1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòü: ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.Àíàëîãè÷íûå ðå-çóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ìîäåëåé (2.62), (2.63).Óòâåðæäåíèå 2.16.|(R(i) )00 (ui )| < H (i)[0, Ai ], i = 1, . . . , lβn (t; R1 )D(T )R1 (u)F (x)Åñëèíàè ξ ≥ 0, òîìîäåëüñëàáî ñõîäèòñÿ âê ïîëþ, îïðåäåëÿåìîìó ïðåäåëüíûìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéè ôóíêöèåé îäíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.Ïðîâåðÿåì óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.3. Ñóùåñòâîâàíèå ñîãëàñîâàííûõ ïðåäåëüíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîäåëè βn (t; R1 ) äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîìáèíàòîðíûõ ðàññóæäåíèé òî÷íî òàê æå, êàê â îäíîìåðíîì ñëó÷àå (ñì. óòâåðæäåíèå 2.14).Äàëåå, ÿñíî, ÷òî ñìåøàííàÿ ðàçíîñòü â ñîîòíîøåíèè (2.19) äëÿ îäíîãî ñëàãàåìîãî èç(2.62) îòëè÷íà îò íóëÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ñîîòâåòñòâóþùåì ïàðàëëåëåïèïåäå(i)åñòü õîòÿ áû îäíà òî÷êà îáúåìíîãî ïîòîêà {τki }, i = 1, . .
. , l. Ïîýòîìó ïî àíàëîãèè ñîäíîìåðíûì ñëó÷àåì (ñì. äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 2.15) ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó−+(1)(2)E |∆h(i) βn (t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )| |∆h(i) βn (t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )| ≤Äîêàçàòåëüñòâî.≤(3)H1 (ti−(2)(2)ti )(ti−(1)ti )lY(i)hj2−(1)2ˆ(Eξi,n ) + n P |∆h(i) βn (t1 , . . . , ti−1 , ti ,j=1+(2)ti+1 , . .
. , tl )| |∆h(i) βn (t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )| > 0 E(ξˆi,n )2 ≤(3)(2)(2)(1)≤ H2 (ti − ti )(ti − ti )lY(i)hj2(3)(1)≤ H2 (ti − ti )2lY(i)hj2.j=1j=1Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (2.19) äëÿ p = q = r = 1.Óòâåðæäåíèå 2.17.2.16γn (t; R2 )D(T )R2 (u)F (x)Äîêàçàòåëüñòâî. Ñõîäèìîñòü ìîäåëè (2.63) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèé 2.14 è 2.15, òàê êàê ïîëå γn (t; R2 ) èç (2.63) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó íåçàâèñèìûõ(i)ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ζ̃n (ti ; R(i) ) òèïà ζn (t; R) èç àëãîðèòìà 2.16.  ÷àñòíîñòè, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ïðåäåëüíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëÿ (2.63) ïîëó÷àþòñÿ èç óòâåðæäåíèÿ 2.14 è òîãî ôàêòà, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ýòèõâåëè÷èíl 1/lY(i)(i)(i)ψ̄m (T̄m ; w̄1 , .
. . , w̄m ) =ψm(Tm(i) ; w1 , . . . , wm),Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ , òî ìîäåëüñëàáî ñõîäèòñÿ âê ïîëþ, îïðåäåëÿåìîìó ïðåäåëüíûìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéè ôóíêöèåé îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.i=1(i)(i)(i)(i)à ÷àñòíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ψm (Tm ; w1 , . . . , wm ), i = 1, .
. . , l, îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2.64).×òî êàñàåòñÿ óñëîâèÿ (2.19), òî äëÿ ìîäåëè γn (t; R2 ) ñìåøàííûå ðàçíîñòè ïîðÿäêà áîëüøå åäèíèöû òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ è ïðîâåðêà (2.19) ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêåóñëîâèÿ(3)(2)(2)(1)(3)(1)E(|ζ̃n(i) (ti ; R(i) ) − ζ̃n(i) (ti ; R(i) )| |ζ̃n(i) (ti ; R(i) ) − ζ̃n(i) (ti ; R(i) )|) ≤ H̃ (i) (ti − ti )2(çäåñü ìû âíîâü ïîëîæèëè p = q = r = 1), êîòîðîå âûïîëíåíî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ2.15.2.7.6. Ñâîéñòâà ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ìîäåëèðîâàíèå âåêòîðíûõÓêàçàííûå â óòâåðæäåíèÿõ 2.142.17 ïðåäåëüíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû è ïîëÿîáëàäàþò áåçãðàíè÷íî äåëèìûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, òàê êàê äëÿ ëþáîãî m è äîñòàòî÷íîáîëüøîãî n ñóììû èç ζn (t; R), βn (t; R1 ) è γn (t; R2 ) ìîæíî ðàçáèòü íà m ÷àñòè÷íûõ ñóììîáúåìà k (m k = n) è çàòåì óñòðåìèòü k ê áåñêîíå÷íîñòè.ïîëåé.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà âåêòîðíûå ïîëÿ, âçÿâ â êà÷åñòâåξ ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì.
