1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êîìïîíåíòû ñîãëàñíî ïëîòíîñòè.············l). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êîìïîíåíòû ξl ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fl (u|ξ1 , . . . , ξl−1 ).Ïîëó÷àåìîå ïðè ïðèìåíåíèè àëãîðèòìà 1.16 âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå (ξ1 , . . . , ξl ), ðàññìàòðèâàåìîå êàê ñëó÷àéíûé âåêòîð, èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u1 , . . . , ul ). Ýòîíåñëîæíî ïîêàçàòü ñ ïîìîùüþ óòâåðæäåíèÿ 1.11, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëàãàÿ ξ = (ξ1 , . . .
, ξs )è η = ξs+1 äëÿ s = 1, 2, . . . , l − 1. Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííàÿ âîçìîæíîñòü ðåêóððåíòíîãîïîñòðîåíèÿ âåêòîðà (ξ1 , . . . , ξl ) â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èçâåñòíà è îòìå÷åíà, íàïðèìåð,â èçâåñòíîé ìîíîãðàôèè Äæ.Äóáà [12]. îáùåì ñëó÷àå âñå l! ïðåäñòàâëåíèÿ âèäà (1.71), (1.72) (äëÿ âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê (i1 , .
. . , il ) íîìåðîâ (1, . . . , l)) ðàçëè÷íû, à çíà÷èò ðàçëè÷íû (â òîì ÷èñëå, è ïîýôôåêòèâíîñòè) ñîîòâåòñòâóþùèå àëãîðèòìû 1.16. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî äëÿ ñëó÷àÿìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîãî âåêòîðà (l = 2).Ïðèìåð 1.9. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿäâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) =1 −uvve ,2u > 0, 0 < v < 2.Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (1.67), (1.68) äëÿ âåêòîðàZ +∞1 −uvf (u, v) = fη (v)fξ (u|v); fη (v) =vedu =20(ξ, η):1,2fξ (u|v) =f (u, v)= ve−vu .fη (v)Ïëîòíîñòü fη (v) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà èíòåðâàëå (0, 2).Ñîîòâåòñòâóþùåå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ðàâíî η0 = 2α1 . Ôóíêöèÿ fξ (u|η0 ) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì λ =η0 (ñì.
ôîðìóëó (1.51)), è, ñëåäîâàòåëüíî, ξ = − ln α2 /η0 (ñì. ôîðìóëó (1.53)).Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (1.69), (1.70) äëÿ âåêòîðà (ξ, η) : f (u, v) = fξ (u) fη (v|u).Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååìZ 21 −uv1 − (2u + 1)e−2uvedv =fξ (u) =, u > 0.2u20 2Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,è ïîýòîìó äëÿ ýòîãî ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèå (1.69), (1.70) ÿâëÿåòñÿ çàâåäîìî õóäøèì (ñòî÷êè çðåíèÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà 1.16) ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäñòàâëåíèåì (1.67), (1.68).1.5.3. Ñëó÷àé íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Âåêòîðû ñ ìàðêîâñêèì ñâîéñòâîì.Óæå íà ïðèìåðå âåêòîðîâ ìàëîé ðàçìåðíîñòè l = 2 ìû óáåäèëèñü â òîì, ÷òî ïðîáëåìà âûáîðà ïîäõîäÿùåãî äëÿ ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà 1.16 ïðåäñòàâëåíèÿ(1.71), (1.72) ïëîòíîñòè f (u1 , .
. . , ul ) (èç âîçìîæíûõ l! ïðåäñòàâëåíèé) ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ âåñüìà íåïðîñòîé. Ïðè÷åì òðóäíîñòü ýòîãî âûáîðà íàðàñòàåò ñ ðîñòîì l. Ïîýòîìóâî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ êîíñòðóèðîâàíèåì âåðîÿòíîñòíûõ ïëîòíîñòåé,ôóíêöèÿ f (u1 , . . . , ul ) èìååò âèä (1.73). Ïðè ýòîì êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà ξi ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî ñâîåé ïëîòíîñòè fi (u), ïðè÷åì ïîðÿäîê ìîäåëèðîâàíèÿ, â îòëè÷èåîò àëãîðèòìà 1.16, ïðîèçâîëåí.Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ (â òîì ÷èñëå, áåñêîíå÷íîìåðíûõ) çàäà÷÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ (êîíñòðóèðóþòñÿ) (N + 1)-ìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû (x0 , x1 , .
