1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Èòàê, íàì óäàëîñüïîêàçàòü, ÷òî ìåòîä ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò óìåíüøèòü äèñïåðñèþDζ . Ñëåäóåò, îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî ôóíêöèÿ q1 (u) ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëååñëîæíîé ôóíêöèåé, ÷åì q(u, v), è, ñëåäîâàòåëüíî, âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû, ñâÿçàííûåñ ðåàëèçàöèåé àëãîðèòìà 3.3, ìîãóò ïðåâçîéòè çàòðàòû àëãîðèòìà 3.1. Îêîí÷àòåëüíûéâûáîð àëãîðèòìà äåëàåòñÿ íà îñíîâàíèè ñðàâíåíèÿ âåëè÷èí òðóäîåìêîñòåé (3.6).Ïðèìåð 3.3. Ðàññìîòðèì òåñòîâóþ çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZI=(1/v) du dv,(3.31)(1)Xãäå äâóìåðíàÿ îáëàñòü X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé ïðÿìûìè u =2, v = 1 è u = v .Çäåñü è äàëååíàçûâàåòñÿ çàäà÷à ñ èçâåñòíûì ðåøåíèåì, íà ïðèìåðå êîòîðîé èçó÷àþòñÿ òå èëè èíûå îñîáåííîñòè àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íåñëîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî âåëè÷èíà (3.31) ðàâíàòåñòîâîéZI=2Zdu11u1dv = 2 ln 2 − 1 ≈ 0.38630.vÐåàëèçóåì àëãîðèòì 3.1 äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (3.31).
 êà÷åñòâå ôóíêöèè f (u, v)ðàññìîòðèì f (u, v) ≡ 2 ïðè (u, v) ∈ X ; ýòî ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíîé òî÷êè γ = (ξ, η) â òðåóãîëüíèêå X . Òîãäà I = Eζ = Eq(γ), ãäå q(γ) = 1/(2η).R2Íàéäåì ïëîòíîñòü fη (v) = v f (u, v) du = 2(2 − v). Äëÿ ðåàëèçàöèè√ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûη ïðèìåíÿåì ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: η = 2 − α è òîãäàn11 XI≈√ .2n i=1 2 − αi(3.32)Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû q(γ) ðàâíàZ2Zu11dv − I 2 = (1 − ln 2) − (2 ln 2 − 1)2 ≈ 0.0043.2211 (2v)RuÒåïåðü ðåàëèçóåì àëãîðèòì 3.3. Èíòåãðèðóÿ ïî v , ïîëó÷àåì, ÷òî fξ (u) = 1 2 dv =2(u − 1) è, ñëåäîâàòåëüíî,Z u12ln uq1 (u) =dv =.2(u − 1)1 2v 2(u − 1)Dζ = Dq(γ) =duÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà F√ξ (u) = (u − 1)2 è ìîäåëèðóþùàÿôîðìóëà (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ξ ≥ 1) èìååò âèä ξ = 1 + α. Ñëåäîâàòåëüíî,√n1 X ln(1 + αi )I≈.√2n i=1αi(3.33)Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ (1) = q1 (ξ) ìåíüøå äèñïåðñèè Dζ :Dζ(1)Z= Dq1 (ξ) =12ln2 udu − I 2 ≈ 0.0010.u−1Îäíàêî, ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (3.32), (3.33), ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåàëèçàöèÿ îäíîãî âû(1)áîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζi = q1 (ξi ) ÿâëÿåòñÿ áîëåå òðóäîåìêîé, ÷åìðåàëèçàöèÿ îäíîãî çíà÷åíèÿ ζi = q(γ i ).
Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î ñîîòíîøåíèè òðóäîåìêîñòåé àëãîðèòìîâ 3.1 è 3.3 òðåáóåò çäåñü îòäåëüíîãî ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ. Îêîí÷àòåëüíûé âûâîä î öåëåñîîáðàçíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ àëãîðèòìà 3.3 âìåñòî àëãîðèòìà3.1 çàâèñèò, â ÷àñòíîñòè, îò òîãî, êàê ðåàëèçîâàíî â äàííîì ÿçûêå ïðîãðàììèðîâàíèÿâû÷èñëåíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ëîãàðèôìà è êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç ôîðìóë(3.32), (3.33).3.5. ÌÅÒÎÄ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß3.5.1. Èñïîëüçîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãîη . Ñëåäóþùàÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (3.23) äëÿ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè Dζ ñâÿçàíà ñ ðåàëèçàöèåé äîïîëíèòåëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé{η k } äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè q1 (u) = Eη (q(γ)|u) èç (3.28) ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî.Àëãîðèòì 3.4.n{ξ i }ξfξ (u)ξiK(ξ i )η i,kηfη (v|ξ i )(3.2)âåêòîðàÐåàëèçóåì íåçàâèñèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèéñëó÷àéíîãîâåêòîðà ñîãëàñíî ïëîòíîñòè.
