1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 37
Текст из файла (страница 37)
. , iN , ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíå÷íîìó ôàçîâîìóïðîñòðàíñòâó (1, . . . , m). Îíà îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäà ri,j , íà÷àëüíûìèâåðîÿòíîñòÿìè πi = P (i0 = i) è âåðîÿòíîñòÿìè pj îáðûâà â ñîñòîÿíèè j (èëè íà ïåðåõîäåj → i). Îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì ðàâíàξ=NXnbi0 Y aik ,ik−1Qn =.πi0 k=1 pik ,ik−1Qn hin ,n=0 óñëîâèÿõ, àíàëîãè÷íûõ (4.8), èìååì Eξ = (x, h). Äëÿ îöåíêè xi äîñòàòî÷íî ïîëîæèòüh = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .
, 0), ãäå åäèíèöà çàíèìàåò i-å ìåñòî. Íàïðèìåð, òàêèå àëãîðèòìûèñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ êðàåâûõ çàäà÷.4.4. ÄÈÑÏÅÐÑÈÈ ÎÖÅÍÎÊ óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.1 äëÿ ñëó÷àÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé f (x),äèñïåðñèÿ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì ξ äàåòñÿ âûðàæåíèåìËåììà 4.1.h(x), k(x0 , x)Dξ = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − I 2 ,(4.13)ãäå χ ðÿä Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿχ = Kp χ + f 2 /π,(4.14)çäåñü Kp èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k2(x0, x)/p(x0, x).Äîêàçàòåëüñòâî.Q20 =Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíûf 2 (x0 )/π(x0 ),π(x0 )Q2n = Q2n−1k 2 (xn−1 , xn )/p(xn−1 , xn )p(xn−1 , xn )ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê ñòàíäàðòíûå âåñà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.14).
Ìû èñïîëüçóåìòàêæå ðàâåíñòâî#" ∞XQmh(xm )x0 , . . . , xn ; ∆n = ∆n [ϕ∗ (xn ) − h(xn )],E∆mQnm=n+1êîòîðîå ñëåäóåò èç (4.11). Íà ýòîé îñíîâå èìååì2Eξ = E∞X∆n Q2n h2 (xn )+ 2En=0∞∞XX∆n ∆m Qn Qm h(xn )h(xm ) =n=0 m=n+1"#Qm= (χ, h2 ) + 2E∆n Q2n h(xn )E∆mh(xm )x0 , . . . , xn ; ∆n = (χ, h2 )+Qnn=0m=n+1∞X+2E∞X∞X∆n Q2n h(xn )[ϕ∗ (xn ) − h(xn )] = (χ, h2 ) + 2(χ, h[ϕ∗ − h]) = (χ, h[2ϕ∗ − h]).n=0Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ çíàêîïåðåìåííûõ ôóíêöèé.Òåîðåìà 4.3.4.1ρ(Kp ) < 1 f 2 /π ∈ L1Dξ(4.13) (4.14)Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè íàèáîëåå âàæíà ïðîñòàÿ.Åñëè óñëîâèÿ òåîðåìû è ñîîòíîøåíèÿâûïîëíåíû, òî êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè,è.Òåîðåìà 4.3à. óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.3 èìååì Eξ 2 < +∞.ßñíî, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.3 âûïîëíåíî Eξ12 < +∞, ãäåξ1 = n=0 ∆n |Qn ||h(xn )| ≥ |ξ|.Çàìåòèì, ÷òî ρ(Kp ) < 1 âêëþ÷àåò ρ(K1 ) < 1, òàê êàê kK1n k2 ≤ kKpn k.Òåîðåìà 4.4.4.3Z 2k (x, x0 ) 2∗2(4.15)Eξx = h(x)[2ϕ (x) − h(x)] +E ξx0 dx,0X p(x, x )Zf 2 (x)E ξx22Eξ =dx.(4.16)π(x)XÄîêàçàòåëüñòâî.P∞ óñëîâèÿõ òåîðåìûèìååìÓðàâíåíèå (4.15) ïîëó÷àåòñÿ òàê æå, êàê âûðàæåíèå äëÿ Eξ 2 , à(4.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîå ñëåäñòâèå ôîðìóëû ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î äèñïåðñèè îöåíêè ïî ïîãëîùåíèÿì äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî ëåììå 4.1 è òåîðåìå 4.3.Ëåììà 4.2.4.2f (x)0h(x) k(x , x)h2− I 2,(4.17)Dη = χ,pÄîêàçàòåëüñòâî., óñëîâèÿõ òåîðåìû äëÿ ñëó÷àÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèéäèñïåðñèÿ îöåíêè ïî ïîãëîùåíèÿì äàåòñÿ âûðàæåíèåì,ãäå χ ðÿä Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.14).Òåîðåìà 4.5.