. . , xN ) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âèäàf (x0 , x1 , . . . , xN ) = π(x0 )p1 (x1 |x0 )p2 (x2 |x1 ) × . . . × pN (xN |xN −1 ).(1.74)Ñîîòíîøåíèå (1.74) îòðàæàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåêòîð (x0 , x1 , . . . , xN ) îáëàäàåò: â îäíîì èç ïðåäñòàâëåíèé âèäà (1.71) (êîíêðåòíåå, äëÿ òîæäåñòâåííîé ïåðåñòàíîâêè (i0 , i1 , . . . , iN ) = (0, 1, .
. . , N )) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû xj ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïðåäûäóùåé êîìïîíåíòû xj−1 :ìàðêîâñêèì ñâîéñòâîìfj (x|x0 , . . . , xj−1 ) ≡ pj (x|xj−1 )."ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàâèñèò òîëüêî îò âåëè- ýòîì ñëó÷àå íåâåðíî ãîâîðèòü, ÷òîxjxj−1 ", ò.ê. îïîñðåäîâàíî îíà çàâèñèò îò âñåõ ïðåäûäóùèõ êîìïîíåíò x0 , . . . , xj−2 ,âåäü âåëè÷èíà xj−1 çàâèñèò îò xj−2 , âåëè÷èíà xj−2 çàâèñèò îò xj−3 è ò.ä.Èç ñîîòíîøåíèÿ (5.8) ñëåäóåò, ÷òî (x0 , x1 , . . . , xN ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà÷àëüíûéîòðåçîê äëèíû (N + 1)ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ pj (x|xj−1 ).  ñëó÷àå, êîãäà ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè pj (x|xj−1 ) îäèíàêîâû äëÿ âñåõj = 1, 2, . .
., öåïü Ìàðêîâà x0 , x1 , x2 , . . . íàçûâàåòñÿ. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íà÷àëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé x0 , x1 , x2 , . . . , xN òðàåêòîðèè öåïè Ìàðêîâà ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó âàðèàíòó àëãîðèòìà 1.16.Àëãîðèòì 1.17.x0π(x)j = 1, 2, .
. . , Nxjpj (x|xj−1 )Äëÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ðîçûãðûø êîìïîíåíò xj â àëãîðèòìå 1.17 ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ j = 1, . . . , N ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x|xj−1 ). Êðîìå÷èíûöåïè ÌàðêîâàîäíîðîäíîéÐåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû ñîãëàñíî íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè . Çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò ñîãëàñíî ïåðåõîäíûì ïëîòíîñòÿì.òîãî, â ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëî N ("íîìåð îáðûâà òðàåêòîðèè") ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì, è â àëãîðèòìû òèïà 1.17 âêëþ÷àþòñÿñïåöèàëüíûå ïðèåìû äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ N äëÿ äàííîé òðàåêòîðèè(ñì. ãëàâó 4).1.5.4.
Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ çàäàííûìè îäíîìåðíûì ðàñ-Ðàññìîòðèì lìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð x = (x1 , . . . , xl ). Åñëè çàäàíà ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ýòîãî âåêòîðà, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ïðàêòè÷åñêè âñå åãî õàðàêòåðèñòèêè: îäíîìåðíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè ìåæäó êîìïîíåíòàìè, ñîâìåñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé êîìïîíåíò è äð. Îäíàêîíà ïðàêòèêå äîñòàòî÷íî ÷àñòî îáùàÿ ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü êîìïîíåíò íåèçâåñòíà, àèìååòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðàñïðåäåëåíèÿõ âåêòîðîâ ìàëîé ðàçìåðíîñòè, ñîñòàâëåííûõ èçêîìïîíåíò èñõîäíîãî ìíîãîìåðíîãî âåêòîðà.Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ çàäàþòñÿ òîëüêî îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fi (ui )êîìïîíåíò xi è êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè ìåæäó êîìïîíåíòàìè!!xj − Exjxi − Exi√prij = EDxiDxjïðåäåëåíèåì è êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåé (ìåòîä ïîâòîðåíèÿ).(ýòî óñðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé).
Òàêàÿ íåïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ ìîæåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïðèâåñòè ê íååäèíñòâåííîñòè âåêòîðà ñ çàäàííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (â ýòîì ñëó÷àå ñòàâèòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿõîòÿ áû îäíîé èç âîçìîæíûõ âåðñèé). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íå äëÿ âñÿêîãî íàáîðà ÷èñåë{rij } ñóùåñòâóåò âåêòîð ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êîððåëÿöèîííîé ñòðóêòóðîé.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ îðèãèíàëüíóþ êîíñòðóêöèþ, ðåàëèçóåìóþ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îäíîìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ îäèíàêîâ äëÿ âñåõ êîìïîíåíò f1 (u) = .
