1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 40
Текст из файла (страница 40)
å. ðàññìàòðèâàåòñÿîöåíêà èòåðàöèîííîãî ðåøåíèÿ. Ïðè ýòîì áûëî èñïîëüçîâàíî ãðîìîçäêîå ïðåäñòàâëåíèåîöåíêè â öåëîì è, ôàêòè÷åñêè, âûðàæåíèå ðÿäà Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.33). Çàìåòèì, ÷òî îöåíêó ξ çäåñü ìîæíî ðåàëèçîâàòü ÷èñëåííî, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ õîðîøîèçâåñòíîé ëåêñèêîãðàôè÷åñêîé ñõåìû.Åñëè, òî ðåêóðñèÿ,,è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿîïðåäåëÿåò îöåíêó òàêóþ, ÷òîè.Ïðÿìîå îñðåäíåíèå (ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì n = 1) ðåêóððåíòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿâåëè÷èíû ξ 2 èç (4.37) äàåò çäåñü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ ψ ≡ Eξ 2 :ψ = h(2ϕ − h) + Kp ψ n ,(4.38)ãäå, êàê è â ïîäðàçä. 4.6.2, Kp èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k 2 (x, x0 )/p(x, x0 ).Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè Eξ 2 ìîæíî ïîëó÷èòü óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå òåîðåìå 4.9, åñëè äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (4.35) ñ çàìåíîéK → Kp , ϕ → ψ è âñå ðàññóæäåíèÿ ñâÿçàòü ñ óðàâíåíèåì (4.38).Ïåðåõîä ê çíàêîïåðåìåííîìó ñëó÷àþ, ïî àíàëîãèè ñ âàðèàíòîì n = 1 (ñì.
ïîäðàçä.4.6.2), îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âñå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïðåäâàðèòåëüíî äëÿ âàðèàíòà ñ ÿäðîì |k(x, x0 )| è ñâîáîäíûì ýëåìåíòîì |h(x)|. Ýòî äàåò ìàæîðàíòóäëÿ ξ , ñ èñïîëüçîâàíèåì êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ îñðåäíåíèå ðåêóðñèè (4.37).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ôóíêöèÿ Eξ , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (4.33), òàêàÿ, ÷òî kEξk < 1,ò. å. òðåáóåìîå ðåøåíèå. Àíàëîãè÷íî ïðîâîäÿòñÿ ðàññóæäåíèÿ äëÿ Eξ 2 .4.7.
ÐÀÍÄÎÌÈÇÀÖÈßÄàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàíäîìèçèðîâàííûå îöåíêè âåðîÿòíîñòíûõ ìîìåíòîâ ðåøåíèé çàäà÷ ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè.Ïóñòü óðàâíåíèå Lφ = f ðåøàåòñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî íà îñíîâå ìîäåëèðîâàíèÿíåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ òðàåêòîðèÿìè ω . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξk (ω) ñòðîÿòñÿ òàê, ÷òî Eω ξk (ω) = Jk , k = 1, 2, . . . , m, ãäå Jk îöåíèâàåìûåôóíêöèîíàëû îò φ.Ïóñòü îïåðàòîð L è ôóíêöèÿ f çàâèñÿò îò ñëó÷àéíîãî ïîëÿ σ (íàïðèìåð, ñëó÷àéíàÿñðåäà â òåîðèè ïåðåíîñà, ñëó÷àéíàÿ ñèëà â òåîðèè óïðóãîñòè è ò. ä.).
Òîãäà4.7.1. Ìåòîä äâîéíîé ðàíäîìèçàöèè.ξk = ξk (ω, σ),Jk = Jk (σ), Eω [ξk (ω, σ)|σ] = Jk (σ),ãäå òðàåêòîðèè ω è σ , âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèìû. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè âåëè÷èíJk = Eσ Jk (σ),Rkj = Eσ [Jk (σ)Jj (σ)],k, j = 1, . . . , m.Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä äâîéíîé ðàíäîìèçàöèè,êîòîðûé ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñëåäóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé:Eσ Jk (σ) = Eσ Eω ξk (ω, σ) = E(ω,σ) ξk (ω, σ),Eσ [Jk (σ)Jj (σ)] = E(ω1 ,ω2 ,σ) [ξk (ω1 , σ)ξj (ω2 , σ)],(4.39)ãäå ω1 è ω2 óñëîâíî-íåçàâèñèìûå òðàåêòîðèè, ìîäåëèðóåìûå äëÿ îäíîé ðåàëèçàöèèσ , à èíäåêñ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå.