Äëÿ êàæäîãî ïîëó÷àåìíåçàâèñèìûõðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñîãëàñíî ïëîòíîñòè. Ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì èíòåãðàëïî ôîðìóëåI = Eζ(K)K(ξ i )nX1X 1q(ξ i , η i,k ),≈n i=1 K(ξ i ) k=1ãäåζ(K)K(ξ )1 X=q(ξ, η k )K(ξ) k=1(3.34)è ηk íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå (êàê η) ñëó÷àéíûå âåêòîðû.Àëãîðèòì 3.4 íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ðàñùåïëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè K(ξ) ≡ 1 (òîåñòü "ðàñùåïëåíèÿ"êàê òàêîâîãî íå ïðîèñõîäèò), òî àëãîðèòì 3.4 ïðåâðàùàåòñÿ â àëãîðèòì 3.1 (òî åñòü ζ (K) = ζ ), ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ γ i = (ξ i , η i ) ðåàëèçóþòñÿ ñîãëàñíîóòâåðæäåíèþ 1.11 (ñì. ðàçä.
1.5): çíà÷åíèå ξ i ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fξ (u),à η i ñîãëàñíî óñëîâíîé ïëîòíîñòè fη (v|ξ i ).Ðàâåíñòâî I = Eζ (K) èç ñîîòíîøåíèÿ (3.34) ìîæíî îáîñíîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ðàññìîòðèì âåêòîð ~η = η 1 , . . . , η K(ξ ) . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ, ïîëó÷àåìPK(ξ )~k=1 q(ξ, η k )|ξ Eη(K)Eζ (K) = Eξ Eη(ζ|ξ)=E=~ξK(ξ)= Eξ!Eη q(ξ, η)|ξ K(ξ)= Eξ Eη q(ξ, η)|ξ = Eq(γ) = I.K(ξ)3.5.2.
Âûáîð ïàðàìåòðîâ îäíîêðàòíîãî ðàñùåïëåíèÿ.ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ(K). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.5, èìååìÈññëåäóåì äèñïåðñèþ(K)(K)Dζ (K) = Dξ Eη|ξ) + Eξ Dη|ξ).~ (ζ~ (ζÄàëåå, èñïîëüçóÿ íåçàâèñèìîñòü êîìïîíåíò âåêòîðà ~η , èìååìDη (q(γ)|ξ)(K)Dζ= Dξ Eη (q(γ)|ξ) + Eξ.K(ξ)Ïóñòü t0 ñðåäíåå âðåìÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ , à t1 (ξ) ñðåäíåå âðåìÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ η ïðè ôèêñèðîâàííîì ξ .(K)Òîãäà ñðåäíåå âðåìÿ ðàñ÷åòà îäíîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ζiñëó÷àéíîé âåëè÷èíû(K)ζðàâíît(K) = t0 + Eξ K(ξ)t1 (ξ) .Îïòèìàëüíûé âàðèàíò ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé K(ξ), ìèíèìèçèðóþùåé âåëè÷èíóS (K) = t(K) Dζ (K) .(3.35)Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê íàéäåì îïòèìàëüíîå K â áîëåå ïðîñòîì âàðèàíòå ìåòîäàðàñùåïëåíèÿ, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî K(ξ) ≡ K = const.  ýòîì ñëó÷àåt(K) = t0 + Kt1 ,Dζ (K) = A0 + A1 /K,ãäåt1 = Eξ t1 (ξ),A0 = Dξ Eη (q(γ)|ξ),A1 = Eξ Dη (q(γ)|ξ).Èññëåäóåì íà ìèíèìóì ôóíêöèþ S(r) = (t0 + t1 r)(A0 + A1 /r) ïðè r > 0.
