1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ïîäñòàâëÿÿïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â S (K) , ïîëó÷àåìpp(K)S0 = t0 p( p1 (1 − p0 ) + p0 (1 − p1 ))2 .(K)Ðàññìîòðåâ S0 êàê ôóíêöèþ îò p0 > 0 (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî p1 = p/p0 ), íåñëîæíî√ïîëó÷èòü, ÷òî ìèíèìóì ýòîé ôóíêöèè äîñòèãàåòñÿ ïðè p0 = p1 = p. Òàêîé âûáîðp0 , p1 è ñîîòíîøåíèå t1 = t0 p0 îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíûé ïàðàìåòð z0 . Òàêèì îáðàçîì,ìèíèìóì òðóäîåìêîñòè ðàâåí√√(K)Sopt = 4t0 p p(1 − p).Ìàêñèìàëüíûé âûèãðûø îò ââåäåíèÿ ðàñùåïëåíèÿ ðàâåí√√t0 (1 + p)p(1 − p)(1 + p)2S (1)==.√√√(K)4t0 p p(1 − p)4 pSopt√√(K)Åñëè âåðîÿòíîñòü p ìàëà, òî K ≈ 1/ p è S (1) /Sopt = 1/(4 p).3.6.
ÂÛÄÅËÅÍÈÅ ÃËÀÂÍÎÉ ×ÀÑÒÈ3.6.1. Ââåäåíèå âñïîìîãàòåëüíîãî èíòåãðàëà. Ñëåäóþùèå ñîîáðàæåíèÿ äàþòîäèí èç ñàìûõ ýôôåêòèâíûõ ñïîñîáîâ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè Dζ .Äîïóñòèì, ÷òîRèçâåñòíà áëèçêàÿ ê g(x) ôóíêöèÿ g0 (x), äëÿ êîòîðîé ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàë I0 = g0 (x) dx (àíàëèòè÷åñêè èëè ÷èñëåííî ñ ìàëûìè çàòðàòàìè è âûñîêîéòî÷íîñòüþ). Òîãäà äëÿ óâåëè÷åíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ðàñ÷åòîâ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëîìîæíî èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûé ïðèåì, êîòîðûé îñíîâàííà ñîîòíîøåíèèZI = I0 + (g(x) − g0 (x)) dx.âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòèÄëÿ îöåíêè âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïîñëåäíåé ñóììå ïðèìåíÿåì àëãîðèòì 3.1 è, ñëåäîâàòåëüíî,g0 (ξ),I = Eζ (0) , ãäå ζ (0) = I0 + q(ξ) − q0 (ξ), q0 (ξ) =f (ξ)à ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåëåí ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x).Äèñïåðñèÿ Dζ (0) ðàâíà D(q(ξ) − q0 (ξ)) è ìîæåò áûòü ìàëîé, åñëè g0 (x) õîðîøî àïïðîêñèìèðóåò ôóíêöèþ g(x).3.6.2.
Ïðèìåð óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ òåñòîâóþ çàäà÷ó.Ïðèìåð 3.5. Èññëåäóåì îñíîâíîé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è åãî ìîäèôèêàöèþ (âûäåëåíèå ãëàâíîé ÷àñòè) íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZI=1Z...01(ex1 ...x20 − 1) dx1 . . . dx20 ≈ 9, 54 · 10−7 .0Âîçüìåì â êà÷åñòâå f (x) ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â äâàäöàòèìåðíîìåäèíè÷íîì êóáå G20 : f (x) ≡ 1, x ∈ G20 . Òîãäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (3.2) èìååìI = Eζ,ζ = eα1 ...α20 − 1.Íåñëîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî Dζ ≈ 3 · 10−10 . Ó÷èòûâàÿ âèä ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû â ðÿäÒåéëîðà, öåëåñîîáðàçíî âûäåëèòü ãëàâíóþ ÷àñòü g0 (x1 , .
. . , x20 ) = x1 × . . . × x20 , ïðèýòîìI0 = 2−20 è ζ (0) = 2−20 + eα1 ...α20 − 1 − α1 × . . . × α20 .Çàìåòèì, ÷òîDζ(0)1≈41ZZ...001(x1 × . . . × x20 )4 dx1 . . . dx20 =5−20≈ 2, 5 · 10−15 ,4òî åñòü äèñïåðñèÿ óìåíüøàåòñÿ íà ïÿòü ïîðÿäêîâ.3.6.3. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè g0 (x). Ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè g0 (x)ìîæíî èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêèå (÷àùå âñåãî êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûå) ïðèáëèæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) (â ýòîì ñëó÷àå ìåòîä âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòèìîæíî ïðè÷èñëèòü ê ñì.
