòíîñòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (4.10) ôóíêöèè öåííîñòè ϕ∗ (x).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì ξt îïðåäåëÿþòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü p((t0 , x0 ), (t, x)) âèäà (4.48), íà÷àëüíàÿ ïëîòíîñòüπt (t, x) = f0 (t)π(x) è ñîîòâåòñòâóþùèå âåñà {Qn }, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ äîìíîæåíèåìíà âåñîâûå ìíîæèòåëè ïîñëå êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ïåðåõîäà. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé íåñìåùåííîñòè (4.8) (äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ïåðåõîäà) èìååì:Ih = Eξt , ãäå ξt =NXQn h(xn ),n=0ïðè÷åì Dξt < +∞, åñëè ρ(Kp ) < 1, ãäå Kp - èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîìkp ((t0 , x0 ), (t, x)) =k2 ((t0 , x0 ), (t, x)).p((t0 , x0 ), (t, x))Ââåäåì äëÿ i = 1, . .
. , m âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè öåííîñòè" m#ZZYkj ((x0 , t1 , . . . , tj−1 ), tj ) ϕ∗ (x) dti+1 . . . dtm dx,ϕ∗i (x0 , t1 , . . . , ti ) = . . . δ(x−x(x0 , t))j=i+1| {z }m−i+1(4.49)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéïîëàãàÿ m+1 ≡ 1. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òîóñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû ξt ïðè óñëîâèè, ÷òî òðàåêòîðèÿ öåïè íà÷èíàåòñÿ âî âñïîìîãàòåëüíîé òî÷êå (x0 , t1 , . . . , ti ).Òåîðåìà 4.15.
Ïóñòü h(x) ≥ 0. Åñëè äëÿ i = 2, . . . , m âûïîëíåíîQmϕ∗i (x0 , t1 , . . . , ti−1 , ti )pi ((x0 , t1 . . . . , ti−1 ), ti ) =p1 (x0 , t1 ) =ki ((x0 , t1 , . . . , ti−1 ), ti )ϕ∗i (x0 , t1 , . . . , ti−1 , ti ),ϕ∗i−1 (x0 , t1 , . . . , ti−2 , ti−1 )k1 (x0 , t1 )ϕ∗1 (x0 , t1 )ϕ∗ (x0 ) − h(x0 )èπ(x) =f (x)ϕ∗ (x),IhòîDξt = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Íîðìèðîâàííîñòü óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé pi (., .) çäåñü ñëåäóåò íåïî-ñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé öåííîñòè ϕ∗i (.).
Ïîäñòàâëÿÿ óêàçàííûå ïëîòíîñòèâ âûðàæåíèå äëÿ p(., .), óáåæäàåìñÿ, ÷òî òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåãîóòâåðæäåíèÿ îá îöåíêå ïî ñòîëêíîâåíèÿì ñ íóëåâîé äèñïåðñèåé.Îòìåòèì, ÷òî ìåíÿÿ ïîðÿäîê âûáîðà âåëè÷èí t1 , . . . , tm , ò. å. ñïîñîá ôàêòîðèçàöèèñóáñòîõàñòè÷åñêîãî ÿäðà, ìîæíî ñòðîèòü ðàçëè÷íûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ è íà èõîñíîâå âåñîâûå îöåíêè çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà Ih .  ÷àñòíîñòè, ìîæíî îñóùåñòâëÿòüñäâèã âäîëü öåïî÷êè ýëåìåíòàðíûõ ïåðåõîäîâ, ò.å.
ôèêñèðîâàòü ôàçîâîå ñîñòîÿíèå ïîñëå âûáîðà ti , i < m. Èíîãäà ýòî ìîæåò óïðîñòèòü âûðàæåíèå âñïîìîãàòåëüíîãî âåñà èïàðàìåòðè÷åñêèé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ. Êàê âèäíî èç ïîäðàçä. 4.10.2 èñïîëüçîâàíèå öåííîñòíûõ ïëîòíîñòåé âèäà (4.48) ëèøü äëÿ ÷àñòè âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ ìîæåòáûòü ìàëîýôôåêòèâíûì.4.11.3. Îïòèìèçàöèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïî ÷àñòè ïåðåìåííûõ. Çäåñü áóäóò èñïîëüçîâàíû äâå, âîîáùå ãîâîðÿ, âåêòîðíûå âñïîìîãàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû t1 , t2 ,ò. å. ÿäðî èìååò âèäk((t, x), (t0 , x0 )) = δ(x0 − x0 (x, t0 ))k1 (x, t01 )k2 ((x, t01 ), t02 ).Îïóñêàÿ âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå, ïðèìåì áîëåå ïðîñòûå îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûåâ òåîðèè âåñîâûõ îöåíîê: ξ, ξx , ϕ, ϕ∗ è ò.ä. Âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿZf 2 (x) 2∗2Eξx dx.Eξx = ϕ (x), Eξ =X π(x)Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó ðàâíîìåðíîé îòíîñèòåëüíî x ∈ X ìèíèìèçàöèè âåëè÷èíû Eξx2 . Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.15, èñïîëüçîâàíèå öåííîñòíûõ ïëîòíîñòåé äëÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ïåðåõîäîâ äàåò àáñîëþòíûé ìèíèìóì : Eξx2 = (ϕ∗ (x))2äëÿ âñåõ x ∈ X .