Âû÷èñëÿÿïðîèçâîäíóþA1 t0A0 t102r −S (r) = 2rA0 t1è ó÷èòûâàÿ ïîëîæèòåëüíîñòü âåëè÷èí A0 , A1 , t0 , t1 è ïåðåìåííîé r, ïîëó÷àåì, ÷òî rmin =qA1 t0. Òàêèì îáðàçîì, â ìåòîäå ðàñùåïëåíèÿ â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî K ñëåäóåò âûA0 t1áèðàòü öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íàèáîëåå áëèçêîå ê rmin :rA1 t0.Kopt ≈A0 t1Âåëè÷èíû t0 , t1 , A0 è A1 ìîæíî ïðèáëèæåííî îöåíèâàòü ïî ðåçóëüòàòàì ñïåöèàëüíûõïðåäâàðèòåëüíûõ ðàñ÷åòîâ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè äèñïåðñèé Dζ (K1 ) , Dζ (K2 ) è âðåìåíè t(K1 ) , t(K2 ) äëÿ äâóõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà K1 , K2 è ðåøèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ò.å. âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâàìèt0 =A0 =K2 t(K1 ) − K1 t(K2 );K2 − K11K2 Dζ (K2 ) − K1 Dζ (K1 ) ;K2 − K 1t1 =t(K1 ) − t(K2 );K2 − K 1A1 =K1 K2Dζ (K1 ) − Dζ (K2 ) .K2 − K1Ïðè ýòîì ïîëåçíî êîððåëèðîâàòü âûáîðêè äëÿ çíà÷åíèé ζ (K1 ) , ζ (K2 ) .3.5.3.
Âûáîð ïàðàìåòðîâ ìíîãîêðàòíîãî ðàñùåïëåíèÿ. Àëãîðèòì 3.4 ìîæíîðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ðàçáèåíèÿ ïåðåìåííûõ íà (M + 1) ãðóïï. Ðàñùåïëåíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ðîñòîì íîìåðà ãðóïïû. Ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿäëÿ âðåìåíè ðåàëèçàöèè è äèñïåðñèè ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè:t(K) = t0 + K1 t1 + K1 K2 t2 + . . . + K1 K2 . . . KM tM ;K = (K1 , .
. . , KM );AMA1+ ... +.K1K1 K2 . . . KMÇäåñü tm ñðåäíåå âðåìÿ ðåàëèçàöèè îäíîãî ýêñïåðèìåíòà â ïðåäåëàõ îò m-ãî äî (m+1)ãî ðàñùåïëåíèÿ, à Am ñðåäíååp çíà÷åíèå óñëîâíîé äèñïåðñèè, ñîîòâåòñòâóþùåé m-ìóopt≈ (Am tm−1 )/(Am−1 tm ).ðàñùåïëåíèþ, ïðè÷åì KmÌîäåëèðîâàíèå öåëåñîîáðàçíî êîíñòðóèðîâàòü òàê, ÷òîáû öåïî÷êà ðàñùåïëåíèé áûëà ïî âîçìîæíîñòè îäíîðîäíîé è âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà Am−1 /Am = a, tm−1 /tm = b,ãäå m = 1, . .
. , M . Ïðè ýòîì îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ Km îäèíàêîâû è ðàâíû K1 = . . . =KM = k = (b/a)1/2 . Âû÷èñëèâ âåëè÷èíû Dζ (K1 ) , Dζ (K2 ) è t(K1 ) , t(K2 ) , ãäå K1 = (k1 , . . . , k1 )è K2 = (k2 , . . . , k2 ), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî a è b:Dζ (K) = A0 +t(K1 )=t(K2 )1+MX!k1m bm1+m=1MX!−1k2m bmm=1;Dζ (K1 )=Dζ (K2 )MXam1+kmm=1 1!MXam1+kmm=1 2!−1.Ýòè óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò äîñòàòî÷íî ïðîñòîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè îòìåòèì, ÷òî ìíîãîêðàòíîå ðàñùåïëåíèå îòíîñèòåëüíî ðåäêî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå, òàê êàê äëÿ ýòîãî ìåòîäà ýêîíîìèÿ âðåìåíè âû÷èñëåíèÿ íå âñåãäà îêóïàåò çíà÷èòåëüíîå óñëîæíåíèå ðàñ÷åòíûõ ïðîãðàìì è òðóäíîñòè â îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ.3.5.4. Ðàñùåïëåíèå ñëó÷àéíûõ òðàåêòîðèé ÷àñòèö.
Ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ ïðèìåíèì òàêæå â ñëó÷àå, êîãäà ξ è η (à çíà÷èò, è q(γ)) èìåþò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå,ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû ïðåâðàùàþòñÿ â ñóììû.Ïóñòü òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü óñïåõà p äëÿ áåðíóëëèåâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ : P(ϕ = 1) = p, P(ϕ = 0) = 1 − p, ïðè óñëîâèè, ÷òî èìååòñÿ àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷àòü ðåàëèçàöèè {ϕi } ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Eϕ = p,ìîæíî îöåíèâàòü èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü ïî ôîðìóëå òèïà (3.3):p≈ϕ1 + . .
