1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Àëãîðèòì 1.15 âûãëÿäèò çäåñüñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè α ≤ λ/(λ + ν e−λ ), òî!1/να (λ + ν e−λ )ξ=,λèíà÷åln(1 − (α − p1 )/p2 ))ln ((1 − α)(e−λ + λ ν −1 ))=−.(1.63)λλÇàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ôîðìóëû (1.53) çàìåíà α0 = 1 − α â ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè íåâîçìîæíà, ò. ê. ôîðìóëà (1.63) âåðíà òîëüêî ïðè óñëîâèè α > p1 .Ñîñòàâíûå ïëîòíîñòè ìîæíî òàêæå ñòðîèòü, ðàçáèâàÿ (a, b) íà áîëåå, ÷åì äâà, íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëà (ñì. äàëåå ïîäðàçä.
1.6.4).  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî ðàññìîòðåòü, â ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî-ïîñòîÿííóþ è êóñî÷íî-ëèíåéíóþïëîòíîñòè (ñì. ðàçä. 1.8). Äëÿ ñîñòàâíûõ ïëîòíîñòåé ñ áîëüøèì ÷èñëîì èíòåðâàëîâðàçáèåíèÿ èíòåðâàëà (a, b) íåñëîæíî ïîñòðîèòü àíàëîã àëãîðèòìà 1.15, îäíàêî â ðÿäåñëó÷àåâ â ýòîò àëãîðèòì öåëåñîîáðàçíî âêëþ÷èòü ýëåìåíòû ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè (ñì.äàëåå ïîäðàçä. 1.6.4, 1.8.1).ξ =1−1.4.4. Òåîðåìà î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ. Êîíñòðóèðîâàíèå ïëîò- ðÿäå ðàññóæäåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îáîñíîâàíèåì àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ,íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.9.ui = Φi (v1 , . .
. , vl ), i = 1, 2, . . . , l,Av1 , . . . , v lBu1 , . . . , u lη = (η1 , . . . , ηl ) Afη (v1 , . . . , vl )ξ = (ξ1 , . . . , ξl ) Bξi = Φi (η1 , . . . , ηl ) ∂(v1 , . . . , vl ) ,(1.64)fξ (u1 , . . . , ul ) = fη (v1 , . . . , vl ) ∂(u1 , . . . , ul ) ∂(v1 ,...,vl ) viui ∂(u1 ,...,ul ){vi }{ui }0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B ïðîèçâîëüíîå áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî B , à A0 åãîïðîîáðàç ïðè ðàññìàòðèâàåìîì îòîáðàæåíèè {ui = Φi (v1 , . . . , vl )}.
Ïî ïðàâèëó çàìåíûïåðåìåííûõ â èíòåãðàëå èìååìZZ ∂(v1 , . . . , vl ) 0 du1 . . . dul .P(η ∈ A ) =fη (v1 , . . . , vl ) dv1 . . . dvl =fη (v1 , . . . , vl ) ∂(u,...,u)001lABíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïóñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîåäèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè â ïðîñòðàíñòâå ñ êîîðäèíàòàìèíà îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå ñ êîîðäèíàòàìè. Åñëè ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãîâåêòîðàâ ðàâíà, òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðàâ , ãäå, èìååò âèäâ ïðàâîé ÷àñòè äîëæíû áûòü âûðàæåíû ÷åðåç èîò êîîðäèíàòê êîîðäèíàòàì .åñòü ÿêîáèàí ïåðåõîäàÎ÷åâèäíî, ÷òî00ZP(η ∈ A ) = P(ξ ∈ B ) =B0fξ (u1 , . .
. , ul ) du1 . . . dul .Ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü B 0 , èç îïðåäåëåíèÿ 1.1 ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (1.64).Ïðè ðàññìîòðåíèè ÷èñëåííûõ ìîäåëåé ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü, ñ îäíîé ñòîðîíû, íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõâûáðàòü çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ, à ñ äðóãîé, èìåòü àëãîðèòìû ðåàëèçàöèèâûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïî âûáðàííûì âåðîÿòíîñòíûì çàêîíàì.  ñâÿçè ñýòèì ìîæíî çàíÿòüñÿ ñîçäàíèåì "áàíêà"ðàñïðåäåëåíèé, äîïóñêàþùèõ ïîñòðîåíèå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïëîòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ òåõíîëîãèþ, îñíîâàííóþ íà îäíîìåðíîì âàðèàíòå óòâåðæäåíèÿ 1.9.Ïóñòü fη (v) ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , èìåþùåéýëåìåíòàðíîå ðàñïðåäåëåRηíèå â èíòåðâàëå (c, d), ò.
