1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Äëÿ r = 0 èç ôîðìóëû (1.117)ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ β (0) (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûξ (0) = α1 − 1/2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ r = k âûïîëíåíî, ÷òî β (k) (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (k) . Çàìåòèì, ÷òî ξ (k+1) = (αk+2 − 1/2) + ξ (k) .Ïîëàãàÿ γ1 = αk+2 −1/2 è γ2 = ξ (k) , èç ñôîðìóëèðîâàííîãî óòâåðæäåíèÿ î ñâåðòêå ïëîòíîñòåé ïîëó÷àåì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ = ξ (k+1) èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿβ (0) ∗ β (k) (u) = β (k+1) (u).
Òàêèì îáðàçîì, èíäóêòèâíûé ïåðåõîä îáîñíîâàí, è óòâåðæäåíèå 1.17 âåðíî äëÿ ëþáîãî r.Äîêàçàòåëüñòâî.1.9. ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÃÀÌÌÀ- È ÁÅÒÀ-ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ1.9.1. Îñíîâíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ.(γ)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξλ,νèìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà, åñëè åå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäåÎïðåäåëåíèå 1.6.(γ)fλ,ν (u) =çäåñü Γ(ν) =λν uν−1 e−λ u,Γ(ν)u > 0; λ > 0,ν > 0;(1.118)wν−1 e−w dw ãàììà-ôóíêöèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ïðè ν = 1 ñîîòíîøåíèå (1.118) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíàêîìóþ íàì ïî(γ)ïîäðàçä.
1.4.1 ïëîòíîñòü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: fλ,1 (u) = λ e−λ u , u > 0, λ > 0(ñì. ïðèìåð 1.4) ñ ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîéR +∞0(γ)ξλ,1 = −ln αλ(1.119)(ñì. ñîîòíîøåíèå (1.53)). Ïðè öåëîì ïîëîæèòåëüíîì ν = n > 1 ñîîòíîøåíèå (1.118)èíîãäà íàçûâàþò, è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíûõ ν = nâûïîëíåíî Γ(n) = (n − 1)!, ïëîòíîñòü (1.118) â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäðàñïðåäåëåíèåì Ýðëàíãà(γ)fλ,n (u) =λn un−1 e−λ u, n > 1.(n − 1)!(1.120)Ïðè λ = 1/2, ν = l/2 è öåëîì ïîëîæèòåëüíîì l ñîîòíîøåíèå (1.118) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ χ2l:-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû(γ)fχ2l (u) = f1/2,l/2 (u) =ul/2−1 e−u/2.2l/2 Γ(l/2)(1.121)(γ)Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξλ,ν øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ.(γ)(γ)(γ)Óòâåðæäåíèå 1.18.ξλ,νξλ,µξλ,ν +Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èíåçàâèñèìû, òî=; ðàâåíñòâî îçíà÷àåò çäåñü ñîâïàäåíèå ðàñïðåäåëåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.(γ)ξλ,µ(γ)ξλ,ν+µÑôîðìóëèðîâàííîå ñâîéñòâî òåñíî ñâÿçàíî ñî ñëåäóþùèì ïîíÿòèåì.Îïðåäåëåíèå 1.7.ζáåçãðàíè÷íî(n)äåëèìûìnζ = ζ1 +(n)(n).
. . + ζnζj , j = 1, . . . , nÐàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ, åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå, ãäå íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû.Èíäóêöèåé ïî n íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç óòâåðæäåíèÿ 1.18 ñëåäóåò áåçãðàíè÷(n)(γ)íàÿ äåëèìîñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (1.118): çäåñü ñëåäóåò âçÿòü ζj = ξλ,ν/n .
