1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ôóíêöèÿ kEξ(λ)k ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà ïî λ âïëîòü äî +∞è â ñèëó óñëîâèÿ (4.28) kEξ(λ)k < +∞ äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ λ > 0. Ïîýòîìó, åñëèkEξk = +∞, òî íàéäåòñÿ òàêîå λ < 1, ÷òî kϕk < kEξ(λ)k < +∞. Îäíàêî ïðè ýòîìEξ(λ) = ϕλ , à kϕλ k ≤ kϕk âñëåäñòâèå ìîíîòîííîé çàâèñèìîñòè ϕλ îò λ. Ïîëó÷åííîåïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó 4.8.Äàííàÿ òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé õîðîøî èçâåñòíûé ôàêò, íî èíòåðåñíà òåì, ÷òîâ íåé ïî ñóùåñòâó èñïîëüçóåòñÿ ëèøü ðåêóððåíòíûé õàðàêòåð îöåíêè è íå ïðîâîäÿòñÿãðîìîçäêèå âûêëàäêè, ñâÿçàííûå ñ äåòàëèçàöèåé ðÿäà Íåéìàíà è ïðåäâàðèòåëüíûìîñðåäíåíèåì ïîëíîãî âûðàæåíèÿ ξ ïî ïîãëîùåíèþ-âûæèâàíèþ (ñì.
ðàçäåë 4.3).Òåîðåìà 4.8 î÷åâèäíûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà çíàêîïåðåìåííûé ñëó÷àé, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ρ(K1 ) < 1, ãäå K1 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì |k(x, x0 )|, òàê(1)(1)êàê â ýòîì ñëó÷àå èìååì |ξ0 | ≤ ξ0 = |h0 | + |q(x0 , x1 )| ξ1 , ò. å. |Eξ| < C < +∞, è ïðÿìîåîñðåäíåíèå ñîîòíîøåíèÿ (4.25) äàåò íåñìåùåííîñòü ξ .Äèñïåðñèÿ Dξ = Eξ 2 −ϕ2 îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé Eξ 2 , êîòîðàÿ ñóùåñòâåííî çàâèñèòîò âûáîðà ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x, x0 ). Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèåÅñëè, òî ðåêóðñèÿ,,è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿîïðåäåëÿåò íåñìåùåííóþ îöåíêó .ξ02 = h20 + 2h0 q(x0 , x1 )ξ1 + q 2 (x0 , x1 )ξ12 .(4.29)Èç (4.29) ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòóþ ðåêóðñèþ, åñëè ñëàãàåìîå 2h0 q(x0 , x1 )ξ1 çàìåíèòü íà ñîîòâåòñòâóþùåå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåE[2h0 q(x0 , x1 )ξ1 ] = 2h0 [Kϕ]0 = 2h0 (ϕ0 − h0 ).Ïîêàæåì, ÷òî òàêàÿ çàìåíà íå èçìåíÿåò âåëè÷èíó ñðåäíåãî êâàäðàòà.
Ðàññìàòðèâàÿ(4.29) êàê ðåêóðñèþ äëÿ ξ 2 è ïðîäëåâàÿ åå äî êîíöà òðàåêòîðèè, ïîëó÷àåì âûðàæåíèåξ02=∞XQ2n [h2n + 2hn q(xn , xn+1 )ξn+1 ],n=0ïðè îñðåäíåíèè êîòîðîãî, î÷åâèäíî, ìîæíî âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ çàìåíèòüíà åãî óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè xn , ò. å. íàâåëè÷èíó hn (2ϕn − hn ). Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèòåëüíî, Eξ 2 = Eζ 2 , ïðè÷åìζ02 = h0 (2ϕ0 − h0 ) + q 2 (x0 , x1 )ζ12 .(4.30)Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 4.8 è ρ(Kp ) < 1 (çäåñü Kp èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k 2 (x, x0 )/p(x, x0 )), òî ôóíêöèÿ ψ ≡ Eξ 2 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìψ = h(2ϕ − h) + Kp ψ,(4.31)êîòîðîå âïåðâûå áûëî ïîëó÷åíî àìåðèêàíñêèì ìàòåìàòèêîì Êåðòèññîì ïðè ïîñòðîåíèè ìåòîäîâ ÌîíòåÊàðëî äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Íåòðóäíîïîêàçàòü, ÷òî kK1 k2 < kKp k, ïîýòîìó (4.31) ñïðàâåäëèâî ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ è âçíàêîïåðåìåííîì ñëó÷àå.