äàëåå ðàçä. 5.3). Çäåñü, â îòëè÷èå îò ïîäõîäîâ, ñâÿçàííûõ ñ âûáîðêîé ïîâàæíîñòè (ñì. ïîäðàçä. 3.2.4), íå íóæíû äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ "ìîäåëèðóåìîñòè"(ò.å. ôóíêöèÿ g0 (x) íå äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿâàíèÿäèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèì àëãîðèòìàì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðî-ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , äëÿ êîòîðîãî èìåþòñÿ ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ).
Åñëè ðàçíîñòü (g(x) − g0 (x)) ðàâíîìåðíî ìàëà, òî â êà÷åñòâå f (x) ìîæíîâûáðàòü ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ X .Âåñüìà ÷àñòî íà ïðàêòèêå áûâàåò èçâåñòíî ïðèáëèæåíèå g0 (x) ê ïîäûíòåãðàëüíîéôóíêöèè g(x) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ c. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî âûáîðêà ïî âàæíîñòè îò òàêîãî ìíîæèòåëÿ íå çàâèñèò. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î íàõîæäåíèèîïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ìíîæèòåëÿ c ïðè âûäåëåíèè ãëàâíîé ÷àñòè. Ïåðåïèøåì îöåíêóζ (0) ñëåäóþùèì îáðàçîì:ζ (0) = q(ξ) + c(I0 − q0 (ξ)) = ζ + cη,Ìèíèìóì äèñïåðñèèãäå η = I0 − q0 (ξ).Dζ (0) = Dζ + c2 Dη + 2cE[(ζ − I)η]äîñòèãàåòñÿ ïðè cmin = −E[(ζ − I)η]/Dη è ðàâåí(Dζ (0) )min = Dζ −(E[(ζ − I)η])2= Dζ(1 − r2 ),Dηãäå r êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó ζ è η .Âõîäÿùóþ â âûðàæåíèå äëÿ cmin âåëè÷èíó êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà E[(ζ − I)η]ìîæíî ïðèáëèæåííî çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùåé ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé.  ðåçóëüòàòåïîëó÷àåòñÿ ñìåùåííàÿ (õîòÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ) îöåíêà èíòåãðàëà I .
Ìîæíî, îäíàêî, ïîñòðîèòü è íåñìåùåííóþ îöåíêó ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà. Ïóñòü ξ 1 , . . . , ξ n âûáîðî÷íûåçíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ . Ðàññìîòðèì îöåíêón g0 (ξ i )1 X g(ξ i )(0)+ ci I0 −,I ≈ ζ̃n =n i=1 f (ξ i )f (ξ i )ãäåX g(ξ j )g0 (ξ j )1×−II0 −.ci = −(n − 1)Dη j=1,...,n;j6=if (ξ j )f (ξ j )Âåëè÷èíà ci ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàòèñòè÷åñêóþ îöåíêó îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ cmin ïîâñåì íàáëþäåíèÿì, êðîìå i-ãî. Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû ci è I0 − g0 (ξ i )/f (ξ i ) íåçàâè(0)ñèìû.
Îòñþäà î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò íåñìåùåííîñòü îöåíêè ζ̃n . Ìîæíî òàêæåïîêàçàòü, ÷òî Dζ1(0)2Dζ̃n =(1 − r ) + O,nn2(0)ò.å. ïðè áîëüøèõ n îöåíêà ζ̃n ïî ñâîåé ýôôåêòèâíîñòè ïðàêòè÷åñêè íå óñòóïàåò îïòèìàëüíîé.3.7. ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎ ×ÀÑÒÈ ÎÁËÀÑÒÈÐàññìîòðèìRñëåäóþùèé àíàëîã àëãîðèòìà âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè. Äîïóñòèì, ÷òî èíòåãðàë I = X g(x) dx ïðåäñòàâëåíâ âèäå (3.2) è óäàåòñÿ âû÷èñëèòü (àíàëèòè÷åñêè èëè ÷èñëåííî ñ ìàëûìè çàòðàòàìè èâûñîêîé òî÷íîñòüþ) èíòåãðàëû ïî íåêîòîðîé ÷àñòè X2 îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ X ⊆ Rl :ZZq(x)f (x) dx = I2 èf (x) dx = i2 ,3.7.1. Ðàçäåëåíèå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ.X2X2ãäå 0 < i2 < 1.
Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî f (x) = 0 ïðè x ∈/ X.Êàê ïðàâèëî, âûãîäíî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë (3.2) â âèäå ñóììûZZI = I2 +q(x)f (x) dx = I2 +i1 q(x)f1 (x) dx = Eζ (1) ,X1(3.38)X1ãäå X1 = X\X2 , i1 = 1 − i2 , ζ (1) = I2 + i1 q(ξ (1) ), à ξ (1) ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàñïðåäåëåííûé â X1 ñîãëàñíî óñå÷åííîé ïëîòíîñòè f1 (x) = f (x)/i1 . Çàìåíà àëãîðèòìà 3.1íà àíàëîãè÷íûé àëãîðèòì, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäñòàâëåíèþ (3.38), íàçûâàåòñÿ. Åñëè îáëàñòü X2 áëèçêà ê X , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîìû âûäåëÿåì ãëàâíóþ ÷àñòü (ñì. ðàçä. 3.6). Îäíàêî îïèñàííûé ïðèåì âûãîäåí è òîãäà,êîãäà îáëàñòü X2 çàìåòíî ìåíüøå îáëàñòè X , ïðàâäà, è ïîíèæåíèå äèñïåðñèè â ýòîìñëó÷àå îòíîñèòåëüíî íåâåëèêî (ñì.
äàëåå óòâåðæäåíèå 3.6).3.7.2. Óìåíüøåíèå äèñïåðñèè. Öåëåñîîáðàçíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìåòîäèêè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòè îáëàñòè îáîñíîâûâàåòÓòâåðæäåíèå 3.6.Dζ (1) ≤ i1 σ 2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3.4) è îïðåäåëåíèþ äèñïåðñèè èìååìZZZ2222i1 σ = i1q (x)f (x) dx − I = i1q (x)f (x) dx + i1q 2 (x)f (x) dx − i1 I 2 ,èíòå-ãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòè îáëàñòèÑïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåXDζ(1)X1=i21 Dq(ξ (1) )i21=ZX2 Z2q (x)f1 (x) dx − i1X1ZX12q(x)f (x) dx .Z2q (x)f (x) dx −= i1X12q(x)f1 (x) dx =X1Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü2i1 σ − Dζ(1)Z22q (x)f (x) dx − i1 I += i1X2Çàìåòèì, ÷òîZ2q(x)f (x) dx = (I − I2 )2 èX1ãäå ∆ =RX2Z2q(x)f (x) dx .X1Zq 2 (x)f (x) dx = ∆ + I22 /i2 ,X2(q(x) − I2 /i2 )2 f (x) dx ≥ 0. Ñëåäîâàòåëüíî,i1 σ 2 − Dζ (1) = i1 (∆ + I22 /i2 ) − i1 I 2 + (I − I2 )2 = i1 ∆+√√+I22 /i2 + i2 I 2 − 2II2 = i1 ∆ + (I2 / i2 − i2 I)2 ≥ 0,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.3.7.3.
Î ïðèìåíåíèè ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ óñå÷åííîãîÅñëè èìååòñÿ àëãîðèòì ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ ∈ X ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x), òî äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ (1) ∈ X1 ⊂ X ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ óñå÷åííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì.