ßñíî, ÷òî íàäî ïðåäïîëîæèòü ñóùåñòâîâàíèå ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî â (4.39), ò. å. E(ω,σ) |ξk (ω, σ)| < +∞ è E(ω1 ,ω2 ,σ) [|ξk (ω1 , σ)ξj (ω2 , σ)|] < +∞.Ñîîòíîøåíèÿ (4.39) ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ îöåíêè Jk äîñòàòî÷íî ñòðîèòü òîëüêî îäíóòðàåêòîðèþ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî σ , à îöåíêà âåëè÷èíû Rkj òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ äâóõóñëîâíî-íåçàâèñèìûõ òðàåêòîðèé. Äëÿ îïòèìèçàöèè òàêîãî àëãîðèòìà åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ (ñì.
ðàçäåë 3.5).4.7.2. Ðàíäîìèçàöèÿ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì.  êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿèñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû (4.39), ìîæíî ðàññìîòðåòü ðàíäîìèçàöèþ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì (4.7). Ïóñòü ek(xn−1 , xn ), fe0 , ehn íåçàâèñèìûå íåñìåùåííûå îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí k(xn−1 , xn ), f (x0 ), h(xn ) (íàïðèìåð ñëó÷àéíûå îöåíêè èíòåãðàëîâ,en íåñìåùåííûå îöåíêè âåñîâ Qn , K 0 èíòåãðàëüíûéâûðàæàþùèõ ýòè âåëè÷èíû), Q1îïåðàòîð ñ ÿäðîì Eσ |k(x0 , x)|.
Åñëè ρ(K10 ) < 1, Eσ |eh| ∈ L∞ , Eσ |fe| ∈ L1 , òî (ñì. ïîäðàçä.4.3.1)NXeee neIh = (ϕ, h) = Eω ξ, ãäå ξ =Qhn .n=0Êðîìå òîãî, Eσ ξe2 = (χ, h[2ϕ∗ − h]) + (χ, Deh), ãäå Deh = D(ω,σ) h̃(ω, σ) è χ ðÿä Íåéìàíàäëÿ óðàâíåíèÿ0Zχ (x) =XEσ eEσ fe2 (x)k 2 (x0 , x) 0 00χ(x)dx+èëè χ0 = Kp0 χ0 + Eσ (fe2 /π),p(x0 , x)π(x)åñëè ρ(Kp0 ) < 1, Eσ fe2 /π ∈ L1 . Åñëè ðàíäîìèçèðóåòÿ ëèøü h(x), òî Dξe = Dω ξ + (χ, Deh),ãäå χ îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê â ïîäðàçä.
4.4. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç ñîîòíîøåíèÿρ(Kp0 ) < 1 ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå ρ(K10 ) < 1.4.8. ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈÐàññìîòðèì â L∞ ñèñòåìó âèäàϕi = hi +iXKij ϕj ,i = 1, . . . , m,(4.40)j=1Rãäå Kij èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì kij (x, x0 ): [Kij ϕ](x) = X kij (x, x0 )ϕ(x0 ) dx0 . Âîïåðàòîðíîé ôîðìå ñèñòåìà (4.40) åñòü Φ = H + KΦ. Çäåñü kΦkL∞ = vrai supi,x |ϕi (x)|.Òåîðåìà 4.10.Kijρ(K) ≤ maxi ρ(Kii ) = ρ0kij (x, x0 ) ≥ 0ρ(K) = ρ0Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìóÅñëè æåÅñëè îãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû, òî, òî.ϕi = hi + λiXKij ϕj ,.i = 1, . . . , m.j=1Ýòà ñèñòåìà îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà, åñëè 0 < λ < ρ−10 . Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(K) < ρ0 . Åñëè0nnkij (x, x ) ≥ 0, òî sup kKii k < kK k è ρ0 ≤ ρ(K).Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 4.10 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîé îöåíêè ðåøåíèÿ ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Φ =KΦ + H îïðåäåëÿåòñÿ îáðûâàþùàÿñÿ öåïü Ìàðêîâà x = x0 , x1 , . .