Ïðè ýòîì êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿìîäåëèðóåìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñêàëÿðíîé ôóíêöèè îäíîãî èç ðàññìîòðåííûõ âûøå òèïîâ R1 (u) è R2 (u) íà êîððåëÿöèîííóþ ìàòðèöó âåêòîðàξ . Êëàññ ìîäåëèðóåìûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé çäåñü òàêæå ìîæíî ðàñøèðèòü ïóòåì äîïîëíèòåëüíîé ðàíäîìèçàöèè êàêèìëèáî îáðàçîì ââåäåííûõ ïàðàìåòðîâ. Òåîðèÿñëàáîé ñõîäèìîñòè äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé àíàëîãè÷íà ñêàëÿðíîìó ñëó÷àþ, ñëåäóåò òîëüêî çàìåíèòü çíàê ìîäóëÿ â (2.19) íà ñîîòâåòñòâóþùóþ âåêòîðíóþ íîðìó.2.7.7.
Ìîäåëèðîâàíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ ñðåä. Ïîñòðîåííûå â ýòîì ðàçäåëå ÷èñëåííûå ñõåìû ñ óñïåõîì èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñðåä.  ðÿäåðàáîò òðåõìåðíûå ìîäåëüíûå ïîëÿ âèäà (2.62) èñïîëüçîâàíû äëÿ øèðîêîìàñøòàáíûõðàñ÷åòîâ ðàäèàöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê ñïëîøíîé ñòîõàñòè÷åñêîé îáëà÷íîñòè. Íà îñíîâå ñóùåñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ êóñî÷íî-ñëîèñòîé ñòðóêòóðû îäíîìåðíûõ è òðåõìåðíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñðåä, ïîëó÷àþùåéñÿ ïðè ðåàëèçàöèè ìîäåëè (2.62), óäàëîñü èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòè ÷àñòè÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî îñðåäíåíèÿ âåñîâûõ îöåíîê òåîðèèïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîé ïëîòíîñòè.
Ýòî ïîçâîëèëî, â ÷àñòíîñòè, îöåíèòü èçìåíåíèå õàðàêòåðèñòèê ïðîöåññà ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ïðè ïåðåõîäå îòäåòåðìèíèðîâàííîé ñðåäû ê ñòîõàñòè÷åñêîé ñ òîé æå ñðåäíåé ïëîòíîñòüþ.ÃËÀÂÀ 3. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ3.1. ÑÒÀÍÄÀÐÒÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ3.1.1. Ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïðèáëèæåííî âû÷èñëèòü l-êðàòíûéèíòåãðàëZZg(x) dx =I=g(x) dx.(3.1)RlÇäåñü dx = dx1 . .
. dxl , òî åñòü, ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ â ï. 0.3, âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàëÐèìàíà. Ïåðåõîä ê ñëó÷àþ, êîãäà (3.1) èíòåãðàë ÐèìàíàÑòèëòüåñàíåñëîæåí. ÂîRìíîãèõ ñèòóàöèÿõ èíòåãðàë (3.1) óäîáíåå çàïèñûâàòü â âèäå I = X g(x) dx, ãäå X çàìûêàíèå ìíîæåñòâà òåõ x ∈ Rl , äëÿ êîòîðûõ g(x) 6= 0.Âûáåðåì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , . . . , ξl ) â Rlòàêóþ, ÷òîZf (x) ≥ 0;f (x) dx = 1 è f (x) 6= 0 ïðè g(x) 6= 0 äëÿ x ∈ Rl .Ïåðåïèøåì èíòåãðàë (3.1) â âèäå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿZZg(x),I = g(x) dx = q(x) f (x) dx = Eζ, ãäå q(x) =f (x)ζ = q(ξ).(3.2)Íà îñíîâàíèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ñòðîèòñÿÀëãîðèòì 3.1.nξf (x)1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ1, .
. . , ξn ñëó÷àéíîãî âåêòîðàñîãëàñíî âûáðàííîé ïëîòíîñòè .2. Âû÷èñëÿåì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà (3.1):nI ≈ ζ̄n =n1X1Xζi =q(ξ i ).n i=1n i=1(3.3)ñòàíäàðòíûì àëãîðèòìîì ìåòîäà Ìîíòå-Ñëåäóÿ [15], áóäåì íàçûâàòü àëãîðèòì 3.1(3.1). Åñëè ðàññìàòðèâàòü ξ 1 , . . . , ξ n èç (3.3) êàê íàáîðíåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x), òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ζ1 = q(ξ 1 ), .