àëãîðèòì1.27 èç ïîäðàçä. 1.7.5). Ïðè ýòîì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòè îáëàñòè ïðàêòè÷åñêèíå äàåò âûèãðûøà, ò.ê. óìåíüøåíèå äèñïåðñèè âèäà i1 σ 2 ñî÷åòàåòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþìîäåëèðîâàíèÿ â ñðåäíåì P(ξ ∈ X)/P(ξ ∈ X1 ) = 1/i1 âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé âåêòîðà ξ .Áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ðîçûãðûø ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ (1) íåïîñðåäñòâåííî â îáëàñòè X1 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f1 (x).ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îáúåì D̄ òðåõìåðíîé ôèãóðû D, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ (â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ, φ))Ïðèìåð 3.6.r = a + h t(θ, φ), ãäå − 1 ≤ t(θ, φ) ≤ 1 è a − h > 0.Îáîçíà÷èì ÷åðåç X2 è X âïèñàííûé â D è îïèñàííûé îêîëî D øàðû, ðàäèóñû è îáúåìûêîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî a − h, a + h è X̄2 , X̄ . Çàìåòèì, ÷òî èñêîìàÿ âåëè÷èíàðàâíà èíòåãðàëóZχD (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 ,D̄ =Xãäå χD (x1 , x2 , x3 ) èíäèêàòîð ìíîæåñòâà D. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà àëãîðèòì 3.1 ñî ñëó÷àéíûì âåêòîðîì ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ), èìåþùèì ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âX:13f (x) ==, x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ X.4π(a + h)3X̄Ýòîò àëãîðèòì äàåò ïðèáëèæåíèåD̄ = X̄ EχD (ξ) ≈nX̄ XχD (ξ i ).n i=1(3.39)Ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξâûâîäÿòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ðàññóæäåíèÿìè èç ïîäðàçä.
1.10.3:ξ1 = r̂ sin θ̂ cos φ̂,1/3r̂ = (a + h) α1 ,ξ2 = r̂ sin θ̂ sin φ̂,cos θ̂ = 1 − 2α2 ,ξ3 = r̂ cos θ̂;(3.40)φ̂ = 2πα3 .(3.41)Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïîëó÷åíèè çíà÷åíèé χD (ξ) âû÷èñëåíèÿ (3.40) ìîæíî íå îñóùåñòâëÿòü,à ëèøü ïðîâåðÿòü óñëîâèår̂ ≤ a + h t(θ̂, φ̂),(3.42)ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî χD (ξ) = 1 (èíà÷å χD (ξ) = 0).Âûäåëèì òåïåðü îáúåì X̄2 = (4/3)π(a − h)3 øàðà X2 :ZD̄ = X̄2 +χD (x) dx, ãäå X1 = X\X2 = {(x1 , x2 , x3 ) : (a−h)2 < x21 +x22 +x23 < (a+h)2 }.X1Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäèôèêàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòè îáëàñòè:nX̄1 X(1)χD (ξ i ),D̄ = E X̄2 + X̄1 χD (ξ ) ≈ X̄2 +n i=1(1)(1)(1)(1)(3.43)ãäå ñëó÷àéíàÿ òî÷êà ξ (1) = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî â X1 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè13f1 (x) ==, x ∈ X1 .34π ((a + h) − (a − h)3 ))X̄1Ïî àíàëîãèè ñ ðåàëèçàöèåé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé òî÷êè â øàðå ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäà ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ ðåàëèçàöèèñëó÷àéíîé òî÷êè ξ (1) , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â øàðîâîì ñëîå X1 . Ýòè ôîðìóëû(1)ñîâïàäàþò ñ ñîîòíîøåíèÿìè (3.40) è (3.41) äëÿ ξi = ξi ; i = 1, 2, 3 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,÷òî ïî-äðóãîìó âû÷èñëÿåòñÿ êîìïîíåíòà r̂:q3(1)(1)(1)r̂ = α1 (a + h)3 + (1 − α1 )(a − h)3 .(3.44)Ïðè ïîäñ÷åòå χD (ξ (1) ) èç (3.43) ìîæíî íå ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ (3.40), à ëèøü ïðîâåðÿòü óñëîâèå (3.42) äëÿ r̂ = r̂(1) .Èç ôîðìóë (3.39) (3.44) ñëåäóåò, ÷òî âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû íà ðåàëèçàöèþ îöåíîê (3.39) è (3.43) ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâû, â òî âðåìÿ êàêD(X̄χD (ξ)) > D(X̄2 + X̄1 χD (ξ (1) )),òàê êàêD(X̄χD (ξ)) = X̄ D̄ − D̄2 = D̄(X̄ − D̄),D(X̄2 + X̄1 χD (ξ (1) )) = X̄1 (D̄ − X̄2 ) − (D̄ − X̄2 )2 = (D̄ − X̄2 )(X̄ − D̄);çäåñü èñïîëüçîâàíî ðàâåíñòâî X̄1 + X̄2 = X̄ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