. , xN ñ ïåðåõîäíîéïëîòíîñòüþ p(x, x0 ), îòëè÷íîé îò íóëÿ íà íîñèòåëå ìàòðè÷íîãî ÿäðà K(x, x0 ), ò. å. íàîáúåäèíåíèè íîñèòåëåé ÿäåð kij (x, x0 ).Ââîäèòñÿ òàêæå ñëó÷àéíûé ìàòðè÷íûå âåñàe0 = {δij }, Qen = Qen−1 K(xn−1 , xn )/p(xn−1 , xn ),Qn = 1, 2, . . . ,ãäå δij ñèìâîë Êðîíåêåðà. Ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè ρ(K1 ) < 1 (ãäå K1 îïåðàòîð,ïîëó÷àåìûé èç K çàìåíîé ÿäåð kij íà èõ ìîäóëè) èìååìEξx = Φ(x),ξx =NXn=0en H(xn ).QÄëÿ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû Ψ(x) = E[ξx , ξxT ] (çäåñü T çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ) ñïðàâåäëèâî ìàòðè÷íî-èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåZK(x, x0 )Ψ(x0 )K T (x, x0 ) 0TTTΨ(x) = [HΨ +ΨH −HH ]x +dx èëè Ψ = µ+Kp Ψ, (4.41)p(x, x0 )êîòîðîå íåòðóäíî ïîëó÷èòü ïðè óñëîâèè, ÷òî ñõîäèòñÿ ðÿä Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿΨ = µ1 + Kp,1 Ψ, ãäå ìàòðè÷íî-èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Kp,1 è ôóíêöèÿ µ1 ñîîòâåòñòâóåòçàäà÷å ñ ìîäóëÿìè ôóíêöèîíàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Kp,ij èíòåãðàëü2íûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì kij(x, x0 )/p(x, x0 ).Òåîðåìà 4.11.Kp,ii(4.40)Åñëè îãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû, òî äëÿ ñèñòåìû(p)ρ(Kp ) ≤ max ρ(Kp,ii ) = ρ0 .iÅñëè äîïîëíèòåëüíî kij ≥ 0, òî ρ(Kp) = ρ(p)0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóòåì ïåðåíóìåðàöèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ψ(x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü (4.41) êàê òðåóãîëüíóþ ñèñòåìó ñ îïåðàòîðàìè Kp,ii íà äèàãîíàëè. Êðîìå òîãî,íåðàâåíñòâî kKp,ij k2 ≤ kKp,ii k kKp,jj k èìååò ìåñòî.Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ôóíêöèîíàëîâ âèäàZI = (F, Φ) = F T (x)Φ(x) dx, ãäå F T (x) = (f1 (x), . . .
, fm (x)),P Rïðè÷åì kF kL1 = j |fj (x)| dx < +∞. Ïóñòü òî÷êà x0 ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ π(x)òàêîé, ÷òî π(x) 6= 0, åñëè F T (x)Φ(x) 6= 0. Òîãäà, î÷åâèäíî,NNXXF T (x0 )F T (x0 ) ee0n F (x0 ) .ξx0 = EQn H(xn ) = EH T (xn )QI=Eπ(x0 )π(x0 )π(x0 )n=0n=0(v)e0 F (x0 )/π(x0 ) âû÷èñëÿåòñÿ íà îñíîâå ôîðìóëû Q(v)Ñëó÷àéíûé âåêòîðíûé âåñ Qn = Qn =n T (v)TK (xn−1 , xn )/p(xn−1 , xn ) Qn−1 . Ïîëàãàÿ ζ = F (x0 )ξx0 /π(x0 ), èìååìE ζ 2 = E F T (x0 )ξx0 ξxT0 (x0 )F (x0 )/π 2 (x0 ) .Ñëåäîâàòåëüíî, äèñïåðñèÿ ζ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé Ψ(x) = E[ξx ξxT ], î êîòîðîé ðå÷ü øëà âûøå. Âñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèÿ!2Zm.XE F T (x0 )Ψ(x0 )F (x0 )/π 2 (x0 ) ≤kΨkL∞|fi (x)|π(x) dxXi=1äëÿ êîíå÷íîñòè Eξ 2 , â äîïîëíåíèå ê óñëîâèþ òåîðåìû 4.11, íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü,÷òî!2Zm.X|fi (x)|π(x) dx < +∞.Xi=14.9.
ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ4.9.1. Äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé è îöåíîê.Ðàññìîòðèì â L∞ (X) èíòå-ãðàëüíîå óðàâíåíèå ñ ÿäðîì, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðà λ:Zϕ(x, λ) =k(x, x0 , λ)ϕ(x0 , λ) dx0 + h(x, λ) èëè ϕ = Kϕ + h.(4.42)XÕîòÿ èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â (4.42) èìååò ñîïðÿæåííûé âèä, îí îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì K (äëÿ ïðîñòîòû).  óðàâíåíèè (4.42) X l-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõϕ(n) (x, λ) =∂ n ϕ(x, λ),∂λnn = 0, 1, . . .
