1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . , |rl |) QT .Åñëè ri = 0, òî îñóùåñòâëÿåòñÿ çàìåíà ri → ε > 0.Äîïîëíèòåëüíî îòìåòèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî R = AAT , êîòîðîå ïðèíÿòîíàçûâàòü.Ïðèìåð 1.19. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû äëÿ òðåõìåðíîãî íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η = (η1 , η2 , η3 ) ñ ïàðàìåòðàìè 39 0 0m = 2 , R = 0 4 2 .40 2 3ðàçëîæåíèåì ÕîëåññêîãîÒîãäà äëÿ ìàòðèöû A ïðåîáðàçîâàíèÿ η = A ξ + m, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1.145) (ïðèìåíåííûì äëÿ a11 è a22 ) è (1.146) (äëÿ a32 è a33 ), èìååìppa12 = a13 = a21 = a31 = a23 = 0, a11 = R11 = 3, a22 = R22 = 2,s√R23R2= 1, a33 = R33 − 23 = 2a32 = √R22R22è, ñëåäîâàòåëüíî, àëãîðèòì 1.47 èìååò âèäη1 = 3 ξ1 + 3,η2 = 2 ξ2 + 2,η3 = ξ2 +√2ξ3 + 4,ãäå íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , ξ3 ðåàëèçóþòñÿñîãëàñíî ôîðìóëå (1.139).ÃËÀÂÀ 2.
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂÈ ÏÎËÅÉ2.1. ÎÁÙÈÅ ÏÐÈÍÖÈÏÛ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ È ÏÎËÅÉ2.1.1. Âûáîðî÷íîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ, îïèñàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ òðàåêòîðèé ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ñâÿçàíû ïðåæäå âñåãî ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì,÷òî ñàìî ïîíÿòèåÿâëÿåòñÿ âî ìíîãîì áîëåå ñëîæíûì äëÿ èçó÷åíèÿìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòîì, ÷åì ïîíÿòèå. Òðàäèöèîííûå (íå ñïåöèàëèçèðîâàííûå) êóðñû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîñâÿùåíû, êàê ïðàâèëî, èçó÷åíèþ òîëüêîñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.  ñâÿçè ñ ýòèì íàì íåîáõîäèìî ââåñòè íà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ òåîðèèñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé [14].ñëó÷àéíîé ôóíêöèèñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 2.1.
Ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ(t) = ξ(t, ω), çàäàííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå Ω ñ σ-àëãåáðîé è ìåðîé P(A), A ∈ A, è çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà t, ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ èç íåêîAòîðîãî ìíîæåñòâà T . Åñëè T åñòü ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî â R, òî ξ(t) ñëó÷àéíûéïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (ïðèìåðàìè òàêèõ ïðîöåññîâ ñëóæàò ñëó÷àéíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, öåïè Ìàðêîâà, ìàðòèíãàëû è äð.), à åñëè T = (a, b) ⊆R, òî ξ(t) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Åñëè T ÿâëÿåòñÿïîäìíîæåñòâîì Rl , òî ξ(t) íàçûâàþò ñëó÷àéíûì ïîëåì ðàçìåðíîñòè l. äàëüíåéøåì äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì â êà÷åñòâå T áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûïóêëóþ îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé â Rl (äëÿ ïðîöåññîâ ýòî ïðîñòî îòðåçîê [a, b]).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ ξ(t) ïðèíàäëåæàòRs ïðè s > 1, òî êî âñåì ââåäåííûì ïîíÿòèÿì äîáàâëÿåòñÿ ïðèëàãàòåëüíîå "âåêòîðíûé"(è ò.ï.) è èñïîëüçóåòñÿîáîçíà÷åíèå ξ(t).Åñëè çàôèêñèðîâàòü ω0 ∈ Ω, òî ìû ïîëó÷àåì íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ξ(t, ω0 ) =ξ0 (t), t ∈ T .Îïðåäåëåíèå 2.2.ξ0 (t)òðàåêòîðèåéâûáîðî÷íîéâåêòîðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, âåêòîðíîå ñëó÷àéíîå ïîëåÔóíêöèÿíàçûâàåòñÿ, èëè ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè., èëèôóíêöèåéÒàêèì îáðàçîì, â ðîëè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûñòóïàþò ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Z(T ) ôóíêöèé z(t), t ∈ T , â êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ëåæàò òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t). Îáîçíà÷èì ÷åðåç AZ σ -àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ èç Z(T ),ïîðîæäåííóþ (ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ) òàê íàçûâàåìûìèâèäàöèëèíäðè÷åñêèìè ìíîæåñòâàìèA = {z ∈ Z : z(t1 ) ∈ Y1 , . . .