Ñâîéñòâî áåçãðàíè÷íîé äåëèìîñòè îáóñëàâëèâàåò äîñòàòî÷íî øèðîêîå ïðèìåíåíèå ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ è ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.(γ)Óòâåðæäåíèå 1.18 ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξλ,ν â âèäå ñóììû(γ)(γ)(γ)ξλ,ν = ξλ,ν1 + ξλ,ν2 ,(1.122)ãäå ν1 = [ν] öåëàÿ ÷àñòü, à ν2 = {ν} äðîáíàÿ ÷àñòü ïàðàìåòðà ν .Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ñóììû (1.122) ìîæíî åùå ðàç èñïîëüçîâàòü(γ)ñâîéñòâî áåçãðàíè÷íîé äåëèìîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðåäñòàâèòü ξλ,ν1 â âèäå ñóììû èç ν1 ñëàãàåìûõ:(γ) (ν1 )(γ) (ν1 )γξλ,ν=ξ+...+ξ.λ,1λ,111ν1Ñîãëàñíî ïðèìåðó 1.4 è ñîîòíîøåíèÿì (1.53) è (1.119), äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íîãî(γ)çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξλ,ν1 ìîæíî ïðåäëîæèòü ôîðìóëóln αν1ln (α1 × .
. . × αν1 )ln α1(γ)+ ... + −=−.(1.123)ξλ,ν1 = −λλλ(γ)Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå äàåò àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξλ,n ðàñïðåäåëåíèÿ Ýðëàíãà (1.120) (ñëåäóåò ëèøü çàìåíèòü ν1 íà n â ôîðìóëå (1.123)).  äàëüíåéøåì íàì òàêæå ïîíàäîáèòñÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ÷åòíûì ÷èñëîì l = 2k ñòåïåíåé ñâîáîäû (ñì. ôîðìóëó (1.121)), êîòîðàÿ íåïîñðåäñòâåííîïîëó÷àåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (1.123):(γ)χ22k = ξ1/2,k = −2 ln (α1 × .
. . × αk ).(1.124)(γ)Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî ξλ,ν2 ñóììû (1.122)ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé ìàæîðàíòíûé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ (ñì. àëãîðèòì 1.24).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè g(u) = uν2 −1 e−λ u , ïðîïîðöèîíàëüíîé ïëîòíîñòè (1.118),ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ν −1u2ïðè 0 < u < 1,g(u) ≤ g1 (u) =e−λ u ïðè u ≥ 1.Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìàæîðàíòíîãî ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.Àëãîðèòì 1.35.ξ1 = ψ1 (α1 )f1 (u) = C g1 (u)C = λ/(λ ν2−1 + e−λ )1/ν2−λα)/λα1 ≤ λ/(λ + ν2 e−λ ),1 (λν2 eψ1 (α1 ) =−1−(1/λ) ln((1 − α1 )(e−λ + λν2 ))íîñòè1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèåñîãëàñíî ïëîò(íåñëîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà ðàâíà); çäåñüïðèèíà÷å(âûâîä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîäðîáíî îïèñàí â ïðèìåðå 1.8).
Ðåàëèçóåì òàêæå çíà÷åíèåη = α2 g1 (ξ1 ).(γ)2. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå η < g(ξ1), òî ïîëàãàåì ξλ,ν= ξ1 , èíà÷å ïîâòîðÿåì ï. 1è ò.ä.2Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.92), òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà 1.35 ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíåR +∞g1 (w) dwλ ν2−1 + e−1s = R0+∞=.λ Γ(ν2 )g(w) dw0√Íàïðèìåð, äëÿ ν2 = 1/2 èìååì s = (2λ + e−1 )/(λ π). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè λ = 1âåëè÷èíà s ìîíîòîííî ðàñòåò îò s = 1 (ïðè ν2 ↓ 0) äî s = 1 + e−1 ≈ 1.36 ïðè ν2 = 1. Â÷àñòíîñòè, ïðè ν2 = 1/2 èìååì s ≈ 1.33.1.9.2. Ìîäåëèðîâàíèå îäíîãî ñïåöèàëüíîãî êëàññà ðàñïðåäåëåíèé.
Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò.Óòâåðæäåíèå 1.19.ζ(0, A)˜˜0 < A ≤ +∞f (u)f (A) = 0a > −1f˜(u) u−au>0ξ1f1 (u) = (a + 1) ua0 < u < 1 ξ2Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå,ñ ïëîòíîñòüþòàêîé, ÷òî, è äëÿ íåêîòîðîãîôóíêöèÿàáñîëþòíî íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè. Ïðåäïîëîæèìòàêæå, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþïðè, à ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþf2 (u) =−ua+1 (f˜(u) u−a )0a+1ïðè0 < u < A.Òîãäà ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå ζ = ξ1 ξ2.Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî ôóíêöèÿ f2 (u) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿïëîòíîñòüþ, ò.ê. îíà ïîëîæèòåëüíà â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f˜(u) u−a , à èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì äàåòZ AZ A ˜Z A−wa+1 (f˜(w) w−a )0 dww f˜(w) Af (w) w−a dwa+1=−=f˜(w) dw = 1. +a+1a+1a+10000Äëÿ u òàêîãî, ÷òî 0 < u < A, èìååìP(ξ1 ξ2 < u|ξ1 = v) = P(ξ2 < u/v) = F2 (u/v),Rxãäå F2 (x) = 0 f2 (w) dw ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 . Ïî ôîðìóëåïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåìZ 1P(ξ1 ξ2 < u) = Fξ1 ξ2 (u) =F2 (u/v) (a + 1) v a dv.0Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî u è ïðîèçâåäÿ çàìåíó y = u/v , èìååìZ 1Z ∞Z Auaa−1a(f˜(y) y −a )0 dy = f˜(u).fξ1 ξ2 (u) =f2 (u/v) (a+1) vdv =f2 (y) (a+1) a+1 dy = uyu0uÓòâåðæäåíèå 1.19 ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü êàê ÷èñëåííóþ ïðîöåäóðó ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ áåòà-ðàñïðåäåëåíèå (ñì.
ïîäðàçä. 1.9.3),òàê è àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ ðÿäà ñïåöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïðèìåð 1.17. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ζ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf˜(u) = −C ub ln u;0 < u < 1,b > −1,ò.å. çäåñü A = 1. Èíòåãðèðóÿ ôóíêöèþ f˜(u) îò íóëÿ äî åäèíèöû ïî ÷àñòÿì, íåñëîæíîïîëó÷èòü, ÷òî C = (b + 1)2 .Àëãîðèòì 1.36.a=bξ11/(b+1)bf1 (u) = (b + 1) u : ξ1 = α1ξ20<u<11. Ïîëàãàåìè ìîäåëèðóåì çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûñîãëàñíî ïëîòíîñòè ñòåïåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.2. Ðåàëèçóåì çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû , êîòîðàÿ ïðèèìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf2 (u) =−ua+1 (f˜ u−a )0ub+1 (C u−1 )== (b + 1) ub ,a+1b+1ïî ôîðìóëå ξ2 = α21/(b+1).3. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ζ = ξ1 ξ2 = (α1 α2)1/(b+1).Ïðèìåð 1.18.Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ζ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf˜(u) = C arccos u,0 < u < 1,ò.å.
çäåñü ñíîâà A = 1. Èíòåãðèðóÿ ôóíêöèþ f˜(u) îò íóëÿ äî åäèíèöû ïî ÷àñòÿì,ïîëó÷àåì C = 1.Àëãîðèòì 1.37.a=0f1 (u) = 10<u<1ξ1 = α1ξ20<u<11. Ïîëàãàåì(ò.å.ïðèçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.2. Ðåàëèçóåì çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû , êîòîðàÿ ïðèíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿuf2 (u) = −u f˜0 (u) = √1 − u2) è ìîäåëèðóåìèìååò ïëîò-.Ïðè ýòîì èñïîëüçóåìpìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîëó÷àåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó: ξ2 = 1 − α22.p3. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ζ = ξ1 ξ2 = α1 1 − α22.1.9.3.
