1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Êîìïëåêñíîçíà÷íîå ñëó÷àéíîå ïîëå ξ(t) = ξ1(t) + iξ2(t), t ∈ Rl íàçûâàåòñÿãàóññîâñêèì, åñëè ïàðà (ξ1(t), ξ2(t)) îáðàçóåò äåéñòâèòåëüíîå äâóìåðíîå ãàóññîâñêîåïîëå.Îïðåäåëåíèå 2.6.Íà ïðàêòèêå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ òîëüêî î ôóíêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè èçó÷àåìîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìóäîñòàòî÷íî ÷àñòî äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î ãàóññîâîñòè ýòîãî ïîëÿ.
 ñâÿçè ñ ýòèì âëèòåðàòóðå ïî ÷èñëåííîìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿïîñòðîåíèþ ìîäåëåé èìåííî ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé [610]. Âàæíûì àðãóìåíòîì â ïîëüçó èñïîëüçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåöåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé êîíñòðóèðóåìûõ ìîäåëåé (ñì. äàëåå ïîäðàçä.
2.3.1).2.1.3. Îñíîâû êîððåëÿöèîííîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.Ïðåäñòàâèì åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå.Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t), t ∈ R íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì (â, åñëè ïðè ëþáûõ K è t(1), . . . , t(K) èç T ðàñïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ(t(1) + u), . . . , ξ(t(K) + u)) íå çàâèñèò îò u. Ïðè ýòîì m(t) =const, à êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ R(t(1) , t(2) ) ≡ R(u) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè u =t(1) − t(2) . Ïîñëåäíèå äâà ñâîéñòâà îïðåäåëÿþò ñòàöèîíàðíîñòü â øèðîêîì ñìûñëåñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé, ïðè÷åì äëÿ ïîëåé âìåñòî òåðìèíà "ñòàöèîíàðíîñòü âøèðîêîì ñìûñëå"èñïîëüçóþò òåðìèí "îäíîðîäíîñòü".Îïðåäåëåíèå 2.7.óçêîì ñìûñëå)Áîëüøóþ ðîëü (ñðàâíèìóþ ñ òåîðèåé ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ â 'îáû÷íîì' íåñòîõàñòè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå) èãðàåò òàê íàçûâàåìàÿ[4]. Îñíîâû ýòîé òåîðèè ìû èçëîæèì äëÿ ñëó÷àÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (â ýòîì ñëó÷àåíåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ áîëåå êîìïàêòíû è íàãëÿäíû).Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ R(u) áûëà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîçíà÷íîãîîäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (ñòàöèîíàðíîãî â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà) ñíåïðåðûâíûì âðåìåíåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà äîïóñêàëà ïðåäñòàâëåíèåâèäàZR(u) =ei(u,λ) F (dλ),(2.3)òåîðèÿ ñòàöèîíàðíûõ (â øèðîêîì ñìûñëå) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèéêîððåëÿöèîííàÿΛãäå (u, λ) îáîçíà÷àåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ u è λ èç Rl : (u, λ) = u1 λ1 + .
. . +ul λl , à F (λ) íåêîòîðóþ êîíå÷íóþ ìåðó íà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâàõΛ ⊆ Rl .ïðîñòðàíñòâàñïåêòðàëüíîãîÑîîòíîøåíèå (2.3) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåìêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè R(u). Ìåðà F (λ) èç (2.3) íàçûâàåòñÿñïåêòðàëüíîé ìåðîé.RÅñëè ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà àáñîëþòíî íåïðåðûâíà F (A) = A f (λ) dλ, òî f (λ) íàçûâàþòñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ.Ñîãëàñíî òåîðåìå ÁîõíåðàÕèí÷èíà (ñì. äàëåå óòâåðæäåíèå 2.1), äëÿ êîìïëåêñíîÎïðåäåëåíèå 2.8.çíà÷íûõ ñòàöèîíàðíûõ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåZ(2.4)ξ(t) = m + ei (λ,t) dΦ(λ),Λãäå m ≡ E ξ(t), Φ(λ) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ñ íåêîððåëèðîâàííûìè ïðèðàùåíèÿìè èíóëåâûì ñðåäíèì, òàêàÿ ÷òî äëÿ ëþáûõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ A1 è A2 èç Λ âûïîëíåíîZZ∗EdΦ(λ)dΦ(λ) = F (A1 ∩ A2 ).A1A2Èíòåãðàë â (2.4) ïîíèìàåòñÿ êàê ïðåäåë â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì (ñì.
äàëåå óòâåðæäåíèå 2.1 è ïîäðàçä. 2.3.1).Îïðåäåëåíèå 2.9.(2.4)ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëå-Ñîîòíîøåíèåíàçûâàåòñÿíèåì ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.Äëÿ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξ(t) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü f (λ)ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ïî êàæäîé êîîðäèíàòå ôóíêöèåé:f (λ) = f (λ1 , . . . , λi−1 , λi , λi+1 , . . .
