1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Åñëè P ≤ 1, òî ïîëàãàåìpN = 1 − P , è ñëó÷àéíûé âåêòîð x ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1.18,åñëè P > 1, òî ìåòîä ïîâòîðåíèÿ íåïðèìåíèì. çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ìåòîä ïîâòîðåíèÿ äàåò ñëó÷àéíûé âåêòîð x ñî ñïåöèàëüíûì âûðîæäåííûì ìíîãîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, ïëîòíîñòü êîòîðîãî, íàïðèìåð, âäâóìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèäf (u, v) = q f (u)δ(v − u) + (1 − q)f (u)f (v),ãäå δ(v − u) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà (ñì. ïîäðàçä. 1.4.2).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ f (u) áåçãðàíè÷íî äåëèìî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿëþáîãî íàòóðàëüíîãî K ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x ïðåäñòàâèìà â âèäå x = x(1) + . . . + x(K) ,ãäå x(k) , k = 1, . . . , K íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñîãëàñíî ïëîòíîñòèf1/K (u) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ñì. òàêæå îïðåäåëåíèå 1.7 èç ïîäðàçä. 1.9.1). Òîãäà ìîäåëèðóåìîå ìíîãîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî óëó÷øàòü, ðàññìàòðèâàÿ ðåàëèçàöèè âèäàx = x(1) + . . . + x(K) , ãäå {x(k) } íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè âåêòîðîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1.18 ñîãëàñíî îäíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïëîòíîñòüþ f1/K (u) èêîððåëÿöèîííîé ìàòðèöå R = {rij }.1.6.
ÌÅÒÎÄ ÑÓÏÅÐÏÎÇÈÖÈÈ1.6.1. Ìåòîä èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèè.  ýòîì è ñëåäóþùåì ðàçäåëàõ èçó÷àþòñÿ äâà ìåòîäà ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé îäíîìåðíûõ è ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿ êîòîðûõ íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû1.14 è 1.16. Ýòî ìåòîäû ñóïåðïîçèöèè è èñêëþ÷åíèÿ, â êîòîðûõ ïðåäóñìàòðèâàåòñÿìîäåëèðîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Îïèøåì ñíà÷àëà îáùóþ ñèòóàöèþ, â êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñóïåðïîçèöèè.Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé k1 ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , ïëîòíîñòü êîòîðîãî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåèíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðà u ∈ Rk1Zf (u) =p(u, v) dv(1.77)Rk2òàêèì îáðàçîì, ÷òîp(u, v)1) ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ (k1 + k2)-ìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η);2) ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëå ïîëíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåéZf (u) =Rk2fη (v)fξ (u|v) dv(1.78)äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ξ è η ñ ïëîòíîñòÿìè fη (v) è fξ (u|v)èìåþòñÿ ýôôåêòèâíûå ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû (ôîðìóëû) ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âèäà η = ψη (ᾱ1), ξ = ψξ (ᾱ2; v), ãäå ᾱi ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû ñòàíäàðòíûõñëó÷àéíûõ ÷èñåë.Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1.11 (ïåðåôîðìóëèðîâàííîìó äëÿ ðàçëîæåíèÿ (1.67), (1.68)) ìîæíî èñïîëüçîâàòü.Àëãîðèòì 1.19.ξ(1.78)ξ = ψξ (ᾱ2 ; η 0 )η0ηη 0 = ψη (ᾱ1 )Ó÷èòûâàÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (1.78), â êîòîðîì âñïîìîãàòåëüíûé âåêòîðη èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ fη (v), íàçîâåì àëãîðèòì1.19(â îòëè÷èå îò, ðàññìîòðåííîãî äàëåå â ïîäðàçä.
1.6.2).Ïðèìåð 1.10. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿZ π/2v cos v cos uv dv, 0 < u < 1.f (u) = 2àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèèÐåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà , èìåþùåãîïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà, ñîãëàñíî àëãîðèòìó (ôîðìóëå),ãäå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî àëãîðèòìó(ôîðìóëå).ìåòîäîì èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèèçèöèèìåòîäà äèñêðåòíîé ñóïåðïî-0Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ p(u, v) =2v cos v cos uv, 0 < u < 1, 0 < v < π/2 è ïðåäñòàâëåíèå (1.78) äëÿ ýòîé ïëîòíîñòè (ñì.òàêæå ñîîòíîøåíèÿ (1.67), (1.68)):Z 1fη (v) =2v cos v cos uv du = sin 2v, 0 < v < π/2;0v cos uv2v cos v cos uv=, 0 < u < 1.2 cos v sin vsin vÏîëó÷åííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïëîòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿZ η0Z ξη0 cos(η0 u) dusin 2v dv = α1 è= α2 ,sin η000âûïèñûâàåì ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû:fξ (u|v) =η0 =arccos(1 − 2α1 )arcsin(α2 sin η0 )è ξ=.2η0Òàêèì îáðàçîì, âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìîæíî ïîëó÷àòü ïî ôîðìóëå:arcsin[α2 sin((1/2) arccos(1 − 2α1 ))]ξ=.(1/2) arccos(1 − 2α1 )1.6.2. Ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè. Ñèòóàöèÿ, êîãäà ïëîòíîñòü ìîäåëèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë (1.77), ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ðåäêîé.Ãîðàçäî ÷àùå â êà÷åñòâå âåêòîðà η èñïîëüçóåòñÿ îäíîìåðíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η ñ ðàñïðåäåëåíèåì P(η = i) = pi , i = 1, 2, .
