1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Áëóæäàíèå ïî ðåøåòêå. Âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû. Òåïåðü ïðèâåäåì ðÿä ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿñïåöèàëüíûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ îòðåçêà òðàåêòîðèè äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãîïðîöåññà (ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) ξ̃ èç ñîîòíîøåíèÿ (2.21).  ïåðâóþ î÷åðåäü óïîìÿíåìïðèìåíåíèå öåïåé Ìàðêîâà, îáðûâàþùèõñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (ïðè ýòîì ðàçìåðíîñòü (M + 1) ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé), äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ áîëüøîé è áåñêîíå÷íîé êðàòíîñòè (ñì. àëãîðèòì 1.17 èç ðàçä. 1.5). Íàèáîëååâàæíûì ïðèëîæåíèåì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (ñì. äàëåå ãëàâó 4).Ïðè ðàíäîìèçàöèè ðàçíîñòíûõ ñõåì ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ èñïîëüçóåòñÿ àëãîðèòì.
Îïèøåì ýòîò àëãîðèòì â äâóìåðíîì ñëó÷àå. Ïóñòü â R2áëóæäàíèÿ ïî ðåøåòêåââåäåíà ðàâíîìåðíàÿ ñåòêà (ih, jh), ãäå i, j öåëûå ÷èñëà, à ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî h øàã ñåòêè. Îïðåäåëÿåì íà÷àëüíóþ òî÷êó (i0 h, j0 h) è ìíîæåñòâî "ïîãëîùàþùèõ"óçëîâ(ïîïàäàíèå â òàêîé óçåë îçíà÷àåò îáðûâ ñîîòâåòñòâóþùåé òðàåêòîðèè).Àëãîðèòì 2.7.k = 0, 1, 2, . . .(ik h, jk h)((ik − 1)h, jk h), ((ik + 1)h, jk h), (ik h, (jk − 1)h), (ik h, (jk + 1)h)(k) (k) (k) (k)(k)p 1 , p 2 , p3 , p 4pi = 1/4Äëÿâ îäíóèç ñîñåäíèõ òî÷åêñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿìñîîòâåòñòâåííî (÷àùå âñåãî).
Ïðîöåññïðåêðàùàåòñÿ ïîñëå ïîïàäàíèÿ òî÷êè â îäíî èç "ïîãëîùàþùèõ"ñîñòîÿíèé.Ïðèìåð 2.4.îñóùåñòâëÿåì ïåðåõîä èç òî÷êèÐàññìîòðèì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ∂2u ∂2u+= −g(x, y); u|Γ = ψ(x, y)∂x2 ∂y 2(2.27)â åäèíè÷íîì êâàäðàòå ñ ãðàíèöåé Γ. Çàìåíÿÿ ïðèáëèæåííî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âóðàâíåíèè (2.27) âòîðûìè ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ïîëó÷èì ñèñòåìó (L − 1)2 ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäà1ui,j = (ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 + h2 gi,j ),41 ≤ i, j ≤ L − 1.(2.28)Çäåñü ui,j åñòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå u(ih, jh) äëÿ âíóòðåííåãî óçëà (ih, jh); åñëè æåòî÷êà (ih, jh) ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå Γ, òî çíà÷åíèå ui,j ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì è ðàâíûìψ(ih, jh). Çíà÷åíèÿ gi,j ðàâíû g(ih, jh). Ñîîòíîøåíèå (2.28) èìååò âèä ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (åñëè ïîëîæèòü gi,j = 0). Èìåííî òàêîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåòñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξi,j , ðåàëèçàöèè êîòîðîé ñòðîÿòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìà 2.7 ñëåäóþùèì îáðàçîì:(ih, jh)h2 gi,j /4Γ1/4h2 g/42ψ1) íà÷àëüíóþ òî÷êó ïîìåùàåì â óçåë, ïîëîæèâ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñ÷åò÷èêà ðàâíûì; "ïîãëîùàþùèìè"îáúÿâëÿåì òî÷êè ãðàíèöû ;2) ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìèïåðåìåùàåì òî÷êó â îäèí èç ñîñåäíèõ óçëîâ,ïðèáàâèâ ê ñ÷åò÷èêó ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå;3) ñíîâà âûïîëíÿåì ï.