Ïðàêòè÷åñêè òàêàÿ ãëîáàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âåñüìàçàòðóäíèòåëüíà, ïîýòîìó âàæíî ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòü óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû Eξx2ïóòåì îïòèìàëüíîãî ïîäáîðà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòè âñïîìîãàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, t1 . Ðàññìîòðèì öåïü Ìàðêîâà ñ ñóáñòîõàñòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþïåðåõîäàp((t, x), (t0 , x0 )) = δ(x0 − x0 (x, t0 ))p1 (x, t01 )p2 ((x, t01 ), t02 ).Ïóñòü äîïîëíèòåëüíîZZ00k1 (x, t 1 )dt1 ≡p1 (x, t0 1 )dt01 ≡ 1 èZT1T1Òåîðåìà 4.16.T2k22 ((x, t01 ), t02 ) 0dt ≤ q < 1.p2 ((x, t01 ), t0 2 ) 2Óðàâíåíèåg(x) = h(x)[2ϕ∗ (x) − h(x)] +"Zk1 (x, t01 )T1k22 ((x, t01 ), t02 )g(x0 ) dt02p2 ((x, t01 ), t02 )ZT21/2#2dt01èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è ïëîòíîñòüp1 (x, t01 )=k1 (x, t01 )ZT2k22 ((x, t01 ), t02 )g(x0 ) dt0200p2 ((x, t1 ), t2 )1/2 , Zk1 (x, t01 )T1ZT2k22 ((x, t01 ), t02 )g(x0 ) dt0200p2 ((x, t1 ), t2 )1/2äàåò ðàâíîìåðíî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå Eξx2 ∈ Cb(X).ÃËÀÂÀ 5.
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ5.1. ÎÖÅÍÊÀ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÈÍÒÅÃÐÀËÎÂ5.1.1. Âûáîð îïòèìàëüíîé ïëîòíîñòè (ìåòîä âçâåøåííîé äèñïåðñèè). Ïóñòüòðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü M èíòåãðàëîâZIi = gi (x) dx;i = 1, . . . , M.(5.1)dt01Îïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòü f (x) (îäíà è òà æå äëÿ âñåõ i = 1, . . . , M ), è ïðèáëèæåíèåèíòåãðàëîâ (5.1) îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîìó àëãîðèòìó 3.1:Ii = Eζ(i)≈ζ̄n(i)n1 X gi (ξ j )=,n j=1 f (ξ j )ãäå ζ (i) =gi (ξ).f (ξ)(5.2)Ñëåäóÿ [1] è ïîäðàçä. 4.5.2, çàäàäèìñÿíåîòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè êîíñòàíòàìèPai (i = 1, . .
. , M ) òàêèìè, ÷òî Ma=1, è ïîäáåðåì ïëîòíîñòü f (x) èç (5.2) òàê, ÷òîáûi=1 iìèíèìèçèðîâàòü ñóììó!Z XMMMXXai gi2 (x)(i)dx −ai Ii2 ;(5.3)DM (a; f ) =ai Dζ (f ) =f (x)i=1i=1i=1çäåñü a = (a1 , . . . , aM ). Ìèíèìóì âûðàæåíèÿ (5.3) äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ìèíèìàëüíà âåëè÷èíà!!1/2Z XMM2X(x)ag1i i2EM(a; f ) =dx = Eη 2 , ãäå η =.ai gi2 (ξ)×f(x)f(ξ)i=1i=1Ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì óòâåðæäåíèÿ 3.1 (èíà÷å ãîâîðÿ, ñîãëàñíî ïðèíöèïó âû2áîðêè ïî âàæíîñòè) èìååì Dη = EM(a; f ) − I¯2 (a) ≥ 0 èëè2EM(a; f ) ≥ I¯2 (a),¯ =ãäå I(a)ZMX!1/2ai gi2 (x)dx.(5.4)i=1Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè äîñòèãàåòñÿ ïðè1f (x) = fopt (x; a) = ¯I(a)MX!1/2ai gi2 (x)è DM (a; fopt ) = I¯2 (a) −MXai Ii2 .(5.5)i=1i=1Êàê è äëÿ ñëó÷àÿ âûáîðêè ïî âàæíîñòè äëÿ îäíîãî èíòåãðàëà, èñïîëüçîâàíèå ïëîòíîñòè (5.5) çàòðóäíèòåëüíî. Âîçìîæíî êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèèfopt (x) ñ ïîñëåäóþùèì èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìîâ ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè (ñì.