, m.Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: K (n) èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k (n) (x, x0 , λ);ρ(K) ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ îïåðàòîðà K . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè k (n) è h(n)èçìåðèìû ïî x. Ïóòåì ôîðìàëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (4.42) n ðàç ïî λïîëó÷àåì òðåóãîëüíóþ ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèéϕ(n)=nXCni K (n−i) ϕ(i) + h(n) ,n = 0, 1, . . .
, m,(4.43)i=0èëè, â îïåðàòîðíîé ôîðìå, Φ = KΦ+H . Äàëåå äàåòñÿ îáîñíîâàíèå èñïîëüçîâàíèÿ (4.43)äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ϕ(n) .Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: Fm (f ) âåêòîð-ñòîëáåö, ñîñòîÿùèé èç ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèéf (λ) ïî λ, ò. å. Fm (f ) = (f, f (1) , . . . , f (m) )T ; Dm (f ) = dni íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ (m + 1)ìåðíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè dni = Cnn−i f (n−i) , ãäå i = 0, 1, . . .
, n è n = 0, . . . , m. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ëåéáíèöà äëÿ m-êðàòíîé ïðîèçâîäíîé îò ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé,ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèåËåììà 4.4.Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:FmkY!fi= Dm (fk ) × . . . × Dm (f1 )Fm (f0 ).i=0Òåîðåìà 4.12.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâà|k (n) (x, x0 ; λ0 )| ≤ kn (x, x0 ),|h(n) (x, λ)| ≤ h0 (x),h0 ∈ L∞(4.44)âûïîëíÿþòñÿ ïðè λ − ε ≤ λ0 ≤ λ + ε äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0, èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðûKn ñ ÿäðàìè kn (x, x0 ) îãðàíè÷åíû, n = 0, .
. . , m, è ρ(K0 ) < 1. Òîãäà ρ(K) < 1 è ôóíêöèèϕ(n) , n = 0, 1, . . . , m, óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (4.43).Âñëåäñòâèå òåîðåìû 4.10 ñîîòíîøåíèå ρ(K) ≤ ρ(K0 ) = ρ0 < 1âûïîëíÿåòñÿ â èíòåðâàëå (λ − ε, λ + ε). Ïî ëåììå 4.4 ðÿä Íåéìàíà, ñîîòâåòñòâóþùèéñèñòåìå óðàâíåíèé (4.43), ñîâïàäàåò ñ ðÿäîì, ïîëó÷àåìûì ôîðìàëüíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.42). Âñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèÿ (4.44) ýòîò ðÿäðàâíîìåðíî ìàæîðèðóåòñÿ â (λ − ε, λ + ε), ïðè÷åì ìàæîðèðóþùèé ðÿä êîíå÷åí.Ëåììà 4.4 è òåîðåìà 4.12 î÷åâèäíûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà λ = (λ1 , . . .
, λk ).Ðàññìîòðèì òåïåðü ìåòîäû ÌîíòåÊàðëî äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòðîåííûõ òðåóãîëüíûõñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé è äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ.Òåîðåìà 4.11 ïîêàçûâàåò, ÷òî äèñïåðñèè âåêòîðíûõ àëãîðèòìîâ êîíå÷íû, åñëè ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ îïåðàòîðà ñ ÿäðîì k 2 (x, x0 , λ)/p(x, x0 ) ìåíüøå åäèíèöû (n = 1, . .
. , m),Äîêàçàòåëüñòâî.ò. å. åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíîå óñëîâèå êîíå÷íîñòè ñêàëÿðíûõ îöåíîê ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî äëÿ óðàâíåíèÿ (4.42). Ïóñòü ξx (λ) ñòàíäàðòíàÿ îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì (ñì.ñîîòíîøåíèå (4.11)) äëÿ óðàâíåíèÿ (4.42).Òåîðåìà 4.13.4.12(4.7) óñëîâèÿõ òåîðåìû è ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿñïðàâåäëèâû (m)ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) Eξx (λ) = E PNn=0[Qn(λ)h(xn, λ)](m) = ϕ(m)(x, λ);2) åñëè âñå ôóíêöèè â (4.42) è èõ íåîáõîäèìûå ïðîèçâîäíûå íåîòðèöàòåëüíû, òîìîæíî èñïîëüçîâàòü ε = 0 â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.12;3) åñëè ρ(Kp) < 1, òî Dξ (m) < +∞, m = 0, 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
