1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ïðè p = 2 ýòó ñõîäèìîñòü íàçûâàþò òàêæåè ïèøóò ξ(t) = l.i.m. ξn (t) (çäåñü l.i.m. ñîêðàùåíèå îò"ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì") ñì., íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèå (2.7). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îïðåäåëåíèå 2.12 èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, äëÿ p ≥ 1 â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿôóíêöèîíàëüíîå (âåðîÿòíîñòíîå) ïðîñòðàíñòâî Lp (T ) ÿâëÿåòñÿ, ò.å. âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.2.3.2.
Ôóíêöèîíàëüíàÿ (ñëàáàÿ) ñõîäèìîñòü â Z(T ). Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè â C(T ) è D(T ) â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé.  ïðèëîæåíèÿõ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξ(t), êàê ïðàâèëî, âõîäèò â îïèñàíèåìîäåëèðóåìîãî ðåàëüíîãî ïðîöåññà òàêèì îáðàçîì, ÷òî â êîíå÷íîì èòîãå òðåáóåòñÿ èññëåäîâàòü âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {F (ξ(t))} äëÿ íåêîòîðîãîíàáîðà ôóíêöèîíàëîâ {F }.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âìåñòî ôóíêöèè ξ(t) åå ÷èñëåííîé ìîäåëè ξn (t) âàæíàïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (t)} ïðè n → ∞,ò.å. ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {F (ξn (t))} ê {F (ξ(t))}.Ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿ è êðèòåðèè [1, 11, 12]. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé {ξn (t)}, ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè êîòîðûõ ëåæàò â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå Z(T ) ñ ìåòðèêîé ρZ (îáîçíà÷åíèå ξn ∈ Z(T )). Âåçäå äàëååïîëàãàåì, ÷òî t ∈ T , ãäå T âûïóêëàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé â Rl .Ïóñòü íà Z(T ) îïðåäåëåí êëàññ íåïðåðûâíûõ â ìåòðèêå ρZ ôóíêöèîíàëîâñòüþ âðàòè÷åñêîìïîëíûìôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòüF ⊂ {F : Z(T ) → R, F èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî AZ }.Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé {ξn(t)}ê ξ(t), åñëè äëÿ âñåõ F èç F è x èç R âûïîëíåíîPξ (z ∈ Z(T ) : F (z) < x) → Pξ (z ∈ Z(T ) : F (z) < x) ïðè n → ∞.Çäåñü Pξ (B) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) íà Z(T ) ñì.
îïðåäåëåíèå 2.3.Îïðåäåëåíèå 2.13.ñëàáî ñõîäèòñÿ ânZ(T )ñëàáîé ôóíêöèîíàëüíîé äàëüíåéøåì ïîíÿòèÿèñõîäèìîñòè â Z(T ) áóäåì ñ÷èòàòüýêâèâàëåíòíûìè.  îáùåé òåîðèè ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ îáùèéêðèòåðèé ñëàáîé ñõîäèìîñòè, âêëþ÷àþùèé àáñòðàêòíûå (òðóäíî ïðîâåðÿåìûå) óñëîâèÿè[11, 12].  ñëó÷àå Z(T ) = C(T ) ∨ D(T ),èñïîëüçóÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ýòè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè è ñåïàðàáåëüíûìè, óäàåòñÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Â÷àñòíîñòè, óñëîâèå ñõîäèìîñòè íà àëãåáðå äëÿ ïðîñòðàíñòâ C(T ) è D(T ) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåñõîäèìîñòè íà àëãåáðå ñëàáîé êîìïàêòíîñòèÊîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξn(t) ñõîäÿòñÿ(2.16)ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ôóíêöèè ξ(t) ïðè n → ∞. ñâîþ î÷åðåäü, óñëîâèå ñëàáîé êîìïàêòíîñòè ïåðåïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè.
Ýòî óñëîâèå ÷àñòî ñëîæíî ïðîâåðèòü, è äëÿ ïðèëîæåíèé óäîáíåå èñïîëüçîâàòü áîëåå îãðàíè÷èòåëüíûå, íî ïðîñòûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ [1, 5].Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: ∆h ξ(t) = ∆h1 1 (∆h2 2 (. . . (∆hl l ξ(t1 , . . . , tl )) . . .)) çäåñüøàííàÿ ðàçíîñòü ïî âñåì êîîðäèíàòàì,∆hi i ξ(t1 , . . . , tl ) = ξ(t1 , . . .