Åñëè óñëîâèÿ òåîðåìû 4.2 è ñîîòíîøåíèÿ ρ(Kp ) < 1, f 2 /π ∈ L1 ,h2 /p ∈ L∞ âûïîëíåíû, òî êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà Dη îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (4.17)è (4.14). Åñëè x0 ≡ x, òî η ≡ ηx èEηx2Z2= h (x)/p(x) +2ZEη =Xk 2 (x, x0 )E ηx20 dx0 ,p(x, x0 )f 2 (x)E ηx2dx.π(x)(4.18)(4.19)Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (4.15), (4.16), (4.18), (4.19) (âïåðâûå óêàçàííûå â [1])ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ èç (4.13), (4.14) è (4.17) (êîòîðûå âïåðâûå óêàçàíû â [2]) íà îñíîâåäâîéñòâåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (4.4) ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà (χ, H), H ∈ L∞ . Òåîðåìû4.4 è 4.5 óïðîùàþòñÿ ïî àíàëîãèè ñ òåîðåìîé 4.3.Âûðàæåíèÿ (4.16) è (4.19) äëÿ Eξ 2 è Eη 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî îäíîðîäíàÿ (ïî îòíîøåíèþ ê x = x0 ) ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèé Eξx2 è Eηx2 îáåñïå÷èâàåò òàêæå ðåøåíèå çàäà÷èìèíèìèçàöèè Dξ è Dη äëÿ ôóíêöèè f (x) íà îñíîâå ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ:π(x) = c|f (x)|(Eξx2 )1/2 ,π(x) = c|f (x)|(Eηx2 )1/2 .Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîãäà p(x0 , x) = k(x0 , x), π(x) = f (x),ρ(K) < 1 è 0 ≤ h ∈ L∞ , äèñïåðñèÿ Dξ êîíå÷íà, òàê êàê χ ≡ ϕ èEξ 2 = (ϕ, h[2ϕ∗ − h]) ≤ kϕhkL1 k2ϕ∗ − hkL∞ ≤ kϕkL1 khkL∞ k2ϕ∗ − hkL∞ < +∞.Ïðîñòåéøàÿ âåñîâàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñâÿçàíà ñ èñïîëüçîâàíèåìñëåäóþùåé ïëîòíîñòè ïåðåõîäà:p(x0 , x) =k(x0 , x)q0 (x0 ),q(x0 )q0 (x0 ) ≥ q(x0 ),òî åñòü p0 (x0 ) ≤ p(x).Äëÿ òàêîé ìîäèôèêàöèè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿk(x0 , x)q(x0 )=≤ 1,p(x0 , x)q0 (x0 )Qn ≤ 1.PÑëåäîâàòåëüíî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé âåñîâîé îöåíêè ξ0 = Nn=0 Qn h(xn ) èìååì Dξ0 ≤Dξ .
Ïðèìåðîì ïðîñòåéøåé âåñîâîé ìîäèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ïåðåíîñà ÷àñòèö áåç âûëåòà (ñì. äàëåå ðàçäåë 6.3).Ðàññìîòðèì òåïåðü äèñïåðñèþ Dξx∗ îöåíêè ξx∗ äëÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé(4.11). Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìEξx∗2 = f (x) [2ϕ(x) − f (x)] + Kp(1)∗ Eξ ∗2 (x),(1)ãäå Kp èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k 2 (x, x0 )/p(x0 , x) âñëåäñòâèå èñïîëüçîâàíèÿ(1)∗òðàïñïîíèðîâàííîãî ÿäðà ïðè ïîñòðîåíèè âåñà Q∗n . Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî Kp íå ñîâïàäàåò ñ Kp∗ , òî åñòü ñ îïåðàòîðîì èç ñîîòíîøåíèÿ (4.15). Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî çàòðóäíÿåò ïðàêòè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé, íàïðèìåð, äëÿ ðåøåíèÿçàäà÷ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ìíîãîñêîðîñòíîì ñëó÷àå.
