1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Êàæäûé èç ýòèõïîäõîäîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê òðóäîåìêèì àëãîðèòìàì.  ïåðâîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ðåøàòüñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.40) (èëè ñèñòåìó (2.41)), à âî âòîðîì çàäà÷ó ïîèñêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (2.43). Ïåðå÷èñëåííûåòðóäíîñòè óñóãóáëÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ìíîãîìåðíîìó ñëó÷àþ (ò.å. ê ìîäåëèðîâàíèþñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé). Ñëåäóþùèé ïðèåì äàåò íå âïîëíå àäåêâàòíûé(â ñìûñëå âîñïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé), íî âåñüìà ïðîñòîé ìåòîäïîñòðîåíèÿ ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ.Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî ïðîñòîòà è íåïëîõèå àïïðîêñèìàöèîííûå ñâîéñòâà ïðåäñòàâëÿåìîé ìîäåëè îáóñëàâëèâàåò åå ñàìîå øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ(ñì.
äàëåå ïîäðàçä. 2.6.7).Ïóñòü ξ(t) (t ∈ T ⊂ Rl ) l-ìåðíîå îäíîðîäíîå ãàóññîâñêîå âåùåñòâåííîå ñëó÷àéíîåïîëå ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéZR(u) =cos(u, λ)f (λ) dλ,(2.44)Λãäå f (λ) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü (ñì. îïðåäåëåíèå 2.8 èç ïîäðàçä.2.1.3). Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî m = Eξ(t) ≡ 0 è Dξ(t) = R(0) ≡ 1.Ïîñòðîèì ñëåäóþùóþ ïðîñòåéøóþ êóáàòóðíóþ ôîðìóëó ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëà(2.44) (ñì. äàëåå ðàçä. 3.10).
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ íà ïðîñòûå ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîñâÿçíûå îáëàñòè Λ1 , . . . , Λn è ïðèáëèæåíèåR(u) ≈ Rn (u) =nXpk cos(λk , u),(2.45)k=1ãäå λk ∈ Λk è pk =RΛkf (λ) dλ. Õîðîøî èçâåñòåí ôàêò, ÷òî ñëó÷àéíîå ïîëåξn (t) =nX1/2pk(1)γksin(λk , t) +(2)γksin(λk , t) ,(2.46)k=1(1)(2)ãäå {γk , γk } íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìååò êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ Rn (u) èç (2.45).Ñîîòíîøåíèå (2.46) îïðåäåëÿåò. Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (1.139)èç ðàçäåëà 1.10, âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíìîæíî ïîëó÷àòü ïî ôîðìóëàìñïåêòðàëüíóþ ìîäåëü (ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà) îäíîðîäíîãî ãàóññîâñêîãî âåùåñòâåííîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ(1)γk = (−2 ln αk0 )1/2 sin 2παk00 ,(2)γk = (−2 ln αk0 )1/2 cos 2παk00 .Îòñþäà, èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó "êîñèíóñ ðàçíîñòè", ïîëó÷àåì áîëååóäîáíîå äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëè (2.46):ξn (t) =nX(−2pk ln αk0 )1/2 cos ((λk , t) − 2παk00 ) .(2.47)k=1Ìîäåëü (2.46) âîñïðîèçâîäèò îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå: ïðè ôèêñèðîâàííîì t0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξn (t0 ) èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå (âåäü âûðàæåíèå (2.46) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñòàíäàðòíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ è â òîì, ÷òî Eξn (t0 ) = 0 è Dξn (t0 ) = 1.Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ξn (t) ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè, îäíàêî ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ íå ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ïîëÿξ(t).
Îäíàêî ïðè n → ∞ è pk → 0 âñå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëè (2.46)ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì ïîëÿ ξ(t) (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.6.4). êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè íåñîâïàäåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëåé ξn (t) èξ(t) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèå (2.45), ïîêàçûâàþùåå, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýòèõ ïîëåé êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Rn (u) è R(u) âîîáùåãîâîðÿ, íå ðàâíû. Òåì íå ìåíåå, èìååòñÿ ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé Rn (u) è R(u).
Äëÿ åãî îïèñàíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2.9.ξ(t)χPχ (dv)R(u)ξ(t)ZR(u) = R(u, v) Pχ (dv) = ER(u, χ),(2.48)Ïóñòü îäíîðîäíîå ïîëåíûì âåêòîðîì , èìåþùèì ðàñïðåäåëåíèåïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäåñòîõàñòè÷åñêè ñâÿçàíî ñî ñëó÷àé.
