1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî âåëè÷èíû ξ è F −1 (α) ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó (a, b), à ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ýòîì èíòåðâàëå, ïåðåïèøåì(1.43) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå F (ξ) = α.  ñâîþ î÷åðåäü, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (1.46),(1.47), ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåZ ξf (u) du = α.(1.48)íåïðåðûâíûìèaÐàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì, åñëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(1.48) ïðåäñòàâèìî â âèäå ξ = ψ(α), ãäå ψ(x) ïðîñòàÿ êîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõôóíêöèé, è âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ψ(x) íà ÝÂÌ ðåàëèçóåòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî.Óðàâíåíèå (1.48) ìîæåò áûòü íåðàçðåøèìûì ïî äâóì ïðè÷èíàì.
Ïåðâàÿ ïðè÷èíàñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.48) íå áåðåòñÿ (ò. å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ); ïðèìåðîì ìîæåòñëóæèòüñ ïëîòíîñòüþñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå2e−u /2f (u) = √ ,2π−∞ < u < +∞.(1.49)Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (1.49) èìååòñÿ ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ, ñâÿçàííûéñî ñâîéñòâàìè èçîòðîïíîãî âåêòîðà ñëó÷àéíîé äëèíû (ñì.
äàëåå ðàçä. 1.10).Âòîðàÿ ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò íå îêàçàòüñÿ ýëåìåíòàðíûì, ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî äàæå åñëè èíòåãðàë èç (1.48) áåðåòñÿ, ïîëó÷àåìîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü íåðàçðåøèìûì (â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ) îòíîñèòåëüíîξ .  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîé ñèòóàöèè ìîæíî ïðèâåñòèñ ïëîòíîñòüþAXf (u) =ai ui , 0 < u < 1; A = N ∨ +∞.(1.50)ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåi=0Ïîëó÷àåìîå ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (1.48) äëÿ ïëîòíîñòè (1.50) ñîîòíîøåíèåAXai ξ i+1 /(i + 1) = αi=0â îáùåì ñëó÷àå íåðàçðåøèìî (â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ) îòíîñèòåëüíî ξ ïðè N ≥ 2è ai 6= 0. Ñïåöèàëüíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (1.50) (â ÷àñòíîñòè,ìåòîä ñóïåðïîçèöèè äëÿ ñëó÷àÿ ai ≥ 0 è ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ {ai }) ïðåäñòàâëåíû äàëåå â ðàçä.
1.8.Íåñìîòðÿ íà ïåðå÷èñëåííûå òðóäíîñòè, ìîæíî ïîñòðîèòü íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ýòó âîçìîæíîñòü äàåò, â ÷àñòíîñòè, òåîðåìà î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ (ñì. äàëåå óòâåðæäåíèå 1.9 è ðàññóæäåíèÿ èçïîäðàçä. 1.4.4).Ïðîäåìîíñòðèðóåì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé èîñîáî îòìåòèì âàæíîñòü ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé â ïðèëîæåíèÿõ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî èòåîðèè âåðîÿòíîñòåé.Ïðèìåð 1.4.Ðàññìîòðèìýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþf (u) = λ e−λ u ,u > 0; λ > 0.(1.51)Ñôåðà ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåñüìà øèðîêà.
Íà îñíîâå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿôîðìèðóþòñÿ ïóàññîíîâñêèå ïîòîêè, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, âïðîñòåéøèõ ìîäåëÿõ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ (ñì. äàëåå ãëàâó 6), ïðè ìîäåëèðîâàíèèñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì. äàëåå ðàçä. 2.4 è 2.7) è ò. ä.RξÐåøàÿ óðàâíåíèå âèäà (1.48) 0 λ e−λ u du = α, ïîëó÷àåì ôîðìóëó ξ = − ln(1 − α)/λ.Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà α0 = 1 − α ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â (0, 1). Äåéñòâèòåëüíî, âñèëó òîãî, ÷òî α ∈ (0, 1) èìååì Fα0 (x) = 0 ïðè x ∈ (−∞, 0] è Fα0 (x) = 1 ïðè x ∈ [1, +∞).Íàêîíåö, äëÿ x ∈ (0, 1) âûïîëíåíîFα0 (x) = P(1 − α < x) = P(α > 1 − x) = 1 − (1 − x) = x,(1.52)ò.
å. ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α0 èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (1.2). Îáðàùàÿñü ê äàò÷èêóòèïà RAN DOM , ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå α0 , è òîãäàìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèäξ=−ln α0.λ(1.53)Ïîñëåäíåå, íà ïåðâûé âçãëÿä, íåñóùåñòâåííîå çàìå÷àíèå î çàìåíå (1 − α) íà α0 ÿâëÿåòñÿ âåñüìà âàæíûì ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ, òàê êàê âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõðàñ÷åòàõ êîëè÷åñòâî îáðàùåíèé n ê ôîðìóëå (1.53) î÷åíü âåëèêî (n >> 1), è íåáîëüøàÿýêîíîìèÿ ε, ñâÿçàííàÿ ñ ëèêâèäàöèåé îäíîãî âû÷èòàíèÿ, ìîæåò äàòü îùóòèìûé âûèãðûø â ýôôåêòèâíîñòè íà âåëè÷èíó nε. Ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè òåõ èëè èíûõìîäåëèðóþùèõ ñîîòíîøåíèé â òðóäîåìêèõ ïðåöåçèîííûõ ðàñ÷åòàõ ñëåäóåò âåñüìà òùàòåëüíî âûâåðÿòü ýòè ôîðìóëû íà ïðåäìåò èõ ýôôåêòèâíîñòè.
Íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèå(1.53) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ξ = (ln(1/α0 ))/λ, îäíàêî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà õóæå ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ, ÷åì ñîîòíîøåíèå (1.53), ò. ê. îïåðàöèÿ äåëåíèÿáîëåå òðóäîåìêà, ÷åì âçÿòèå ìèíóñà.Äëÿ ïîëèíîìèàëüíîé ïëîòíîñòè (1.50) â ðàçä. 1.8 ïðåäñòàâëåíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäûñóïåðïîçèöèè è èñêëþ÷åíèÿ. Ïîñòðîåíèå ýòèõ ìåòîäîâ îñíîâàíî íà òîì, ÷òî ïðè ai >0 ñëàãàåìîå ai ui ñóììû (1.50) ïðîïîðöèîíàëüíî ñëåäóþùåé ïëîòíîñòè ýëåìåíòàðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.Ïðèìåð 1.5.
Ðàññìîòðèìñ ïëîòíîñòüþñòåïåííîå ðàñïðåäåëåíèåf (u) = cuc−1 ,0 < u < 1,c > 0.(1.54)Ðåøàÿ óðàâíåíèå (1.48) äëÿ ïëîòíîñòè (1.54), ïîëó÷àåì ξ c = α èëèξ = α1/c .Ïðèìåð 1.6.âåëè÷èíû ξ ñ(1.55)Ïîõîæàÿ íà (1.55) ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîéðàñïðåäåëåíèåì Ïàðåòîf (u) = cu−c−1 ,u > 1,c > 0.(1.56)Ðàñïðåäåëåíèå (1.56) âñòðå÷àåòñÿ â çàäà÷àõ ýêîíîìè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Ðåøåíèåì óðàâRξíåíèÿ 1 cu−c−1 du = α ÿâëÿåòñÿ ξ = (1 − α)−1/c . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàα0 = 1 − α ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.52)), öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó ξ = (α0 )−1/c .Ïðèìåð 1.7. Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ øèðîêîèñïîëüçóåòñÿ èíäèêàòðèñà ÕåíüèÃðèíñòåéíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîñèíóñà óãëà ðàññåÿíèÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè "ôîòîíà"ñ ÷àñòèöåé ñðåäû ñëåäóþùåãî âèäà1 − µ2f (u) =ïðè u, µ ∈ (−1, +1)(1.57)2 (1 + µ2 − 2 µ u)3/2R1Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî Eξ = −1 uf (u) du = µ.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ "ðàññåÿíèÿ âïåðåä"ïðèíèìàþò µ ≈ 1, à äëÿ "ðàññåÿíèÿ íàçàä"áåðóò µ ≈ −1. Ðåøàÿ óðàâíåíèå (1.48)!2 !Z ξ2(1 − µ2 ) du1−µ11 + µ2 −. (1.58)= α, ïîëó÷àåì ξ =2 − 2 µ u)3/22(1+µ2µ2µα + 1 − µ−11.4.2. Îáîáùåíèå ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.ïðèëîæåíèé öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåf (u) = δ(u − x0 ),ãäå δ(u − x0 ) äåëüòà-ïëîòíîñòè öåëîì ðÿäåa < u < b,(1.59)äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåìZbϕ(u)δ(u − x0 ) du =aϕ(x0 ) ïðè x0 ∈ (a, b),0 ïðè x0 ∈/ (a, b)äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ϕ(u), íåïðåðûâíîé â òî÷êå u = x0 . Ôóíêöèÿ (1.59), î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (1.45) ïðè x0 ∈ (a, b).Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , èìåþùàÿ ïëîòíîñòü (1.59), ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ξ = x0 ñâåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Íàîáîðîò, ëþáîå ÷èñëî x0 ìîæíî òðàêòîâàòü, êàê ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó ξ ñ ïëîòíîñòüþ (1.59). ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî ââåñòè îáîáùåííóþ ïëîòíîñòü äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì (1.18):f (u) =NXpi δ(u − xi ), −∞ < u < +∞; pi ≥ 0, p1 + .