Òàêîå çàòðóäíåíèå çàâåäîìî íåâîçíèêàåò, åñëè p(x0 , x) ≡ p(x, x0 ). Ïîñëåäíåå òîæäåñòâî, íàïðèìåð, âûïîëíÿåòñÿ äëÿñóáñòîõàñòè÷åñêèõ ÿäåð, ñâÿçàííûõ ñ îäíîñêîðîñòíûì ïðîöåññîì ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿâñëåäñòâèå èçâåñòíîé òåîðåìû îïòè÷åñêîé âçàèìíîñòè.4.5. ÓÌÅÍÜØÅÍÈÅ ÄÈÑÏÅÐÑÈÈ ýòîì ðàçäåëå âñå ôóíêöèè ïðåäïîëàãàþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì ξ è îöåíêè ïîïîãëîùåíèÿì η îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè4.5.1.
Îöåíêè ñ íóëåâîé äèñïåðñèåé.pξ (x0 , x) =k(x0 , x)g(x),[K ∗ g](x0 )pη (x0 , x) =k(x0 , x)g(x).g(x0 )(4.20)RÎ÷åâèäíî, ÷òî pξ (x0 , x) dx ≡ 1; ñëåäîâàòåëüíî, ïðè èñïîëüçîâàíèè pξ (x0 , x) íåîáõîäèìîäîïîëíèòåëüíî ââåñòè ñëàáîå ïîãëîùåíèå. Äàëåå, åñëè èñïîëüçóåòñÿ pη (x0 , x), òî íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî K ∗ g ≤ g , òàê êàêZ[K ∗ g](x0 )pη (x0 , x) dx = 1 − pη (x0 ) =.g(x0 )XÇàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî K ∗ g = g ìîæåò áûòü âûïîëíåíî òîëüêî â òî÷êàõ, äëÿ êîòîðûõh(x) = 0.
Íà÷àëüíàÿ ïëîòíîñòü âûáèðàåòñÿ òàê:πg (x) =f (x)g(x).(f, g)(4.21)Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî [K ∗ ϕ∗ ](x) = ϕ∗ (x) − h(x) > 0 äëÿ ëþáîãîx ∈ X.Òåîðåìà 4.6.p(x0 , x) ≡ pξ (x0 , x) π(x) ≡ πg (x)g(x) ≡ ϕ∗ (x)Eξ = IhDξ = 0Äîêàçàòåëüñòâî . ßñíî, ÷òî çäåñü ∆n ≡ 1 è N = +∞. Îáîçíà÷èìè.Åñëè∗η0 = Q0 ϕ (x0 ),èηm =m−1Xn=0äëÿQn h(xn ) + Qm ϕ∗ (xm ),, òîm = 1, 2, . . .Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ηm ≡ Ih ïðè m = 0, 1, 2, . .
.. Äåéñòâèòåëüíî,η0 = [f (x0 )/πϕ∗ (x0 )]ϕ∗ (x0 ) ≡ Ih , ηm+1 − ηm = Qm h(xm )+ ∗ϕ (xm ) − h(xm ) ∗∗+Qmϕ (xm+1 ) − ϕ (xn ) ≡ 0ϕ∗ (xm+1 )äëÿ m = 0, 1, . . .. Äàëåå èìååì lim ηm = Ih = ξ + ζ è ζ = lim[Qm ϕ∗ (xm )] ≥ 0. ßñíî,÷òî ïîñëåäíèé ïðåäåë ñóùåñòâóåò. Ñëåäîâàòåëüíî, Ih = Eξ + Eζ = Ih + Eζ è E ζ = 0.Ïîýòîìó ζ = 0 è ξ = Ih ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.Òåîðåìà 4.7.p(x0 , x) ≡ pη (x0 , x) π(x) ≡ πg (x)g(x) ≡ ϕ∗ (x),Eη = IhDη = 0Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìåòèì, ÷òîè.ÅñëèIhf (x0 )= ∗,πϕ∗ (x0 )ϕ (x0 )èh(xN )= ϕ∗ (xN ),p(xN )äëÿk(xn−1 , xn )ϕ∗ (xn−1 )= ∗,p(xn−1 , xn )ϕ (xn )òîn = 1, 2, . . . .Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà ýòèõ âûðàæåíèé â ðàâåíñòâî η = QN h(xn )/p(xN ) äàåò η ≡ Ih .Äëÿ öåïè Ìàðêîâà (4.20) ïðè g ≡ ϕ∗ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå r(x0 , x) = 0, åñëè ϕ∗ (x) = 0. Ýòî ñîîòíîøåíèå íå ñìåùàåò îöåíêó òàê êàê â ñèëó (4.10) òðàåêòîðèè,íà÷èíàþùèåñÿ â òî÷êàõ {x : ϕ∗ (x) = 0}, äàþò íóëåâîé âêëàä.Äæ. Õîëòîí ïîëó÷èë òàêîé ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ îãðàíè÷åíèå (ϕ∗ − h)/ϕ∗ ≤ c < 1[3]. Äàííîå îãðàíè÷åíèå óïðîùàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Äåéñòâèòåëüíî, ÿñíî, ÷òî#"mmXYϕ∗ (xk ) − h(xk ).