Äëÿ çíàêîïîñòîÿííîãî ñëó÷àÿ íàèáîëåå îáùèé ðåçóëüòàò ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ íåñìåùåííîé îöåíêè ξ áåçîòíîñèòåëüíî óñëîâèÿ ρ(Kp ) < 1 âåëè÷èíàEξ 2 îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.31) (ñì. ðàçäåë 4.4). çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà ïðèêëàäíûõ çàäà÷, íàïðèìåð òåîðèè ïåðåíîñà(f, ϕ) =R ∗èçëó÷åíèÿ, íåîáõîäèìî îöåíèâàòü ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû âèäà∗∗(ϕ , h) = X ϕ (x)h(x) dx (ýòî àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (4.4)).
Çäåñü f ∈ L1 , a ϕ ðåøåíèåñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + f ; â òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (è â ðàçäåëàõ4.14.3) ýòî óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îñíîâíîå (ñì. ñîîòíîøåíèå (4.1)). Ïóñòüïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè π(x) òàêîâà, ÷òî π(x) 6= 0 ïðè f (x)ϕ(x) 6= 0, è òî÷êà x ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ π(x). Òîãäà(f, ϕ) = Eζ,NXf (x0 )f (x0 )ξ0 =Qn h(xn ), ãäå Q0 =.ζ=π(x0 )π(x)0m=0Òàêèì îáðàçîì, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ ζ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì ñòàíäàðòíîé îöåíêèïî ñòîëêíîâåíèÿì (4.7) äëÿ âåëè÷èíû (ϕ∗ , h). Ìèíèìèçàöèÿ äèñïåðñèè òàêîé îöåíêèñîãëàñíî ïðèíöèïà Áåëëìàíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: îïðåäåëÿþòñÿ (êàêóêàçàíî âûøå) îïòèìàëüíûé âàðèàíò ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x, x0 ) è ñîîòâåòñòâóþùàÿôóíêöèÿ ψ ≡Eξ 2 ; îïòèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü π(x) çàòåì íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå π(x) =R|f (x)| ψ 1/2 (x) X f (x)ψ 1/2 (x) dx.4.6.2.
Èñïîëüçîâàíèå âåòâÿùèõñÿ öåïåé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ïîñòðîåíèÿîñíîâíîé íåñìåùåííîé îöåíêè ξ ïðè ðåøåíèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé öåëåñîîáðàçíîèñïîëüçîâàòü öåïè Ìàðêîâà ñ âåòâëåíèåì. Ýòî ïðåæäå âñåãî îòíîñèòñÿ ê èíòåãðàëüíûìóðàâíåíèÿì, îïèñûâàþùèì ïåðåíîñ ÷àñòèö ñ ðàçìíîæåíèåì. Êðîìå òîãî, ðàñùåïëåíèåòðàåêòîðèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè è òðóäîåìêîñòè îöåíêè ïîñòîëêíîâåíèÿì.Ïðåäñòàâèì ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4.22) è ïåðåõîäíóþ ïëîòíîñòü p(x, x0 )ñëåäóþùèì îáðàçîì:0k(x, x ) =mXi=000pi (x)ki (x, x )νi (x ),0p(x, x ) =mXi=00pi (x)pi (x, x ),pi (x) ≥ 0,mXi=0pi (x) ≡ 1,ãäå pi (x, x0 ) ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè. Çäåñü νi (x0 ) öåëî÷èñëåííàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé äîïóñêàåòñÿ è íóëåâîå çíà÷åíèå, îçíà÷àþùåå îáðûâ òðàåêòîðèè â òî÷êå x0 .
Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäà ñ âåòâëåíèåì îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñîîòâåòñòâåííîâåðîÿòíîñòÿì {pi (x)} âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûé íîìåð i ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè pi (x, x0 ), ìîäåëèðóåòñÿ ïåðåõîä x → x0 , âåñ äîìíîæàåòñÿ íà âåëè÷èíó qi (x, x0 ) = ki (x, x0 )/pi (x, x0 ) èäàëåå ñòðîÿòñÿ νi (x0 ) íåçàâèñèìûõ òðàåêòîðèé èç òî÷êè x0 ñ ïîëó÷åííûì íà÷àëüíûìâåñîì. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåêóððåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ξ èìååò âèäνi (x0 )0ξ0 = h0 + qi (x, x )X(k)ξ1 .k=1 äàííîì ñëó÷àå ïðèâåäåííîå â ïîäðàçä.
4.6.1 îáîñíîâàíèå íåñìåùåííîñòè (ò. å. ñîîòíîøåíèå Eξ ≡ ϕ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ îñîáåííî öåëåñîîáðàçíûì, òàê êàê ïîëíàÿ çàïèñü èïðÿìîå îñðåäíåíèå îöåíêè ξ åùå áîëåå ãðîìîçäêè, ÷åì â ñëó÷àå áåç âåòâëåíèÿ. Ïóòåì îñðåäíåíèÿ ðåêóððåíòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ξ 2 ïî àíàëîãèè ñ ïîäðàçä.
4.6.1 äëÿôóíêöèè ψ ≡ Eξ 2 ïîëó÷àåìψ(x) = h(x)[2ϕ(x) − h(x)] +Z Xmi=1pi (x)ki2 (x, x0 )νi (x0 )[νi (x0 ) − 1] 2 0ϕ (x ) dx0 +pi (x, x0 )Z Xmpi (x)ki2 (x, x0 )νi (x0 )+ψ(x0 ) dx.0pi (x, x )i=1Êàê â ïîäðàçä. 4.6.1, êðîìå óñëîâèÿ ρ(K1 ) < 1 çäåñü äîïîëíèòåëüíî òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ρ(Kp ) < 1, ãäå Kp îïåðàòîð ñ ÿäðîìmXk 2 (x, x0 )νi (x0 )ii=1pi (x, x0 ).(4.32)Âûðàæåíèå (4.32) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ çàäà÷è ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ôóíêöèîíàëüíûìèýëåìåíòàìè ïðè pi (x, x0 ) ≡ ki (x, x0 ) îïåðàòîð Kp ñîâïàäàåò ñ K .
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëèρ(K) < 1, òî äèñïåðñèÿ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ò. å. îöåíêè ñ Qn ≡ 1) êîíå÷íà. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà ïåðåíîñà ÷àñòèö ñ âåòâëåíèåì ñîîòíîøåíèå ρ(K) < 1îçíà÷àåòñèñòåìû. Äëÿ ïîäêðèòè÷íîé ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿåòñÿêîíå÷íûì ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.22), åñëèâ êà÷åñòâå h(x) ðàññìàòðèâàòü âåðîÿòíîñòü ãèáåëè ÷àñòèöû â òî÷êå x.4.6.3.
Âåñîâûå îöåíêè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âèäàZϕ(x) =k(x, x0 )ϕn (x0 ) dx0 + h(x) èëè ϕ = Kϕn + h.(4.33)ïîäêðèòè÷íîñòüXÝòî óðàâíåíèå áóäåì ðàññìàòðèâàòü â L∞ (X). Ðàññìîòðèì òàêæå ïàðàìåòðèçîâàííîåóðàâíåíèåϕλ = λKϕnλ + h, λ ≥ 0.(4.34)Âíà÷àëå âñå ýëåìåíòû çàäà÷è áóäåì ïîëàãàòü íåîòðèöàòåëüíûìè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîâûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåqn = nλkKk < 1,(4.35)è äëÿ λ = λ0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ϕλ0 òàêîå, ÷òî kϕλ0 k < 1. Ïðè ýòîì äëÿ λ ≤ λ0ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.33), óäîâëåòâîðÿþùåå äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ kϕλ k < 1, åäèí(1)(2)ñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì ÷òî ñóùåñòâóþò äâà òàêèõ ðåøåíèÿ: ϕλ è ϕλ . Òîãäàâûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå"#n−1 Xk (n−1−k)hi(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)ϕλ − ϕλ = λK ϕλ − ϕλϕλϕλ= Kϕ ϕ λ − ϕ λ .k=0Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óñëîâèè (4.35) èìååì kKϕ k < 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî áûòü(1)(2)ϕλ ≡ ϕλ . Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå ϕλ ñóùåñòâóåò è ìîíîòîííî ðàñòåò ïî λïðè λ ≤ λ0 .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè λ1 < λ ≤ λ0 , òî λ1 Kϕnλ2 + h ≤ ϕλ2 . Òàêèì îáðàçîì,íà÷èíàþùèåñÿ ñ ϕ0 ≡ ϕλ2 èòåðàöèè óðàâíåíèÿ (4.33), ìîíîòîííî óáûâàÿ, ñõîäÿòñÿ êðåøåíèþ äëÿ λ = λ1 è ϕλ1 ≤ ϕλ2 .Îòìåòèì, ÷òî âïåðâûå àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ðåøåíèÿ (4.33) â íåñêîëüêî áîëåå îáùåì âèäå áûëè ïîñòðîåíû Ñ.Ì. Åðìàêîâûì [5] íà îñíîâå ñâÿçè ìåæäó èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñî ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ è âåòâÿùèìèñÿ öåïÿìè. Ýòèöåïè ñòðîÿòñÿ òàê æå, êàê â ïîäðàçä. 4.6.1 (ò.