Ìîäåëèðîâàíèå áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ.(β)Cëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξν,µèìååò áåòà-ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ååïëîòíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäåÎïðåäåëåíèå 1.8.(β)fν,µ(u) =çäåñü B(ν, µ) =uν−1 (1 − u)µ−1,B(ν, µ)0 < u < 1; ν > 0,µ > 0;(1.125)wν−1 (1 − w)µ−1 dw áåòà-ôóíêöèÿ. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèåR10B(ν, µ) =Γ(ν) Γ(µ)= B(µ, ν).Γ(ν + µ)(1.126)Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1.16 è ôîðìóëå (1.116) (ñì. ïîäðàçä. 1.8.4), äëÿ öåëûõ ν è µïëîòíîñòü (1.125) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ν -é ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè äëÿ(ν + µ − 1) íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà α, ÷òî è îïðåäåëÿåò(β)(ν+µ−1)ñïîñîá ìîäåëèðîâàíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå: ξν,µ = αν(ñì. àëãîðèòì1.34).Òåïåðü ïîñòðîèì àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äðóãèõ ñî÷åòàíèé ïàðàìåòðîâ ν è µ.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà µ öåëîå, à ν íåöåëîå (âñåäàëüíåéøåå ïîäõîäèò è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ν íåöåëîå, à µ öåëîå, äîñòàòî÷íî ëèøüïðîèçâåñòè â (1.125) çàìåíó ïåðåìåííûõ v = 1 − u).(β)(β)Ïðèìåíèì óòâåðæäåíèå 1.19 äëÿ f˜(u) = fµ,ν (u), A = 1 è a = ν − 1. Òîãäà ξν,µ = ξ1 ξˆ2 ,ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ1 ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ f1 (u) = ν uν−1 , 0 < u < 1, à ξˆ2ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ−ua+1 (f˜(u) u−a )0uν (1 − u)µ−2fˆ2 (u) ==.a+1B(ν + 1, µ − 1)Âíîâü ïðèìåíÿåì óòâåðæäåíèå 1.19 äëÿ f˜(u) = fˆ2 (u), A = 1 è a = ν . Òîãäà ξˆ2 = ξ2 ξˆ3 ,ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ2 ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþf2 (u) = (ν + 1) uν , 0 < u < 1, àξˆ3 ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ fˆ3 (u) = uν+1 (1 − u)µ−3 /B(ν + 2, µ − 3).Ýòîò ïðîöåññ ïðîäîëæàåì äî òåõ ïîð ïîêà èíäåêñ j ïëîòíîñòè fˆj íå ñòàíåò ðàâíûìµ; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè (1 − u) áóäåò ðàâåí íóëþ.
Ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå(β)ξν,µ = ξ1 ×. . .×ξµ , ãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ðàñïðåäåëåíû ñî ñòåïåííûìè ïëîòíîñòÿìèfi (u) = (ν+i−1) uν+i−2 , 0 < u < 1. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.55) èç ïðèìåðà 1.5, äëÿ ξi èìååì1/(ν+i−1)ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû ξi = αi; i = 1, . . . , µ. Òîãäà äëÿ ñëó÷àÿ íàòóðàëüíîãî µèìååì ñëåäóþùèéÀëãîðèòì 1.38.µα1 , .
. . , αµ(β)ξν,µÐåàëèçóåì ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåëåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî ôîðìóëå(β)ξν,µ=µY1/(ν+i−1)αiè âû÷èñëÿ-.(1.127)i=1Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà è ν è µ íå ÿâëÿþòñÿ öåëûìè. Ïóñòü m = [µ]+1−(β)µ, ãäå [µ] îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà µ. Ïðåäñòàâèì ïëîòíîñòü fν,µ (u) ñëåäóþùèìîáðàçîì:uν−1 (1 − u)[µ] (1 − u)−m(β)fν,µ(u) =B(ν, µ)è ðàçëîæèì (1 − u)−m ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà:−m(1 − u)=∞XCi uii=0i!; C0 = 1, Ci = m (m + 1) × . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