. . , M ; M ≤ ∞.  ýòîìñëó÷àå, ôîðìàëüíî ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (1.78) àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (1.60) fη (v) =PMi=1 pi δ(v − i), ïîëó÷àåìf (u) =MXpi fi (u); fi (u) = fξ (u|η = i).(1.79)i=1Ñîãëàñíî òðåáîâàíèÿì, ïðè êîòîðûõ ïðèìåíèì àëãîðèòì 1.19, äîëæíû ñóùåñòâîâàòüýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η (âðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì 1.1 ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè åãî ìîäèôèêàöèè ñì. ðàçä. 1.2, 1.3) èâåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi (u) äëÿ ëþáîãî i. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (1.79)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âçâåøåííóþ ñóììó (ñìåñü) ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåìûõ ïëîòíîñòåé{fi (u)}. Ìåòîä ñóïåðïîçèöèè äëÿ ïëîòíîñòè (1.79) ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Àëãîðèòì 1.20.α1{pi }1.1η0 = mξfm (u)Àëãîðèòì 1.20 íàçûâàåòñÿèëè ïðîñòî.
Ýòîò ìåòîä íåòðóäíî îáîñíîâàòü ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåàëèçóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè,ðàññìàòðèâàÿPâ êà÷åñòâå ãèïîòåç çíà÷åíèÿ η = i ñ âåðîÿòíîñòÿìè pi : Fξ (u) = i pi Fi (u).Ïðèìåð 1.11.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ1). Ðåàëèçîâàâ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî÷èñëà, ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì , èñïîëüçóÿ àëãîðèòì èëè åãî ìîäèôèêàöèè,âûáèðàåì íîìåð.2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñîãëàñíî ïëîòíîñòè.ìåòîäîì äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèèìåòîäîìñóïåðïîçèöèè3f (u) = (1 + u2 ),8−1 < u < 1.(1.80)çàêîí Ðåëåÿ ìîëåêóëÿðíîãî ðàññåÿ-Ñîîòíîøåíèå (1.80) ïðåäñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìûé, èñïîëüçóåìûé â òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ. Ôóíêöèÿ (1.80)Rξíå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê êàê óðàâíåíèå −1 f (u) du =α ñâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ ξ 3 + 3ξ − 8α − 4 = 0, êîòîðîå íåðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ξ .Ïëîòíîñòü (1.80) ïðåäñòàâèìà â âèäå (1.79):íèÿ ôîòîíîâ â àòìîñôåðåf (u) =3 1 1 3 2× + × u,4 2 4 2−1 < u < 1,òî åñòü p1 = 3/4, f1 (u) = 1/2; p2 = 1/4; f2 (u) = 3u2 /2.
Ôóíêöèÿ f1 (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà èíòåðâàëå (−1, 1), à ôóíêöèÿ f2 (u) ÿâëÿåòñÿàíàëîãîì ïëîòíîñòè ñòåïåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïðèìåð 1.5) íà òîì æå èíòåðâàëå. Àëãîðèòì√ 1.20 çäåñü âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè α1 < 3/4, òî ξ = 2α2 − 1, èíà÷åξ = 3 2α2 − 1.Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ïëîòíîñòüþ (1.80) ïðèíàäëåæèò êëàññó ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè, îñîáåííîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ êîòîðûõîòðàæåíû äàëåå â ðàçä.
1.8.1.6.3. Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä ñóïåðïîçèöèè. Ðàññìîòðèì àëãîðèòì 1.20äëÿ ñëó÷àÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îäíîìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈ (a, b) ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ âèäà (1.79). Ïðåäïîëàãàåì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî âî âòîðîì ïóíêòå àëãîðèòìà 1.20 âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìîäåëèðóåòñÿ ìåòîäîì îáðàòíîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ò. å. âûðàæåíèå ξ = ψm (α2 ) ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ âèäà (1.48):Z ξfm (u) du = α2 .(1.81)aÑîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1.2, â ñëó÷àå, êîãäà â ïåðâîì ïóíêòå àëãîðèòìà1.20 âûáðàíPPmm−1íîìåð η = m, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α1 , ïîïàäàÿ â èíòåðâàë ∆m =p,pii=1i=1 i ,ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ∆m , è òîãäà ñïðàâåäëèâîPm−1 −1Óòâåðæäåíèå 1.12.β = α1 − i=1 pi pmÑëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàïðåäåëåíà â èíòåðâàëå (0, 1).ðàâíîìåðíî ðàñ-Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó òîãî, ÷òî α1 ∈ ∆m , èìååì Fβ (x) = P(β < x) = 0 ïðè x ≤ 0è Fβ (x) = 1 ïðè x ≥ 1. Äàëåå, äëÿ 0 < x < 1 ïîëó÷àåìP (β < x) ∩ (η = m)=Fβ (x) = P(β < x|η = m) =P(η = m)m−1m−1.XX=Ppi ≤ α1 <pi + x pm pm = x,i=1i=1ò. å. ôóíêöèÿ Fβ (x) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî÷èñëà α (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.2)).Óòâåðæäåíèå 1.12 îáîñíîâûâàåò ñëåäóþùóþ ìîäèôèêàöèþ àëãîðèòìà 1.20.Àëãîðèòì 1.21.α{pi }1.1mξ ∈ (a, b)ξ =ψm (β)1). Ðåàëèçîâàâ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî÷èñëà, ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì , èñïîëüçóÿ àëãîðèòì èëè åãî ìîäèôèêàöèè,âûáèðàåì íîìåð .2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûïî ôîðìóëå, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿξZfm (u) du = β,β = α−am−1Xpi p−1m(1.82)i=1îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé ξ .Ìîäèôèêàöèÿ ñîñòîèò â çàìåíå α2 íà β â óðàâíåíèè (1.81).