. . , ζn = q(ξ n ) áóäóò òàêæå íåçàâèñèìûìèîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì I (ñì. ñîîòíîøåíèå (3.2)) èäèñïåðñèåéZZ 2g (x)22222dx − I 2 .(3.4)σ = Dζ = Eq (ξ) − (Eq(ξ)) = q (x) f (x) dx − I =f (x)Êàðëî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ñâîþ î÷åðåäü, âåëè÷èíà ζ̄n èç (3.3) èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå I è äèñïåðñèþDζ̄n = σ 2 /n.3.1.2. Ïîãðåøíîñòü ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà. Åñëè âåëè÷èíà σ 2 èç (3.4) êîíå÷íà, òî ïîãðåøíîñòü δn = |ζ̄n − I| àëãîðèòìà 3.1 ïðåäñòàâèìà â âèäå S − nI σ Sn − nEζ n√δn = = √ ,nn σ n ãäå Sn = ζ1 + . . . + ζn . Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé√ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íîáîëüøîì n ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn −nEζ)/(σ n) áëèçêà ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ω ∈ N (0, 1).
Ïîýòîìó äëÿ ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿêîíñòàíòà βε , äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåσP δn ≤ βε √≈ P{|ω| < βε } ≥ 1 − ε.(3.5)nÍàïðèìåð, äëÿ ε = 0.003 èìååì βε ≈ 3 (ýòî ñîîòíîøåíèå îòðàæàåò "ïðàâèëî òðåõñèãìà"). Èñïîëüçóþò òàêæå ε = 0.05 (ïðè ýòîì βε ≈ 2); ε = 0.32 (ïðè ýòîì βε ≈ 1);ε = 0.5 (ïðè βε ≈ 0.6745). Ïîñëåäíÿÿ ïàðà√ ñëóæèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ òàê íàçûâàåìîérn = 0.6745 σ/ n, äëÿ êîòîðîéâåðîÿòíîé îøèáêè ìåòîäàP(|ζ̄n − Eζ| < rn ) ≈ P(|ζ̄n − E ζ| > rn ).Âåëè÷èíà rn èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå äëÿ ïðèáëèæåííîé îöåíêè ïîðÿäêà îøèáêè.Èç ñîîòíîøåíèÿ (3.5) ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé n−1/2 , òî åñòü îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòüñëåäóþùèé çíàê ïîñëå çàïÿòîé âåëè÷èíû I (òî åñòü óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü ïðèìåðíîâ äåñÿòü ðàç) òðåáóåòñÿ â ñòî ðàç óâåëè÷èòü ÷èñëî èñïûòàíèé n. Ïîýòîìó õàðàêòåðíûå÷èñëà èñïûòàíèé â ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî âåñüìà âåëèêè.Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè îäíîêðàòíîãî èíòåãðàëà I ñ ãëàäêîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé g(x) äëÿ x ∈ [a, b] ïîãðåøíîñòü ïðîñòåéøåé ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ,îïðåäåëÿåìàÿ ÷èñëîì n âû÷èñëåíèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x) èç (3.1), èìååò ïîðÿäîê n−2 (ñì. äàëåå óòâåðæäåíèå 3.10 èç ðàçä. 3.10) íà ÷åòûðå ïîðÿäêà ëó÷øå ìåòîäàÌîíòå-Êàðëî, à ÷óòü áîëåå ñëîæíàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíà èìååò åùå áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè n−3 .
Óïîìÿíóòûå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òàê íàçûâàåìûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë Íüþòîíà-Êîòåñà (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 3.10.1), ïîñòðîåíèåêîòîðûõ îñíîâàíî íà èíòåãðèðîâàíèè ïîëèíîìèàëüíûõ èíòåðïîëÿöèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê ðàçìåðíîñòÿì l èíòåãðàëà(3.1), áîëüøèõ åäèíèöû, è ïðè ðàññìîòðåíèè íåãëàäêèõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèég(x), x ∈ Rl , ïîñòðîåíèå èíòåðïîëÿöèé äëÿ g(x) è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êóáàòóðíûõôîðìóë çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ è ïîðÿäîê t ïîãðåøíîñòè δn ∼ n−t óìåíüøàåòñÿ ñðîñòîì l (ñì., íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå 3.11 èç ðàçä.
3.10). Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè n−1/2ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (3.3) íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè l (ýòà ñêîðîñòü ñîõðàíÿåòñÿ, âòîì ÷èñëå, è äëÿ èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè ñì. äàëåå ãë. 4).Ñâîéñòâà ôóíêöèè g(x) âëèÿþò ëèøü íà âåëè÷èíó Dζ èç (3.4).Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå ê ñëîæíûì ìíîãîìåðíûì çàäà÷àì êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî âîçðàñòàåò. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ 1 ≤ l ≤ 3 ïðåäïî÷òèòåëüíåå èñïîëüçîâàòü êóáàòóðíûå ôîðìóëû, äëÿ l ≥ 10 íå èìååò êîíêóðåíòîâ ïðîñòåéøèé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî èëè åãî ìîäèôèêàöèè, íàïðèìåð, ñâÿçàííûå ñ ââåäåíèåìàïïàðàòà öåïåé Ìàðêîâà, îáðûâàþùèõñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