. . =fl (u) ≡ f (u), u ∈ (a, b), à êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè {rij } íåîòðèöàòåëüíû. ×åðåç∆m îáîçíà÷èì îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ðàçáèåíèÿ âåêòîðà (x1 , . . . , xl ) íà tm âåêòîðîâ a1 , . . . , atm ðàçìåðíîñòåé k1 , . . . , ktm , ñîñòàâëåííûõ èç êîìïîíåíò {xi }; ïðè ýòîìk1 + . . . + ktm = l. Íà ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ðàçáèåíèé {∆1 , . . . , ∆N } ââîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé {p1 , . . . , pN } (ñîîáðàæåíèÿ î êîíêðåòíîì âûáîðå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñì. äàëåå).Àëãîðèòì 1.18 (ìåòîä ïîâòîðåíèÿ).α0{p1 , . . .
, pN }1.1m∆mtmξ1 , . . . , ξtmf (u)a1∆mξ1a2ξ2atmξtmx = (x1 , . . . , xl )Êîìïîíåíòû âåêòîðà x, ïîëó÷àåìûå â àëãîðèòìå 1.18, èìåþò òðåáóåìóþ îäíîìåðíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (u). Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîñïðîèçâîäèëàñü çàäàííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà R = {rij }, i, j = 1, . . . , l, íóæíî ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáèðàòüâåðîÿòíîñòè {p1 , . . . , pN }. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ðàçáèåíèÿ ∆m êîððåëÿöè(m)îííàÿ ìàòðèöà R(∆m ) = {rij } âåêòîðà x, ïîëó÷àåìîãî â àëãîðèòìå 1.18, ñîñòîèò èç1). Ðåàëèçóÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà, ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì, èñïîëüçóÿ àëãîðèòìèëè åãî ìîäèôèêàöèè, âûáèðàåì íîìåð ðàçáèåíèÿ .2). Ðåàëèçóåì íåçàâèñèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèéñîãëàñíî ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ . Ïîëàãàåì, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà â âûáðàííîì ðàçáèåíèèðàâíû , âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà ðàâíû è ò.ä.; âñå êîìïîíåíòû âåêòîðàðàâíû .
Ïîëó÷åííûé ñîñòàâíîé âåêòîð ïðèíèìàåì çà âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå âåêòîðà.(m)íóëåé è åäèíèö: rijòîðó as , è(m)rij= r(ξs , ξs ) = 1, åñëè êîìïîíåíòû xi è xj ïðèíàäëåæàò îäíîìó âåê= r(ξs1 , ξs2 ) = 0, åñëè xi è xj ïðèíàäëåæàò ðàçíûì âåêòîðàì as1 è as2 .Ïî ôîðìóëå ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåR=NXpm R(∆m ).(1.75)m=1Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóìåðàöèÿ ðàçáèåíèÿ ∆m ïðîâîäèòñÿ â ïîðÿäêåóáûâàíèÿ ÷èñëà åäèíèö â ìàòðèöàõ R(∆m ) (äëÿ îäèíàêîâîãî ÷èñëà åäèíèö íóìåðàöèÿïðîèçâîëüíà).  ÷àñòíîñòè, R(∆1 ) ýòî ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç åäèíèö, à â R(∆N ) åäèíèöû ñòîÿò òîëüêî íà äèàãîíàëè. Ñîîòíîøåíèå (1.75) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ñèñòåìûèç l(l − 1)/2 àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ âåëè÷èí {pm }:p1 +N−1X(m)pm rij = rij ,i < j;m=1pm ≥ 0,NXpm = 1.(1.76)m=1Åñëè ðåøåíèå ñ óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò, òî âåêòîð x ìîæíî ìîäåëèðîâàòüìåòîäîì ïîâòîðåíèÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå àëãîðèòì 1.18 íåðåàëèçóåì.
Çàäà÷ó (1.76)ìîæíî ðåøàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñòàíäàðòíûìè ïðèåìàìè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (íàïðèìåð, ñèìïëåêñ-ìåòîäîì) îïðåäåëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå (p1 , . . . , pN −1 )ñèñòåìû èç (1.76) ñ ìèíèìàëüíîé ñóììîé êîìïîíåíò P .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