. + ϕn.n(3.36)Ïóñòü òàêæå èìåþòñÿ àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè çàâèñèìûõ áåðíóëëèåâñêèõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ξ è η òàêèõ, ÷òîP(ξ = 1) = p0 ,P(η = 0|ξ = 0) = 1,P(ξ = 0) = 1 − p0 , P(η = 1|ξ = 0) = 0,P(η = 1|ξ = 1) = p1 ,P(η = 0|ξ = 1) = 1 − p1 ,(3.37)ïðè÷åì èçâåñòíî, ÷òî p0 p1 = p. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ0 ïðè v = 0,q(u, v) =1 ïðè v = 1.Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî p = p0 p1 = Eq(ξ, η), è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ (3.34).
Îïèñàííûé ïðèåì èñïîëüçóåòñÿïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåé çàäà÷è òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Ïóñòü òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü p ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåçñëîé âåùåñòâà {x, y, z : 0 ≤ z ≤ H}. Ðåàëèçóåì n òðàåêòîðèé áëóæäàíèÿ ÷àñòèö âñëîå, ïîëàãàÿ, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â âåùåñòâå ïðÿìîëèíåéíûìè "ïðîáåãàìè"ñëó÷àéíîé äëèíû; â êîíöå êàæäîãî ïðîáåãà ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ îíà ìîæåòïîãëîòèòüñÿ èëè ðàññåÿòüñÿ ïî ñëó÷àéíîìó çàêîíó. Èñòî÷íèê ÷àñòèö ðàñïîëîæåí íàïëîñêîñòè z = 0.  êà÷åñòâå ϕ ðàññìîòðèì áåðíóëëèåâñêóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå, åñëè ÷àñòèöà âûëåòàåò èç ñëîÿ ÷åðåç ïëîñêîñòü z = H , è íóëþ,åñëè ÷àñòèöà ïîãëîùàåòñÿ èëè âûëåòàåò èç ñëîÿ ÷åðåç ïëîñêîñòü z = 0.
Ñòàíäàðòíûéàëãîðèòì îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé (3.36).Ìîäèôèêàöèÿ ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà (ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôèêñèðóåòñÿ òî÷êà ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ÷àñòèöåé ïëîñêîñòè z = z0 (êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ); èç ýòîé òî÷êè "èñïóñêàåòñÿ"K "íîâûõ"íåçàâèñèìûõ ÷àñòèö,äëÿ êîòîðûõ ðåçóëüòàò ïðîõîæäåíèÿ ñëîÿ ó÷èòûâàåòñÿ ñ "âåñîì"1/K (çäåñü, êàê è ðàíåå, ìû ïîëàãàåì K(ξ) ≡ K = const).  êà÷åñòâå ξ òîãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå, åñëè ÷àñòèöà ïåðåñåêëà ïëîñêîñòü ðàñùåïëåíèÿ(âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ îáîçíà÷èì p0 ), è íóëþ èíà÷å. Ñîîòâåòñòâåííî η ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà, êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå, åñëè "íîâàÿ"÷àñòèöà, âûïóùåííàÿ èç òî÷êè ðàñùåïëåíèÿ, äîñòèãàåò ïëîñêîñòè z = H (âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ îáîçíà÷èì p1 ), è íóëþèíà÷å.
Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî äëÿ ââåäåííûõ òàêèì îáðàçîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ηâûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (3.37).Èññëåäóåì âîïðîñ î âûáîðå îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ z0 è K , èñïîëüçóÿ ïîñòðîåííóþâûøå òåîðèþ îïòèìèçàöèè ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òîA0 = Dξ Eη q(γ)|ξ = p21 p0 (1 − p0 ) = pp1 (1 − p0 ),A1 = Eξ Dη q(γ)|ξ = p1 (1 − p1 )p0 = p(1 − p1 );Ïðèìåð 3.4.ïëîñêîñòüþ ðàñùåïëåíèÿçäåñü γ = (ξ, η).Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî t1 = t0 p0 , òî åñòü ñðåäíåå âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îäíîéòðàåêòîðèè "íîâîé"÷àñòèöû ðàâíî ñðåäíåìó âðåìåíè áëóæäàíèÿ äî ðàñùåïëåíèÿ. Âýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíà S (K) èç (3.35) ðàâíà1 − p1 .S (K) = t0 (1 + Kp0 )p p1 (1 − p0 ) +Kp(1 − p1 )/(p(1 − p0 )) (çäåñü, êàê è ðàíåå, çíàêÎïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî Kopt ≈"≈"îçíà÷àåò, ÷òî áåðåòñÿ áëèæàéøåå ê ýòîìó çíà÷åíèþ íàòóðàëüíîå ÷èñëî).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