å. ïðè n = 1), ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî ïîñëåî÷åðåäíîãî ïåðåõîäà x → x0 èç òî÷êè x0 ñòðîÿòñÿ n íåçàâèñèìûõ òðàåêòîðèé ñ âåñîì,ïðåäâàðèòåëüíî äîìíîæåííûì íà âåñîâîé ìíîæèòåëü, êîòîðûé çäåñü òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü îãðàíè÷åííûì:k(x, x0 )≤ c < +∞.(4.36)q(x, x0 ) =p(x, x0 )Îñíîâíóþ îöåíêó çäåñü ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùåé ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé:ξ0 = h0 + q(x0 , x1 )nY(k)ξ1 ,(4.37)k=1(k)ãäå {ξ1 } íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèÿ îöåíêè, ñîîòâåòñòâóþùèå óêàçàííûìâûøå òðàåêòîðèÿì, íà÷èíàþùèìñÿ â òî÷êå x0 .
Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â êîíöå ïîäðàçä.4.6.3 óñëîâèå (4.35) îáåñïå÷èâàåò îáðûâ âåòâÿùåéñÿ òðàåêòîðèè ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà(è äàæå êîíå÷íîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà âåòâåé, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿ êîíå÷íîñòè òðóäîåìêîñòè) è òåì ñàìûì âîçìîæíîñòü ïðîäëåíèÿ ðåêóðñèè (4.37) äî êîíöà òðàåêòîðèè. Êðîìåòîãî, äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé λ âåëè÷èíà kEξk òàêæå ìàëà, ââèäó òîãî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèèíåðàâåíñòâà n λ < 1, î÷åâèäíî, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå ξλ ≤ khk/(1 − λn).Òåîðåìà 4.9.k(x, x0 ) ≥ 0 h(x) ≥ 0 λ0 ≥ 1(4.24),(4.35), (4.36)(4.37)ξEξ ≡ ϕ kϕk < 1Äîêàçàòåëüñòâî.
Êàê è äëÿ n = 1 ïðÿìîå îñðåäíåíèå ñîîòíîøåíèÿ (4.37) ïðè n > 1äàåò óðàâíåíèå (4.33). Ïîýòîìó ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà kEξk < 1 óòâåðæäåíèåòåîðåìû âûïîëíÿåòñÿ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî kEξk ≥ 1. Îòìå÷åííûå â ïîäðàçä.4.6.1 ñâîéñòâà ôóíêöèè kEξ(λ)k, î÷åâèäíî, èìåþò ìåñòî è ïðè n > 1. Ïîýòîìó íàéäåòñÿòàêîå λ < 1, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî kϕk < kEξ(λ)k ≤ 1. Ïðè ýòîì äîëæíî áûòüEξ(λ) ≡ ϕλ è kϕλ k ≤ kϕk, ïîñêîëüêó λ < 1. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåòòåîðåìó.Ñ.Ì. Åðìàêîâûì [5] íåñìåùåííîñòü ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè ïîêàçàíà ïðè áîëåå îáùåì ïðåäïîëîæåíèè î ñõîäèìîñòè èòåðàöèé äëÿ óðàâíåíèÿ (4.33), ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