. . + pN = 1.(1.60)i=1Äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì x1 < x2 < . . . < xN . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòè (1.60) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä 0 ïðè x < x1 ,Ri = p1 + . . . + pi ïðè x ∈ [xi , xi+1 ); i = 1, . . . , N − 1,F (x) =(1.61)1 ïðè x ≥ xN .Òàêîé âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîçâîëÿåò îòíåñòè äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûê "ýêçîòè÷åñêèì"(â òåðìèíàõ ïîäðàçä. 1.4.1). Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, îáðàòíîé ê (1.61),íåîäíîçíà÷íî. Îäíàêî ìîæíî ââåñòè àíàëîã ôóíêöèè F −1 (z) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (1.61) ñïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ G(z) = inf x:z<F (x) x è ñîîòâåòñòâóþùèé àíàëîã ìåòîäà îáðàòíîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ξ = G(α). Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà äàåò ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (àëãîðèòì1.1).
 ñâÿçè ñ ýòèì àëãîðèòì 1.1 èíîãäà íàçûâàþòñ ðàñïðåäåëåíèåì (1.18). Ìû, îäíàêî,ïðåäåëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñ-â äàëüíåéøåì áóäåì ðàçëè÷àòü ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû 1.1 è 1.14 ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâåííî.1.4.3. Ñîñòàâíûå ïëîòíîñòè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ ∈ (a, b), èìåþùóþâèäàp1 f1 (u) ïðè u ∈ (a, c),f (u) =p2 f2 (u) ïðè u ∈ [c, b)ñîñòàâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿèëèf (u) = p1 f1 (u)χ(a,c) (u) + p2 f2 (u)χ[c,b) (u);(1.62)Çäåñü χA (u) èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A, p1 è p2 ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, äàþùèå â ñóììååäèíèöó, à f1 (u) è f2 (u) ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 è ξ2 , èìåþùèõ ýëåìåíòàðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ò. å.
äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi ìîæíî âûâåñòè ýôôåêòèâíûå ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû âèäà (1.43): ξi = ψi (α). Àëãîðèòì 1.14 äëÿïëîòíîñòè (1.62) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå.Àëãîðèòì 1.15.α ≤ p1ξ = ψ1 (α/p1 )ξ = ψ2 ((α − p1 )/p2 )Äåéñòâèòåëüíî, ïðè α ≤ p1 âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàõîäèòñÿìåæäó a è c, è äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû âèäà (1.43) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèåZ ξZ ξαp1 f1 (u) du = α èëèf1 (u) du =p1aaÅñëè, òî, èíà÷å.è òîãäà ξ = ψ1 (α/p1 ).
Åñëè æå α > p1 , òî çíà÷åíèå ξ ðàñïîëàãàåòñÿ ìåæäó c è b èóðàâíåíèå òèïà (1.48) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåZ cZ ξZ ξα − p1p1 f1 (u) du +p2 f2 (u) du = α èëèf2 (u) du =p2accè òîãäà ξ = ψ2 ((α − p1 )/p2 ). êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ñîñòàâíóþ ïëîòíîñòü, èñïîëüçóåìóþ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ν ïðè 0 < ν < 1 ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ (ñì.äàëåå àëãîðèòì 1.35 èç ïîäðàçä. 1.9.1).Ïðèìåð 1.8. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ , èìåþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âèäàCuν−1 ïðè 0 < u < 1, 0 < ν < 1,f (u) =Ce−λ u ïðè u ≥ 1, λ > 0,èëèf (u) = C(uν−1 χ(0,1) (u) + e−λ u χ[1,∞) (u)),ãäå C = λ/(λ ν −1 + e−λ ).
Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàëû îò ôóíêöèé h1 (u) = Cuν−1 è h2 (u) =Ce−λ u , ïåðåïèøåì ýòó ïëîòíîñòü â âèäå (1.62):f (u) = p1 × (ν uν−1 ) × χ(0,1) (u) + p2 × (λ e−λ u / exp(−λ)) × χ[1,∞) (u),ãäå p1 = (λ ν −1 )/(λ ν −1 + e−λ ) = λ/(λ + ν e−λ ) è p2 = 1 − p1 . Ôóíêöèÿ f1 (u) = νuν−1 ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííîé ïëîòíîñòüþ (1.54) ïðè c = ν ; ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëàèìååò âèä (1.55): ξ1 = α1/ν . Ôóíêöèÿ f2 (u) = (λ e−λu )/e−λ , u > 1 ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþóñå÷åííîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïî àíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 1.4 íåñëîæíîïîëó÷èòü ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó ξ2 = 1−(ln(1−α))/λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