Òîãäà êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþãäå R(u, v) óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ ξ(t) ïðè óñëîâèè χ = v.Ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ýëåìåíòàðíîé ôîðìóëû ïîëíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòðîèòü ïîëå ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé (2.48) ìîæíî â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà âûáðàòü çíà÷åíèå âåêòîðà χ,à çàòåì ïîñòðîèòü ðåàëèçàöèþ ðàíäîìèçèðîâàííîãî ïîëÿ ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R(u, χ). Íà òàêîì ïîäõîäå îñíîâàíà ñëåäóþùàÿ ìîäèôèêàöèÿ ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè(2.46).Àëãîðèòì 2.14.Λkλkλ̃k1).  êàæäîì ýëåìåíòå ðàçáèåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé òî÷êè , ðàñïðåäåëåííîé ñîãëàñíîóñå÷åííîìó ðàñïðåäåëåíèþ:f (λ),λk ∼ fk (λ) =pk2).
Äëÿ ïîëó÷åííîãî íàáîðàξn (t) ïî ôîðìóëå (2.47).{λ1 , . . . , λn }Zf (λ) dλ.pk =(2.49)Λkðåàëèçóåì òðàåêòîðèþ ñëó÷àéíîãî ïîëÿðàíäîìèçèðî-Ìîäåëü (2.47) ñî ñëó÷àéíûì âûáîðîì òî÷åê {λ1 , . . . , λn } íàçûâàåòñÿ. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî äëÿ òàêîé ìîäåëènXRn (u) = Epk cos(λk , u) = R(u);âàííîé ìîäåëüþ ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðàk=1ýòî ñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ 2.9 (ñì. òàêæå äàëåå ñîîòíîøåíèå (2.52)).Óñëîâíîå îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.46) ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ {λ1 , . .
. , λn } ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì; ñëåäîâàòåëüíî,îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàíäîìèçèðîâàííîãî ïîëÿ ξn (t) òîæå ñòàíäàðòíî. Àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.46) íå ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè. Ïîëå ξn (t) îäíîðîäíî, íî íå ýðãîäè÷íî.Ýòè íåäîñòàòêè îñëàáåâàþò ïðè n → ∞ è ïðè ðàâíîìåðíîì èçìåëü÷åíèè ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ (òî÷íåå, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òèïà (2.5)) ñì. äàëåå ïîäðàçä.2.6.32.6.5.2.6.2. Îáîáùåíèå ìîäåëè ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà. Íåãàóññîâñêèå ñïåêòðàëü-Îïèñàííûå â ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ñëåäóþùåé îáùåé êîíñòðóêöèè.íûå ìîäåëè.Äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîçíà÷íîå îäíîðîäíîå (âîîáùå ãîâîðÿ, íåãàóññîâñêîå) ñëó÷àéíîå ïîëå ξ(t) ñ íóëåâûì ñðåäíèì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé.Ïðèâåäåííàÿ â ðàçäåëå 2.1 òåîðåìà Áîõíåðà-Õèí÷èíà (ñì.
óòâåðæäåíèå 2.1) ãëàñèò îòîì, ÷òî ïîëå äîïóñêàåò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (2.4) (ñì. îïðåäåëåíèå 2.9). Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.5) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZξ(t) =ei (t,λ) dΦ(λ) = l.i.m.n→∞ ξn (t),(2.50)Λãäåξn (t) =nXi (t,λk )γk eZ,dΦ(λ).γk =(2.51)Λkk=1Èíòåãðàëüíóþ ñóììó ξn (t) èç (2.51) ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ìîäåëè ñëó÷àéíîãîïîëÿ ξ(t). Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî ïðèáëèæåíèå (2.46) ñîâïàäàåò ñ (2.51) äëÿ ñëó÷àÿìîäåëèðîâàíèÿ âåùåñòâåííîãî ãàóññîâñêîãî îäíîðîäíîãî ïîëÿ (ñì. ïîäðàçä.
2.1.3).Èñïîëüçîâàíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè â âèäå (2.51) âìåñòî (2.46) ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ìíîãèå âûêëàäêè. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå òåçèñà î òîì, ÷òî ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü èç àëãîðèòìà 2.14 âîñïðîèçâîäèò êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþìîäåëèðóåìîãî ïîëÿ. Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (2.49) è ñâîéñòâà ñëó÷àéíîé ìåðû Φ(λ),îïèñàííûå â ïîäðàçä.