ðàçäåëû5.3 è 1.6).5.1.2. Ìèíèìàêñíûé ïîäõîä. Ïîìèìî ìèíèìèçàöèè âçâåøåííîé äèñïåðñèè (5.3)ìîæíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó èç [2] î âûáîðå ïëîòíîñòè f (x) = f ∗ (x) èç (5.2), ïðè êîòîðîéäîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì âåëè÷èíû maxi=1,...,M Dζ (i) (f ) . Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 5.1 [2].ξi (F )FFaÏóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ñâÿçàííûå ñ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ èç íåêîòîðîãî êëàññà äîïóñòèìûõ ìîäåëåé, è ìîäåëü, íàêîòîðîé äîñòèãàåòñÿminFMXai Dξi (F ) = G̃M (a),0 ≤ ai < ∞,a = (a1 , .
. . , aM ),(5.6)i=1ïðè÷åì ôóíêöèè Dξi(Fa) äèôôåðåíöèðóåìû ïî aj (i, j = 1, . . . , M ) è G̃M (a) < ∞ äëÿëþáûõ a. Òîãäà minF maxi=1,...,M Dξi(F ) äîñòèãàåòñÿ íà Fa , ãäå a0 ðåøåíèå çàäà÷è0!MMXXmaxai Dξi (F )ai = 1 .ai=1i=1Ïðèìåíèì ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ çàäà÷è âûáîðà îïòèìàëüíîé ìèíèìàêñíîé ïëîòíîñòè f ∗ (x).
Ïî àíàëîãèè ñ (5.6) ââåäåì îáîçíà÷åíèåZGM (a) = min DM (a; f ) = DM (a; fopt ) = fMX2!1/2ai gi2 (x)MXdx −i=1ai Ii2 ,i=1ñì. ñîîòíîøåíèÿ (5.3) (5.5).Ïóñòü P0 = supi=1,...,M |gi(x)| dx < ∞. Òîãäà îïòèìàëüíàÿïëîòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì f ∗(x) = fopt(x; a∗) (ñì. ñîîòíîøåíèå (5.5)), ãäåa∗ òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè GM (a).RÓòâåðæäåíèå 5.2.Ôóíêöèÿ GM (a) êîíå÷íà äëÿ âñåõ a, ò.ê. GM (a) ≤ 2P02 . Òåïåðüóáåäèìñÿ â äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïî aj ôóíêöèéÄîêàçàòåëüñòâî.¯Dζ (fopt (x; a)) = I(a)Ri (a) −(i)Ii2 ,ãäå Ri (a) =Zgi2 (x)MX!−1/2ai gi2 (x)dx,i=1ñì. ñîîòíîøåíèÿ (5.4), (5.5).
Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ ïî aj îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ⯠, ïîëó÷èìI(a)!−1/2ZMX1Rj (a)I¯(j) (a) =.gj2 (x)ai gi2 (x)dx =22i=1Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â I¯(j) (a) ìîíîòîííà ïî aj ïðè aj ≥ 0, ïîýòîìó ïðîâåäåííîå¯ 0 = I¯(j) (a). Àíàëîãè÷äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà äîïóñòèìî, ò.å. [I(a)]ajíî îáîñíîâûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè Ri (a). Òàêèì îáðàçîì, âñå óñëîâèÿóòâåðæäåíèÿ 5.1 âûïîëíåíû è, ñëåäîâàòåëüíî, f ∗ (x) = fopt (x; a∗ ).Ïðè âû÷èñëåíèè äâóõ èíòåãðàëîâ I1 è I2 îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé g1 (x) è g2 (x)öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü ïëîòíîñòü f0 (x) = (g1 (x) + g2 (x))/(I1 + I2 ).
Ïîñêîëüêó ζ (2) =(ζ (1) +ζ (2) )−ζ (1) è D(ζ (1) (f0 )+ζ (2) (f0 )) = 0, òî Dζ (1) (f0 ) = Dζ (2) (f0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëèg1 (x)g2 (x) = 0, òî f ∗ (x) = f0 (x), òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå g12 (x) + g22 (x) = (g1 (x) + g2 (x))2 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f0 (x) îïòèìàëüíà, åñëè g1 (x) ≡ g2 (x). Ïîýòîìó ìîæíî îæèäàòü, ÷òîïëîòíîñòü f0 (x) äàåò õîðîøèé ðåçóëüòàò â øèðîêîì êëàññå ñëó÷àåâ.5.1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