ξm =Qn h(xn ) = Ih 1 −ϕ∗ (xk )n=0k=0Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óêàçàííîì óñëîâèè èìååì ξ = limm→∞ ξm = Ih ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òàêîé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåïðèìåíèì, êîãäà h ìîæåò áûòü íóëåâûì äëÿ ϕ∗ 6= 0(èëè êîãäà h/ϕ∗ íå îòäåëåíà îò íóëÿ). Áîëüøèíñòâî ïðèëîæåíèé â òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ñâÿçàíû ñ òàêèì îáùèì ñëó÷àåì.Íàçîâåì ϕ∗ (x)(òî÷êè x ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèîíàëó Ih ), àìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, àíàëîãè÷íûé èäåàëüíîìó, .Ïðàêòè÷åñêè èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåííàÿ âûáîðêà ïî âàæíîñòè ñ çàìåíîé ϕ∗ íà g ≈ϕ∗ . Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ åãî íåçàâèñèìîñòüîò ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ôóíêöèè g .
Äîïîëíèòåëüíî ââîäèòñÿ ïîãëîùåíèå, íà÷èíàÿ ñm-ãî ñîñòîÿíèÿ, îáåñïå÷èâàþùåå êîíå÷íîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà ïåðåõîäîâ.  [4] ïîêàçàíî,÷òî åñëè g(x) = const(1 + ε(x))ϕ∗ (x), |ε(x)| ≤ δ < 1, p(x) ≡ 0 ïðè n ≤ m è p(x) ≡ δp ïðèn>mèm1+δ1+δ20< 1, òî Dξ ≤ c1 δ + c2 δp ρ(K).q = ρ(K) ×(1 − δ)(1 − δp )1−δôóíêöèåé öåííîñòèâûáîðêîé ïî âàæíîñòèÒðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé S = t × Dξ , ãäå t ñðåäíåå ÷èñëîîïåðàöèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ . Ïðèâåäåííàÿ îöåíêà ïîêàçûâàåò, ÷òîäëÿ ïîäõîäÿùåãî m, íàïðèìåð, åñëè m ∼ | ln δ|, èìååì S → 0 ïðè δ → 0.Èíîãäà öåëåñîîáðàçíî îïòèìèçèðîâàòü ëèøü ÷àñòü ïåðåõîäà, íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèå äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ïðè ìîäåëèðîâàíèè òðàåêòîðèé ÷àñòèö.
Öåïü Ìàðêîâà,îáåñïå÷èâàþùàÿ ìèíèìóì äèñïåðñèè îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì, ñòðîèòñÿ çäåñü ÷åðåçðåøåíèå ñïåöèàëüíîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 4.11.3). Íà ýòîé îñíîâå ïîñòðîåíà àñèìïòîòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà(ñì. äàëåå ðàçäåë 6.7).Íåëèíåéíàÿ òåîðèÿ îïòèìèçàöèè äàåò èíòåðåñíûé ðåçóëüòàò îòíîñèòåëüíî ïîëíîãî ïåðåõîäà x0 → x: åñëè ïîãëîùåíèå ìîäåëèðóåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p(x0 ) 6= 0, òîîïòèìàëüíàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïåðåõîäà x0 → x îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (4.3) ñ ÿäðîìk1 (x0 , x) = k(x0 , x)[1−p(x0 )]−1/2 . Ïîëíàÿ îïòèìèçàöèÿ îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì â ñëó÷àåçíàêîïåðåìåííûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå ñïåöèàëüíûì íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì[4]. çàêëþ÷åíèå ñäåëàåì åùå íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ïðàêòè÷åñêîãî õàðàêòåðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