, z(tn ) ∈ Yn }äëÿ âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé n è t1 , . . . , tn èç T è áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ Y1 , . . . , Yn èçR. Åñëè ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξ(t, ω) çàäàíà, òî îíà îïðåäåëÿåò èçìåðèìîå îòîáðàæåíèåïðîñòðàíñòâà Ω ñ σ -àëãåáðîé A â ïðîñòðàíñòâî Z(T ) ñ σ -àëãåáðîé AZ , òàê êàê, î÷å−1âèäíî, ξ (A) = {ω : ξ(t, ω) ∈ A} ∈ A äëÿ ëþáîãî öèëèíäðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà A, èïîýòîìó ξ −1 (B) ∈ A äëÿ ëþáîãî B ∈ AZ . Ýòî îòîáðàæåíèå èíäóöèðóåòPξ (B) íà Z(T ), îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâàìè Pξ (B) = P(ξ −1 (B)) äëÿâñåâîçìîæíûõ B ∈ AZ .Îïðåäåëåíèå 2.3.Z(T ) σAZPξ (B)ðàñïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé ôóíêöèèñ -àëãåáðîé è ìåðîéâûáîðî÷íûì âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.ÏðîñòðàíñòâîíàçûâàåòñÿÅùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èñõîä "ω̃ "äëÿ âûáîðî÷íîãî âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òðàåêòîðèåé ïðîöåññà.Äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì â êà÷åñòâå Z(T ) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â îñíîâíîì äâà ïðîñòðàíñòâà: C(T ) è D(T ). Ìíîæåñòâî C(T ) ýòî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà T ôóíêöèé, ïðè÷åì σ -àëãåáðà AC ñîâïàäàåò â ýòîì ïðîñòðàíñòâåñ σ -àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâàìè, îòêðûòûìè îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ìåòðèêèρC (z1 , z2 ) = sup |z1 (t) − z2 (t)|, z1 (t), z2 (t) ∈ C(T ).t∈TÏðîñòðàíñòâî D(T ) îïðåäåëèì ñíà÷àëà äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïðè T = [a, b] ⊂ R:ýòî ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé z(t), çàäàííûõ íà îòðåçêå [a, b], áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà,ò.å.
â êàæäîé òî÷êå t ∈ (a, b) ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû z(t + 0) è z(t − 0), ïðè÷åìçíà÷åíèå z(t) ñîâïàäàåò ëèáî ñ z(t + 0), ëèáî ñ z(t − 0). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðèíèìàåìz(t) = z(t + 0) è z(b) = z(b − 0). Çäåñü ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåòðèêà, ïîðîæäàþùàÿ AD ,íîñèò íàçâàíèåè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ìåòðèêè ÑêîðîõîäàρD (z1 , z2 ) = inf {ρC (z1 (t), z2 (θ(t))) + sup |t − θ(t)|},θ(t)∈Θa≤t≤bãäå z1 (t), z2 (t) ∈ D([a, b]), à Θ ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåïðåðûâíûõ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèõ íà [a, b] ôóíêöèé θ(t), äëÿ êîòîðûõ θ(a) = a, θ(b) = b.Ñïåöèôèêîé ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ T ⊂ Rl ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî èìååòñÿ íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê îïðåäåëåíèþ ôóíêöèîíàëüíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâàD(T ).
Çäåñü ìû ðåàëèçóåì ïîäõîä Í.Í.×åíöîâà [5], ñîñòîÿùèé â ñëåäóþùåì.Ïóñòü T = [a1 , b1 ] × . . . × [al , bl ]. Äëÿ êàæäîãî i (i = 1, . . . , l) áóäåì ðàññìàòðèâàòüôóíêöèþ z(t) = z(t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl ), çàäàííóþ íà T , êàê ôóíêöèþ ãëàâíîãî àð(0)ãóìåíòà ti , ñòàâÿùóþ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ti = ti ∈ [ai , bi ] ýëåìåíò(0)g(s) = z(t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , .
. . , tl ),s = (t1 , . . . , ti−1 , ti+1 , . . . , tl ),íîðìèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Gi ñ íîðìîékgkGi = sup |g(s)|,s∈T(i)ãäå T(i) = [a1 , b1 ] × . . . × [ai−1 , bi−1 ] × [ai+1 , bi+1 ] × . . . × [al , bl ]. Òîãäà îòñóòñòâèå ti -ðàçðûâîâ(0)âòîðîãî ðîäà ââîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì: â êàæäîé òî÷êå ti ∈ [ai , bi )(0) (0)(1)(0)äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî ti + δ ≤ bi è äëÿ âñåõ ti ∈ (ti , ti + δ)âûïîëíåíî(0)(1)kz(t1 , .
. . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl ) − z(t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )kGi < ε.Ïîëó÷àåì D(T ) ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà ïî êàæäîé êîîðäèíàòå ñ îáîáùåííîé ìåòðèêîé Ñêîðîõîäà:n(0)ρ̄D (z1 , z2 ) = max infsup kz1 (t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )−i=1,...,l θ(i) ∈Θ(i)−z2 (t1 , . . . , ti−1 , θ(i)(0)ai ≤ti ≤bi(0)(ti ), ti+1 , . . .
, tl )kGi+sup(0)|ti−θ(i)o.(0)(ti )|(0)ai ≤ti ≤bi2.1.2. Êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ. Ãàóññîâñêîå ñëó÷àéíîåÏðè îïðåäåëåíèè è ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ïîíÿòèå. Åñëè ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) çàôèêñèðîâàòü çíà÷åíèÿ t(1) , . . . , t(K) èç T , òî ìû ïîëó÷èì ìíîãîìåðíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (ñëó÷àéíûéâåêòîð) (ξ(t(1) ), . . . , ξ(t(K) )).Îïðåäåëåíèå 2.4.(ξ(t(1) ), .
. . , ξ(t(K) ))K(1)(K)t ,...,têîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìèïîëå.ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ÷àéíîé ôóíêöèè.Ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èííàçûâàþòäëÿ ðàçëè÷íûõèñëó-Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, êàê ïðàâèëî, çàäàåòñÿ ñâîèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ïðè ýòîì îíè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñïåöèàëüíûì.Êðîìå òîãî, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî åñëè íå äàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î ñâîéñòâàõ òðàåêòîðèé ôóíêöèè, òî äàííûé íàáîð êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé îïðåäåëÿåòöåëûé êëàñññëó÷àéíûõ ôóíêöèé.
Îäíàêî, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæàëè ïðîñòðàíñòâàì C(T ) èëèD(T ), òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþò ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ îäíîçíà÷íî.Îïðåäåëåíèå 2.5.m(t) = Eξ(t)ôóíêöèåé ìàòåìàòè÷å-óñëîâèÿì ñîãëàñîâàííîñòèñòîõàñòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûõÔóíêöèÿíàçûâàåòñÿñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, à ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõR(t(1) , t(2) ) = E(ξ(t(1) ) − m(t(1) )) (ξ(t(2) ) − m(t(2) ))(2.1)êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéèìååò âèä. Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèéξ(t)R(t(1) , t(2) ) = E(ξ(t(1) ) − m(t(1) )) (ξ(t(2) ) − m(t(2) ))∗ ,ýòà ôóíêöèÿ(2.2)ãäå çíàê ”∗” îáîçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Ôóíêöèÿ D(t) = R(t, t) íàçûâàåòñÿôóíêöèåé äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. íåêîòîðûõ ðàáîòàõ ôóíêöèÿ âèäà (2.1) (èëè (2.2)) íàçûâàåòñÿ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé, êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé, àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé.Ôóíêöèè m(t) è R(t(1) , t(2) ) ÿâëÿþòñÿ óñðåäíåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè îäíîìåðíûõè äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé è, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëíîñòüþ íå îïðåäåëÿþò ñëó÷àéíóþôóíêöèþ.
Èìååòñÿ îäèí âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèè m(t) è R(t(1) , t(2) )ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñëó÷àéíîå ïîëå ξ(t) (ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t)).Äåéñòâèòåëüíîå ñëó÷àéíîå ïîëå (ïðîöåññ) íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè âñå åãî ñîãëàñîâàííûå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