, ti−1 , ti + hi , ti+1 , . . . , tl ) − ξ(t1 , . . . , tl ),ñìå-(2.17)t = (t1 , . . . , tl ), h = (h1 , . . . , hl ), t + h ∈ T .Óòâåðæäåíèå 2.2 (óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(T ) â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé).Åñëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn(t)} âûïîëíåíî óñëîâèå (2.16) è, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà p, r è H òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ t è h, ãäå t, t + h ∈ T ,è n = 1, 2, . . . âûïîëíåíîlY1+rE|∆h ξn (t)|p ≤ H hj ,(2.18)j=1òî ξn ∈ C(T ), n = 0, 1, 2, .
. . (òî åñòü ôóíêöèè ξn âûáîðî÷íî íåïðåðûâíû) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn(t)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(t). ñëó÷àå hj = 0 ðàçíîñòü (2.17) ïî j -é êîîðäèíàòå â ∆h ξn (t) íå áåðåòñÿ è íóëåâîåhj îòñóòñòâóåò â ïðàâîé ÷àñòè (2.18).  ÷àñòíîñòè, ïðè h1 = . . . = hl = 0 âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî E|ξn (t)|p < H äëÿ âñåõ t ∈ T .Óòâåðæäåíèå 2.3 (óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â D(T ) â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé).{ξn (t)}(2.16)r, Hp, q (p ≥ 0, q ≥ 0, p + q > 0)(1)(2)(3)i, i = 1, . .
. , l; ti , ti , ti ∈ [ai , bi ]T = [a1 , b1 ] × . . . × [al , bl ](1)(2)(3)ti < ti < tin = 1, 2, . . .−+(1)(2)E |∆h(i) ξn (t1 , . . . , ti−1 , ti , ti+1 , . . . , tl )|p |∆h(i) ξn (t1 , . . . , ti−1 , ti ,Åñëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëàäëÿ ëþáûõòàêèõ, ÷òî;èâûïîëíåíî óñëîâèåè ÷èñëà(ïî-ïðåæíåìóâûïîëíåíîqti+1 , . . . , tl )|l Y≤H(i)è, êðîìå òîãî, ñóùåòàêèå, ÷òî)1+r(3)(1) hj (ti − ti ) ,(2.19)j=1òî ξn ∈ D(T ), n = 0, 1, 2, . . .
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn(t)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(t). Çäåñü(2)(1)h−(i) = (h1 , . . . , hi−1 , ti − ti ,lYj=1(i)(3)(2)hi+1 , . . . , hl ), h+(i) = (h1 , . . . , hi−1 , ti − ti , hi+1 , . . . , hl ),hj = h1 · . . . · hi−1 · hi+1 · . . . · hl ;tj + hj ∈ [aj , bj ].Óòâåðæäåíèå 2.3 èñïîëüçîâàíî äàëåå â ðàçä. 2.7 äëÿ îáîñíîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîéñõîäèìîñòè ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íà ïîòîêàõ Ïàëüìà.2.3.3. Äèôôåðåíöèàëüíûå óñëîâèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè â C(T ).Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå óñëîâèé ñëàáîé êîìïàêòíîñòè â C(T ) ñâÿçàíî ñ ïåðåõîäîì îòóñëîâèÿ â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé (2.24) ê òàê íàçûâàåìûìèóñëîâèÿì.
Çäåñü äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íóæíî ñòðîèòü "ìàòåìàòè÷åñêèéàíàëèçp, p > 1", èñïîëüçóÿ "ìîäóëü" E|ξ|p â îáëàñòè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè âìåñòî îáû÷íîãî ìîäóëÿ äëÿ íåñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé 'ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç' äëÿ p = 2.Ïðèìåðîì ñîîòâåòñòâóþùåãî âåðîÿòíîñòíîãî àíàëîãà ïîíÿòèÿ êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñëóæèò ñëåäóþùååÎïðåäåëåíèå 2.14.ϕ(t1 , .
. . , tl )ïðîèçâîäíîéñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t1 , . . . , tl ) ïî ié êîîðäèíàòå â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1äèôôåðåíöèàëüíûì ìî-ìåíòíûìâ ñðåäíåì ñòåïåíèâ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìÑëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿíàçûâàåòñÿè îáîçíà÷àåòñÿϕ(t1 , . . . , tl ) =∂ξ(t1 , . . . , tl ),∂tiåñëèE|∆hi i ξ(t1 , . . . , tl )/hi −ϕ(t1 , . . . , tl )|p → 0Ñìåøàííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèèîïðåäåëÿåòñÿ ðåêóððåíòíî:ξïðèâ ñðåäíåì ñòåïåíèhi → 0.p, p > 1, ∂ ∂ l ξ(t1 , . .