è ò.ä., ïîêà òî÷êà íå âûéäåò íà ãðàíèöó;4) ïîñëå âûõîäà íà ãðàíèöó ê ñ÷åò÷èêó ïðèáàâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèåè òðàåêòîðèÿ îáðûâàåòñÿ; ðåçóëüòàòèâíîå çíà÷åíèå ñ÷åò÷èêà äàåò âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξi,j .×èñëåííûå ïðîöåäóðû òàêîãî òèïà èññëåäóþòñÿ äàëåå â ãëàâå 7.Ñëåäóþùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü è ÷èñëåííî ìîäåëèðîâàòü ìíîãèå ðåàëüíûå ÿâëåíèÿ â ôèçèêå, òåõíèêå, áèîëîãèè, äåìîãðàôèè è äð.Îïðåäåëåíèå 2.16.ξi , i = 0, 1, 2, . . .Îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâàñ íåîòðèöàòåëüíûìè öåëî÷èñëåííûìè çíà÷åíèÿìè íàçûâàåòñÿ âåòâÿùèìñÿ ïðîöåññîì ñ îäíèìòèïîì ÷àñòèö èëè ïðîöåññîì ÃàìèëüòîíàÂàòñîíà, åñëè åå ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè pmn(i) = P(ξi = n|ξ0 = m) çà i øàãîâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿìpmn (i) = δ0n ïðè m = 0,(2.29)ãäå δmn ñèìâîë Êðîíåêêåðà, èpmn (i) =Xp1n1 (i) × p1n2 (i) × .
. . × p1nm (i).(2.30)n1 +...+nm =nÏðèíÿòà ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ. Ìîäåëü, îïèñûâàåìóþ âåòâÿùèìñÿ ïðîöåññîì,÷àñòî íàçûâàþò. Çíà÷åíèå âåòâÿùåãîñÿ ïðîöåññà ξi â ìîìåíò i íàçûâàþòèëèâ ïîïóëÿöèè â ïîêîëåíèè ñ íîìåðîì i. Ãîâîðÿò òàêæå,÷èñëîì ÷àñòèöïîïóëÿöèåéèíäèâèäóóìîâîáùåå ÷èñëî ïîòîìêîâ÷àñòèö íóëåâîãî ïîêîëåíèÿ÷òî ξi åñòüξ0â ïîêîëåíèè ñ íîìåðîì i. Ðàâåíñòâî (2.29) îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñàìîâîçðîæäåíèÿ ïîïóëÿöèè ïîñëå òîãî, êàêâñå ÷àñòèöû èñ÷åçëè, ëèáî îòñóòñòâèå èììèãðàöèè (ïðèòîêà ÷àñòèö èçâíå). Ðàâåíñòâî(2.30), îçíà÷àþùåå, ÷òî pmn (i) ïðè i ≥ 1 ÿâëÿåòñÿ m-êðàòíîé ñâåðòêîé ðàñïðåäåëåíèÿp1n (i), n = 0, 1, 2, . .
. ñ ñîáîé, ýêâèâàëåíòíî ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî êàæäàÿ èç m ïåðâîíà÷àëüíûõ ÷àñòèö ýâîëþöèîíèðóåò (ãèáíåò, ïðåâðàùàåòñÿ â íîâûå ÷àñòèöû òîãî æå òèïà)íåçàâèñèìî îò äðóãèõ. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò òàêæå.Óêàæåì ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïîñëåäîâàòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ξi . Ââåäåì ζst , s, t = 1, 2, . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,èíòåðïðåòèðóåìûå êàê ÷èñëî ïîòîìêîâ, äàâàåìûõ ëþáîé èç t ÷àñòèö â ìîìåíò ïðåâðàùåíèÿ â i-îì ïîêîëåíèè, ò.å. P(ζst = n) = p1n , n = 0, 1, 2, . .
.. Ïóñòü çàäàíî öåëîåïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ξ0 = q .Àëãîðèòì 2.8.q=1ζ0t = δ0tq>1ζ0t = 1t = 1, . . . , qξiPξiξi+1 = t=0 ζiti = 0, 1, 2, . . .óñëîâèåì âåòâëåíèÿÅñëè, òî ïîëàãàåì. Åñëè, òî ïîëàãàåìïðè. Äëÿ ñëåäóþùèõ ïîêîëåíèé âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ ñîãëàñíî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëåäëÿ. çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 2.8 ìîæíî ñòðîèòü ÷èñëåííûåïðîöåäóðû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì.