Ýòî ïîçâîëÿåò ëèêâèäèðîâàòü îäíó èç äâóõ òðóäîåìêèõ îïåðàöèé îáðàùåíèÿ ê ãåíåðàòîðó ñòàíäàðòíûõñëó÷àéíûõ ÷èñåë RAN DOM (ñì. çàìå÷àíèå 1.2).Ïðèìåð 1.12. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) =5(1 + (u − 1)4 ),120 < u < 2.Ýòàðàñïðåäåëåíèÿ, ò. ê. ñîîòíîøåíèåR ξ ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî5f (u) du = α ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ (ξ − 1) + 5ξ = 12α − 1, êîòîðîå íåðàçðåøèìî0îòíîñèòåëüíî ξ . Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå5115f (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u); p1 = , p2 = ; f1 (u) ≡ , f2 (u) = (u − 1)4 .6622Ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:2α2 ïðè α1 < 5/6,ξ=1 + (2α2 − 1)1/5 ïðè α1 ≥ 5/6.Äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè âåëè÷èíà β ðàâíà (6/5)α ïðè m = 1 èβ = 6α − 5 ïðè m = 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,(12/5)α ïðè α < 5/6,ξ=1 + (12α − 11)1/5 ïðè α ≥ 5/6.Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä èìååò äëÿ ýòîãî ïðèìåðà ïðåèìóùåñòâî, ò.
ê. ïðè åãî ïðèìåíåíèè íå òðåáóåòñÿ ðåàëèçîâûâàòü âòîðîå ñòàíäàðòíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî (à çàòðàòû íàîñòàëüíûå îïåðàöèè ó ñòàíäàðòíîãî è ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäîâ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò).1.6.4. Ìåòîä ñóïåðïîçèöèè äëÿ ñîñòàâíûõ ïëîòíîñòåé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå îáîáùåíèå ôîðìóëû (1.62), îïðåäåëÿþùåé ñîñòàâíóþ ïëîòíîñòü, ñîñðåäîòî÷åííóþíà äâóõ èíòåðâàëàõ:f (u) =MXpi fi (u)χ(ai ,bi ) (u),u ∈ (a1 , b1 ) ∪ . .
. ∪ (aM , bM ).(1.83)i=1Çäåñü {fi (u)} ýëåìåíòàðíûå ïëîòíîñòè, à {(ai , bi )} íåïåðåñåêàþùèåñÿ èíòåðâàëû.Àëãîðèòì ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (àëãîðèòì 1.15), ñôîðìóëèðîâàííûé â ïîäðàçä. 1.4.3 äëÿ ñëó÷àÿ M = 2, ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñîñòàâíûå ïëîòíîñòèâèäà (1.83) äëÿ M > 2.Ïóñòü â îáúåäèíåíèè (a1 , b1 ) ∪ .
. . ∪ (aM , bM ) äëÿ îïðåäåëåííîñòè âûïîëíåíî bi ≤ai+1 , i = 1, 2, . . . , M − 1. Âûïèøåì óðàâíåíèå âèäà (1.48) äëÿ ïëîòíîñòè (1.83):Z ξXMpi fi (u)χ(ai ,bi ) (u) du = α.(1.84)a1 i=1Pm(ñì.Íàõîäèì íîìåð m òàêîé, ÷òî α ∈ ∆m = Pm−1i=1 pii=1 pi ,àëãîðèòì 1.1), è ïîëàãàåì ξ = ψm(β), ãäå ξ = ψm(α) ôîðìóëà ìåòîäà îáðàòíîéôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýëåìåíòàðíîé ïëîòíîñòè fm(u), è β =Pm−1 −1α − i=1 pi pm .hÀëãîðèòì 1.22.Äåéñòâèòåëüíî, ïðè α ∈ ∆m èìååì ξ ∈ (am , bm ) è óðàâíåíèå (1.84) ïðèîáðåòàåò âèäZb1Zξp1 f1 (u) du + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