. , tl )∂ ∂=...ξ(t1 , . . . , tl ) . . . .∂t1 . . . ∂tl∂t1 ∂t2∂tlÓòâåðæäåíèå 2.4ïðè p > 1 ñëó÷àéíûå ôóíêöèèñòåïåíè p è äëÿ ëþáîãîDm1 ...ml ξn (t) =Ïóñòüíåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå â ñðåäíåìñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå(äèôôåðåíöèàëüíûå óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(T )).ξn (t), n = 1, 2, . . .Tk: 1≤k≤l∂ k ξn (t1 , . . . , tl )ml , mi = 01∂tm1 .
. . ∂tlèëèmi = 1, m1 + . . . + ml = k(ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà k, ïî êàæäîé êîîðäèíàòå íå áîëåå ïåðâîãî ïîðÿäêà)â ñðåäíåì ñòåïåíè p, îãðàíè÷åííûå íà T êîíñòàíòîé H , íå çàâèñÿùåé îò n. Òîãäà,åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (2.16), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn(t)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(t).Ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 2.4 èñïîëüçóþòñÿ: âåðîÿòíîñòíûé àíàëîã ôîðìóëûÍüþòîíà-Ëåéáíèöà äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, òåîðåìà Ôóáèíè, à òàêæå ñîîáðàæåíèÿ èçäîêàçàòåëüñòâà ëåììû î êîíå÷íîì ïðèðàùåíèè. Îòìåòèì òàêæå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàòèç [10].Óòâåðæäåíèå 2.5.ξn (t), n = 1, 2, . . .(2.16)Dm1 ...ml ξn (t), mi ≥ 0,k = m1 +.
. .+ml = [l/2]+1[A]Ap, p ≥ 2t∈T{ξn (t)}ξ(t)Óòâåðæäåíèÿ 2.4 è 2.5, âîîáùå ãîâîðÿ, íåçàâèñèìû, òàê êàê èç ñóùåñòâîâàíèÿ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ íå áîëåå ÷åì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî êàæäîé êîîðäèíàòå, äî ïîðÿäêàl âêëþ÷èòåëüíî, íå ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèÿ âñåâîçìîæíûõ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà ([l/2] + 1).2.3.4. Ìîìåíòíûå óñëîâèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè â C(T ).
Äëÿ ñëó÷àÿp ≥ 2 ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå èç êîððåëÿöèîííîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (ñì. ïîäðàçä. 2.1.3 è [4]).Åñëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, âûïîëíåíîóñëîâèåè ñóùåñòâóþò âñåâîçìîæíûå îãðàíè÷åííûå â ñîâîêóïíîñòè ïðîèçâîäíûåäî ïîðÿäêà(çäåñü öåëàÿ ÷àñòü÷èñëà ) âêëþ÷èòåëüíî â ñðåäíåì ñòåïåíè, äëÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñëàáî ñõîäèòñÿ ê .Åñëè ξ(t) îäíîðîäíîå ñëó÷àéíîå ïîëå ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R(u) è f (λ) åãî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëàïðîèçâîäíàÿkÓòâåðæäåíèå 2.6.∂ ξ(t1 , . . .
, tl )ml ,1∂tm1 . . . ∂tlk = m1 + . . . + mlâ ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì (òî åñòü â ñðåäíåì ñòåïåíè p = 2),íåïðåðûâíàÿ â ýòîì æå ñìûñëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ îäíîãî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1) ñóùåñòâóåò ∂u∂ R(u...∂u,...,u ) , è ýòà ïðîèçâîäíàÿ íåïðåðûâíà;2) îãðàíè÷åí ñìåøàííûé ñïåêòðàëüíûé ìîìåíò2k2 m11Z1l2 mll|λ1 |2 m1 . . .
|λl |2 ml f (λ) dλ,λ = (λ1 , . . . , λl ),Λ ⊆ Rl .ΛÈç óòâåðæäåíèÿ 2.6 äëÿ m1 = . . . = ml = 1, óòâåðæäåíèÿ 2.4 äëÿ p = 2 è î÷åâèäíîãîíåðàâåíñòâà |λ1 |2 m1 . . . |λl |2 ml ≤ |λ|2 k ñëåäóåòÓòâåðæäåíèå 2.7 (ìîìåíòíûå óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(T )).ξn (t), n = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