äàëåå ãëàâó 4).2.4.5. Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî. Ïóñòü {ζk } , ò.å. íàáîð íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ íóëåâûì ñðåäíèì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé; çäåñü k ∈ Z , ò.å. k =0, ±1, ±2, . . .. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåìñòàíäàðòíàÿ íåêîððåëèðî-âàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüξi = a0 ζi + a1 ζi−1 + . .
. + aN ζi−N ,(2.31)ãäå {a0 , a1 , . . . , aN } ôèêñèðîâàííûé íàáîð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(2.31) íàçûâàåòñÿN . ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿâûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξi äîñòàòî÷íî ïðîñòà.Àëãîðèòì 2.9.ξ0N +1{ζ−N , ζ−N +1 , . . . , ζ1 , ζ0 }ζFζ (x)(2.31)i=0ξ1ζ1Fζ (x)(2.31)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êàæäîãî èç ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ξi , i ≥ 1 òðåáóåòñÿ îäíî äîïîëíèòåëüíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî ζ . Ïðîöåññ (2.31) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûìâ øèðîêîì ñìûñëå.
Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèäZ πR(n) =eiλn f (λ) dλ,(2.32)ïðîöåññîì ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïîðÿäêà1). Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ðåàëèçóåìçíà÷åíèéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîãëàñíî ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿè âû÷èñëÿåì òðåáóåìîå çíà÷åíèå ïî ôîðìóëåäëÿ.2). Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ çíà÷åíèÿ ðåàëèçóåì äîïîëíèòåëüíî îäíî çíà÷åíèå ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿè ïðèìåíÿåì ôîðìóëóè ò.ä.−πà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ðàâíàf (λ) =21 a0 + a1 e−iλ + . . . + aN e−iN λ .2π(2.33)Íàïðèìåð, äëÿ an ≡ A/(N + 1), n = 0, 1, . . .
, N èìååìA2sin2 ((N + 1)λ/2)f (λ) =×.2π(N + 1)2sin2 (λ/2)Îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîöåññà (2.31) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâåðòêó ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {an ζi−n }. ×àùå âñåãî ìîäåëü (2.31) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ,êîãäà ζ ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.  ýòîì ñëó÷àå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi áóäóò ãàóññîâñêèìè (âåäü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíèìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå). ðÿäå ïðèêëàäíûõ çàäà÷ èçâåñòíà òîëüêî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ R(n), è òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ìîäåëü âèäà (2.31).
 ýòîì ñëó÷àå íàõîäèòñÿpñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüf (λ) (êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò R(n)), çàòåì ôóíêöèÿ f (λ) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿäÔóðüå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ {an } èç ôîðìóëû (2.31).2.4.6. Ïðîöåññ àâòîðåãðåññèè. Ïóñòü {ζk } ñòàíäàðòíàÿ íåêîððåëèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà {ξi }:ξi + b1 ξi−1 + . . . + bM ξi−M = ζi .(2.34)Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åñëè îíî ñóùåñòâóåò êàê ñòàöèîíàðíûé â øèðîêîì ñìûñëåïðîöåññ, íàçûâàåòñÿM Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.34) ñóùåñòâóåò, åñëè íóëè ïîëèíîìà Q(z) = 1 + b1 z + .
. . + bM z M ëåæàò âíååäèíè÷íîãî êðóãà â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ôîðìóëà (2.34) ïîðîæäàåò ïðîñòîé àëãîðèòì ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ξi .Àëãîðèòì 2.10.{ξ−M , ξ−M +1 , . . . , ξ−2 , ξ−1 }ζ0Fζ (x)ξ0 = ζ0 − b1 ξ−1 − . . . − bM ξ−Mζ1Fζ (x)ξ1 = ζ1 − b1 ξ0 − b2 ξ−1 − . .
. − bM ξ−M +1Îïðåäåëåííóþ ïðîáëåìó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûáîð çíà÷åíèé {ξ−M , ξ−M +1 , . . . , ξ−2 , ξ−1 }â ïåðâîì ïóíêòå àëãîðèòìà 2.10. "Íåóäà÷íûé"âûáîð ýòèõ çíà÷åíèé ìîæåò ïðèâåñòè,íàïðèìåð, ê òîìó, ÷òî ñòàöèîíàðíîñòü ïðîöåññà ξi âîçíèêàåò òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íîáîëüøèõ i. Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ÷àùå âñåãî ðåàëèçóþò çíà÷åíèÿ{ξ−M , ξ−M +1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