, λl ) = f (λ1 , . . . , λi−1 , −λi , λi+1 , . . . , λl ).Êðîìå òîãî, ìíèìàÿ ÷àñòü Φ(λ) íå÷åòíàÿ, à äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ îò λ, ò.å. äëÿ ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàòîáëàñòåé A1 è A2∗RR(λ ∈ A1 ⇐⇒ −λ ∈ A2 ) âûïîëíåíî A1 dΦ(λ) = A2 dΦ(λ) , ïðè÷åì äëÿ ñîõðàíåíèÿRRíåêîððåëèðîâàííîñòè íåîáõîäèìî, ÷òîáû Φ1 = Re A1 dΦ(λ) è Φ2 = Im A1 dΦ(λ) áûëèíåçàâèñèìû èZ1f (λ) dλ.E Φ1 = E Φ2 = 0, D Φ1 = D Φ2 =2 A1Òîãäà âûðàæåíèÿ (2.3) è (2.4) èìåþò âèäZZR(u) =cos(u, λ) f (λ) dλ = 2Λcos(u, λ) f (λ) dλ,Λ+Zξ(t) = m +Zcos(t, λ) dΦ1 (λ) +Λ+sin(t, λ) dΦ2 (λ),Λ+ãäå Λ+ = {λ = (λ1 , .
. . , λl ) : λi ≥ 0}, à Φ1 (λ) è Φ2 (λ) âåùåñòâåííûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ñ íåêîððåëèðîâàííûìè ïðèðàùåíèÿìè è ñîâïàäàþùèìè äèñïåðñèÿìè ïðèðàùåíèé,ïðè÷åìΦ1 (λ) − Φ2 (λ)Φ(λ) =ïðè λ ∈ Λ+ .2Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â âåùåñòâåííîçíà÷íîì ñëó÷àå ôîðìóëû äëÿñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè è äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ áîëåå ãðîìîçäêèìè, ÷åì â êîìïëåêñíîçíà÷íîì ñëó÷àå.Óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.4) äîêàçûâàåòñÿ ñïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò ñëó÷àÿ êîíå÷íîãî ñïåêòðà (êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåãðàëüíîé ñóììå), ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ.Óòâåðæäåíèå 2.1.Λ1 , .
. . , ΛnΛΛi ∩ Λj = ∅i 6=j; Λn = {|λ| ≥ tn }Λ1 , . . . , Λn−1{|λ| < tn }n→∞òåîðåìàÁîõíåðàÕèí÷èíàÅñëè ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâàíà ïðîñòûå ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîñâÿçíûå îáëàñòè òàêèå, ÷òîïðè,àðàçáèâàþò îáëàñòüòàê, ÷òî ïðèîäíîâðåìåííî âûïîëíåíîtn → +∞ èmax diam Λk → 0,(2.5)1≤k≤n−1òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåZi (t,λ)eΛdΦ(λ) = l.i.m.n→∞n Xk=1i (t,λk )ZedΦ(λ) ,(2.6)Λkãäå λk ∈ Λk , à l.i.m. ïðåäåë â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì:l.i.m.n→∞ ξn (t) = ξ(t), åñëè lim E|ξ(t) − ξn (t)|2 = 0.n→∞(2.7)Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 2.1 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2.15, â êîòîðîì ïîëó÷åíà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè (2.6) (ñì.
äàëåå ïîäðàçä. 2.6.3).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.6) ñëóæèò îñíîâîé ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.6.2).2.1.4. Îñîáåííîñòè ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Óæåïðè èññëåäîâàíèè àëãîðèòìîâ ðåàëèçàöèè çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû âèäåëè,÷òî òîò èëè èíîé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ èìååò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè.Äëÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ áîëåå ñëîæíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòîì, ïîñòðîåíèå ïðîöåäóð ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òðàåêòîðèé ÿâëÿåòñÿ âåñüìà íåïðîñòîéçàäà÷åé. Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàçðàáîòàíû ëèøü äëÿ äîñòàòî÷íî óçêîãî êëàññàñëó÷àéíûõ ôóíêöèé [610].Åñëè ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξ(t) ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì çàäàíà ñâîèìè (ñîãëàñîâàííûìè) êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, òî ðàçëàãàÿ ñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) â ïðîèçâåäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ìîäåëèðîâàòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè â ñîîòâåòñòâóþùåì êîíå÷íîìíàáîðå òî÷åê t(1) , .