å. èç ñîîòíîøåíèÿ òèïà (1.48) c fη (v) dv = α äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó òèïà(1.43): η = ψη (α), ãäå ψη (w) ïðîñòàÿ êîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèìâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé ϕ(u), ïåðåâîäÿùåé èíòåðâàë (a, b) â èíòåðâàë (c, d); â ÷àñòíîñòè,ϕ(a) = c, ϕ(b) = d. Ïîëàãàåì òàêæå, ÷òî ôóíêöèþ ϕ è îáðàòíóþ ê íåé ôóíêöèþ ϕ−1ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîñòîé êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = fη (ϕ(u)) ϕ0 (u), u ∈ (a, b).(1.65)Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî f (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò. å. óðàâíåíèå (1.48) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ξ âýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ è ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ξ = ϕ−1 (ψη (α)). Ïîëó÷åííóþ ïëîòíîñòü (1.65) ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå èñõîäíîé ïëîòíîñòè fη (v) è îñóùåñòâèòü åùå îäíîâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå òèïà ϕ(u).
Ñ ïîìîùüþ òàêèõ âëîæåííûõ çàìåíìîæíî ïîëó÷àòü íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî íîâûõ ïëîòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ãðàôèêè ýòèõ ïëîòíîñòåé ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîëó÷åííûìè èç ýêñïåðèìåíòàðàñïðåäåëåíèÿìè è âûáèðàòü ïîäõîäÿùèé äëÿ äàííîé ÷èñëåííîé ìîäåëè ñëó÷àéíûéýëåìåíò.
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïîäîáíîãî âûáîðà ìîæíî ïðèâåñòè, â ÷àñòíîñòè, ïðèìåð 1.7.  íåì èñõîäíûì ÿâëÿåòñÿ àíàëîã óñå÷åííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþfη (v) = (ac bc /(bc − ac )) cv −c−1 , 0 < a < v < b, c > 0ïðè a = (1 − |µ|)2 , b = (1 + |µ|)2 , c = 1/2 (äëÿ êëàññè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿp Ïàðåòî a =1, b = +∞ ñì.
ñîîòíîøåíèå (1.56)) c ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîé η = ab/ c bc − (bc − ac )α.Èñïîëüçîâàíà çàìåíà v = ϕ(u) = 1 + µ2 − 2 µ u, ïðèâîäÿùàÿ ê ïëîòíîñòè (1.57) è ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëå (1.58).1.5. ÑÒÀÍÄÀÐÒÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈßÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÂÅÊÒÎÐÀ1.5.1. Ïðåäñòàâëåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â âèäå ýòîì ðàçäåëå ìû çàéìåìñÿ îáîñíîâàíèåì èðàçáîðîì ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ ìíîãîìåðíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñëó÷àéíîãî âåêòîðà).Ñíà÷àëà íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïóñòü ξ èη äâå ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî çíà÷åíèÿìè â Rk1 è Rk2 ñîîòâåòñòâåííî,ïðè÷åì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η èìååò ïëîòíîñòü fη (v).
Îáîçíà÷èì òàêæå÷åðåç A è B ñåìåéñòâà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ â Rk1 è Rk2 .Îïðåäåëåíèå 1.2.u vfξ (u|v)óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ ξ ïðè óñëîâèè η = vvfξ (u|v)ïðîèçâåäåíèÿ óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé.Èçìåðèìàÿ ïî ïàðå ïåðåìåííûõ è ôóíêöèÿíàçûâàåòñÿ, åñëè1) ïðè êàæäîì ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé,2) äëÿ ëþáûõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ A ∈ A è B ∈ B âûïîëíåíîZ ZBAfξ (u|v) fη (v) du dv = P{(ξ ∈ A) ∩ (η ∈ B)}.(1.66)Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1, ðàâåíñòâî (1.66) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîãîâåêòîðà γ , ñîñòàâëåííîãî èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ ξ è η , ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåf (u, v) = fη (v) fξ (u|v)(1.67)â Rk , ãäå k = k1 + k2 (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.4)). Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîåÓòâåðæäåíèå 1.10.γ = (ξ, η) Rkf (u, v)Zf (u, v)fξ (u|v) =,fη (v) =f (u, v) du,fη (v)Rk1, òî ôóíêöèÿÅñëè ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðàâèìååò ïëîòíîñòüãäåÿâëÿåòñÿ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ âåêòîðà ξ ïðè óñëîâèè ηïëîòíîñòüþ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η.= v,(1.68)à ôóíêöèÿ fη (v) Ðàññìàòðèâàÿ óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå η ïðè óñëîâèè ξ = u è èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèé âàðèàíò óòâåðæäåíèÿ 1.10, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå àíàëîãè ôîðìóë (1.67),(1.68):f (u, v) = fξ (u)fη (v|u);(1.69)Zf (u, v).(1.70)fξ (u) =f (u, v) dv, fη (v|u) =fξ (u)Rk2Èç (1.67) è (1.70) ñëåäóåò"ôîðìóëà ïîëíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé"Zfξ (u) =Rk2fη (v) fξ (u|v) dv.Ðàññìîòðèì l-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , .
. . , ξl ) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = f (u1 , . . . , ul ). Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.69) è (1.70) äëÿ âåêòîðîâ ξ = (ξ1 , . . . , ξs ) è η = ξs+1 è äëÿ s = 1, 2, . . . , l − 1, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:f (u1 , . . . , ul ) = f1 (u1 )f2 (u2 |u1 ) × . . . × fl (ul |u1 , . . . , ul−1 ),(1.71)ãäåZf1 (u1 ) =RZ...f (u1 , . . . , ul ) du2 . . .
dul ,RRf (u1 , u2 , . . . , ul ) du3 . . . dul,f1 (u1 )Rf (u1 , u2 , u3 , . . . , ul ) du4 . . . dul,f1 (u1 )f2 (u2 |u1 )············Rf (u1 , . . . , ul−2 , ul−1 , ul ) dul,fl−1 (ul−1 |u1 , . . . , ul−2 ) =f1 (u1 ) × . . . × fl−2 (ul−2 |u1 , . . . , ul−3 )f3 (u3 |u1 , u2 ) =fl (ul |u1 , . . . , ul−1 ) =...f2 (u2 |u1 ) =...(1.72)f (u1 , .
. . , ul−1 , ul ).f1 (u1 ) × . . . × fl−1 (ul−1 |u1 , . . . , ul−2 )Âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò l! ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ïðåäñòàâëåíèé âèäà (1.71), (1.72).Ýòî ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ èñïîëüçîâàíèÿ âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê (i1 , . . . , il ) íîìåðîâ (1, . . . , l) è ïîñòðîåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ ôóíêöèé f˜(ui1 , . .
. , uil ) =f (u1 , . . . , ul ).Èìååòñÿ, îäíàêî, âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà âñå l! ïðåäñòàâëåíèÿ âèäà (1.71) ýêâèâàëåíòíû. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà (ξ1 , . . . , ξl ) íåçàâèñèìûè èõ ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäåf (u1 , . . . , ul ) = f1 (u1 ) × f2 (u2 ) × . . . × fl (ul )(1.73)èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, óñëîâíûå ïëîòíîñòè â (1.72) ïðåâðàùàþòñÿ â "áåçóñëîâíûå", èðàçíèöà â ïðåäñòàâëåíèÿõ âèäà (1.71) ñîñòîèò ëèøü â ïîðÿäêå ïåðåìíîæåíèÿ ïëîòíîñòåé {fi (ui )}.1.5.2. Ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì.
Ïðèìåðû. Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.11.ξ0fξ (u)(1.70)η0fη (v|ξ 0 )fη (v|u)(1.70)(ξ 0 , η 0 )f (u, v)(1.69)Äîêàçàòåëüñòâî. Îïèðàÿñü íà èçâåñòíûå ôàêòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (â ÷àñòíîñòè,íà îïðåäåëåíèÿ 1.1 è 1.2), äëÿ ìàëîé îêðåñòíîñòè ∆(u, v) = ∆u × ∆v ïðîèçâîëüíîéòî÷êè (u0 , v0 ) íåïðåðûâíîñòè ïëîòíîñòè f (u, v) èìååìÏóñòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, ðàñïðåäåëåííîãî ñîãëàñíî ïëîòíîñòèèç ñîîòíîøåíèÿ, à âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, ðàñïðåäåëåííîãî ñîãëàñíî ïëîòíîñòè, ãäå ôóíêöèÿçàäàåòñÿ ôîðìóëîé. Òîãäà ïàðà, ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ñëó÷àéíûéâåêòîð, ðàñïðåäåëåíà ñ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòüþèç.P{(ξ 0 , η 0 ) ∈ ∆(u, v)} = P(ξ 0 ∈ ∆u) × P(η 0 ∈ ∆v|ξ 0 ∈ ∆u) == P(ξ 0 ∈ ∆u) × [P(η 0 ∈ ∆v|ξ 0 = u) + o(∆u)] = [fξ (u)∆u + o(∆u)]××[fη (v|u)∆v + o(∆v) + o(∆u)] = fξ (u)fη (v|u) × ∆u × ∆v++o(∆u × ∆v) = f (u, v) × ∆(u, v) + o(∆(u, v));çäåñü A îáîçíà÷àåò îáúåì îáëàñòè A.
Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà è îïðåäåëåíèÿ 1.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð (ξ 0 , η 0 ) ðàñïðåäåëåí ñ ïëîòíîñòüþ f (u, v).Ïðåäñòàâëåíèþ (1.71), (1.72) (è åãî àíàëîãàì äëÿ l! ïåðåñòàíîâîê (i1 , . . . , il ) íîìåðîâ (1, . . . , l)) ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà(ξ1 , . . . , ξl ).Àëãîðèòì 1.16.ξ1f1 (u)ξ2f2 (u|ξ1 )ξ3f3 (u|ξ1 , ξ2 )1). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû ñîãëàñíî ïëîòíîñòè.2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êîìïîíåíòû ñîãëàñíî ïëîòíîñòè.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