2.1.3, ïîëó÷àåì!ZnZ∗Xei(λk ,t1 )−i(λj ,t2 )dΦ(λ)dΦ(λ)=Rξn (t1 , t2 ) = EΛkk,j=1=EnX(λk ,t1 −t2 )eZΛki=1=n ZXk=1Λk2dΦ(λ)i(λ,t1 −t2 )e!n ZX=EΛkk=1Zf (λ) dλ =Λj2 ZdΦ(λ) ×Λki(λ,t1 −t2 )ef (λ)dλ =pkei(λ,t1 −t2 ) f (λ) dλ = R(t1 − t2 ).(2.52)ΛÎáû÷íî ìîäåëü (2.51) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òîëüêî ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû γk èç (2.51) ðåàëèçóþòñÿ íà ÝÂÌêàê íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à â ýòîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.5)êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëè (2.51) ñõîäÿòñÿ ê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿìïðè n → ∞ (ýòî ñëåäóåò èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñì. äàëåå óòâåðæäåíèå2.11 èç ïîäðàçä.
2.6.4).Äëÿ ðåàëèçàöèè íåãàóññîâñêèõ ïîëåé ξ(t) ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóë (2.50), (2.51)ñëåäóåò ìîäåëèðîâàòü çàâèñèìûå âåëè÷èíû {γk }, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðîñòî. Êðîìåòîãî, äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ïðåäåëüíîãî ïîëÿòðåáóåòñÿ äîêàçûâàòü áîëåå òîíêèå (ïî ñðàâíåíèþ ñ öåíòðàëüíîé) ïðåäåëüíûå òåîðåìû,êîòîðûå áóäóò ê òîìó æå îáëàäàòü ìàëîé ñòåïåíüþ îáùíîñòè. Çäåñü äîñòàòî÷íî ïåðñïåêòèâíûì âèäèòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïðåîáðàçîâàíèé ãàóññîâñêèõ ìîäåëåé âèäà (2.10),ðàññìîòðåííûõ â ïîäðàçä.
2.2.1.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî îäíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ àëãîðèòì2.1 â ôîðìå (2.9).2.6.3. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Ïðèâåäåì åùå îäèíïðèìåð ýôôåêòèâíîãî èñïîëüçîâàíèÿ êîìïàêòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.51) ñïåêòðàëüíîéìîäåëè âìåñòî (2.46).
Ðå÷ü ïîéäåò î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ξn (t) ê ξ(t) ïðè n → ∞ âñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå (ñàì ôàêò òàêîé ñõîäèìîñòè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èçòåîðåìû Áîõíåðà-Õèí÷èíà ñì. óòâåðæäåíèå 2.1).Óòâåðæäåíèå 2.10.Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî β > 0 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåZ|λ|β f (λ) dλ < H1(2.53)Λè, êðîìå òîãî,dk = diam Λk < H2 an n−1/l ,k = 1, . . . , n − 1(2.54)(òàêîå ðàçáèåíèå îáëàñòè {|λ| < an} ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ðàâíîìåðíóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ðåøåòêó ñ øàãîì ïî êàæäîé îñè ïîðÿäêà n−1/l ), òî ïðèan = H3 n2/(l(2+β)) äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî n èìååò ìåñòî îöåíêàE|ξn (t) − ξ(t)|2 < H4 n−2 β/(l(2+β)) ,ãäå êîíñòàíòà H4 íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà t, ïðèíàäëåæàùåãî îãðàíè÷åííîìó ìíîæåñòâó T .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè (2.52) èìååì2E|ξn (t) − ξ(t)| = EZnXk,j=1Z×Λji(λj ,t)ei(λ,t)−eΛk!∗ !dΦ(λ)ei(λk ,t) − ei(λ,t) dΦ(λ)×=n ZXk=1Λk2 i(λk ,t)i(λ,t) −ee f (λ) dλ.Íåñëîæíî âû÷èñëèòü (ó÷èòûâàÿ, ÷òî eiu = cos u + i sin u), ÷òî2 i(λk ,t)i(λ,t) −ee = 2 − 2 cos((λk , t) − (λ, t)).Çàìåòèì, ÷òî |λk − λ| < dk ïðè λk , λ ∈ Λk è k = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