. . , t(n) ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîìó ìåòîäó ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ñì. àëãîðèòì 1.16 èç ðàçä. 1.5), à çàòåì âîñïîëíÿòü òðàåêòîðèè˜ (1) ), . . . , ξ(t˜ (n) ) (ñì. äàëåå àëãîðèòì 2.4).  ðÿäå èçäàíèéïî ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì ξ(tòàêàÿ ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ. Îäíàêîïðè áîëüøèõ n ýòîò àëãîðèòì (äàæå åñëè îí îñóùåñòâèì) îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíîòðóäîåìêèì. Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ ïîëíàÿ èíôîðìàöèÿî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ èçâåñòíà êðàéíå ðåäêî.Íà ïðàêòèêå îòíîñèòåëüíî ìîäåëèðóåìîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè äåëàåòñÿ ðÿä ïðåäïîëîæåíèé, ÷àñòî íåäîñòàòî÷íî ïîëíûé äëÿ òîãî, ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ áûëà îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.
Îñîáåííî ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðåàëèçàöèè íåãàóññîâñêèõ ôóíêöèé,äëÿ êîòîðûõ ñïåêòð ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ íåäîñòàòî÷íî øèðîê, èäëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîäåëåé âûïîëíÿþòñÿ ëèøü âåñüìà îáùèå ïðåäïîëîæåíèÿ (ñòàöèîíàðíîñòü, íåãàóññîâîñòü ðåàëèçàöèé, âîñïðîèçâåäåíèå îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,ñîõðàíåíèå ïåðâûõ ìîìåíòîâ), à îñòàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðèíèìàþòñÿ òàêèìè, êàêèìè ïîëó÷àþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè.ìåòîäîì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéÐÿä ìîäåëåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξn (t), äëÿêîòîðîé òðåáóåìûå ñâîéñòâà ìîäåëèðóåìûõ òðàåêòîðèé ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî ïðè n → ∞.Äëÿ òàêèõ ìîäåëåé òðåáóåòñÿ èçó÷àòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξn (t) â ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñìûñëàõ (ñì.
äàëåå ðàçä. 2.3).Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî òåîðèÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî íîâûì íàó÷íûì íàïðàâëåíèåì ñ íå âïîëíå óñòîÿâøåéñÿòåðìèíîëîãèåé. Êðîìå òîãî, êîíêðåòíûå ïðèëîæåíèÿ òðåáóþò, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçîâàíèÿ ñïåöèàëüíûõ êîíñòðóêöèé è ïðèåìîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâè ïîëåé, ïðè ýòîì èìåþùàÿñÿ îáùíîñòü âû÷èñëèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé íå î÷åâèäíà âñèëó íàëè÷èÿ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ñïåöèàëüíûõ íåñòàíäàðòíûõ òåðìèíîâ.2.2. ÀÄÅÊÂÀÒÍÎÑÒÜ ÌÎÄÅËÅÉ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂÈ ÏÎËÅÉ2.2.1. Âîñïðîèçâåäåíèå îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ìåòîä îáðàòíîé ôóíê-Êàê óêàçàíî â ðàçä. 2.1, â îáùåì ñëó÷àå ïîñòðîåíèå ÷èñëåííûõìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ òî÷íûì âîñïðîèçâåäåíèåì âñåõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ëèáî êðàéíå òðóäîåìêî, ëèáî íåâîçìîæíî.
Êàê ïðàâèëî, ñòàâèòñÿ çàäà÷à ðåàëèçàöèè òðåáóåìîãî îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è íåêîòîðûõ óñðåäíåííûõ õàðàêòåðèñòèêìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (â ïåðâóþ î÷åðåäü, êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè).Óêàæåì ïðåæäå âñåãî ñëåäóþùóþ âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè çàäàííîé íåïðåðûâíîéôóíêöèè Fξ (x) îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξ(t).Àëãîðèòì 2.1.η̃(t)η(t)Fη (y)ξ(t)öèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ðåàëèçóåì ýêîíîìè÷íóþ ìîäåëüñëó÷àéíîé ôóíêöèèíåïðåðûâíîé ôóíêöèåéîäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþäåëèðóåì ñîãëàñíî ôîðìóëå−1˜ = F (Fη (η̃(t))) .ξ(t)ξñìî-(2.8)ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿÀëãîðèòì 2.1 íàçûâàåòñÿ. Ñëó÷àéíàÿ˜ èìååò ôóíêöèþ îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x). Ýòî ñëåäóåò èç òîãîôóíêöèÿ ξ(t)ïðîñòîãî ôàêòà, ÷òî ñòàíäàðòíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî α è Fη (η) îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû(çäåñü Fη (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ) ñì.
ïîäðàçä. 1.4.1.Îòìåòèì, ÷òî àëãîðèòì 2.1, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ïðè÷åì â êà÷åñòâå η̃(t) èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü γ̃(t) îäíîðîäíîãî ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ γ(t) ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Eγ(t) ≡ 0,êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ρ(u) è äèñïåðñèåé Dγ(t) = ρ(0) = 1. Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå(2.8) ïðèîáðåòàåò âèä˜ = F −1 (Φ(γ̃(t))),(2.9)ξ(t)ξãäå Φ(y) ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
