1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 27
Текст из файла (страница 27)
. . + ξn , ãäå ξj íåçàâèñèìûåè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F1/n (x),âîçìîæíà ñëåäóþùàÿ ìîäèôèêàöèÿ àëãîðèòìà 2.15.P(n)(n)ξ˜j (t; R)Àëãîðèòì 2.16.ζn (t; R) = nj=1 ξ˜j (t; R)R(u)F1/n (x)2.15Ïðîöåññ ζn (t; R) èìååò îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå F (x) è êîððåëÿöèîííóþ ôóíê˜ R) â ñìûñëå áëèçîñòè êöèþ R(u). Ðåàëèçàöèè ζn (t; R) óëó÷øåíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ξ(t;íåïðåðûâíûì ôóíêöèÿì, òàê êàê ζn (t; R) ïðèíèìàåò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ â ìåíüøèõîáëàñòÿõ, è ýòè çíà÷åíèÿ çàâèñèìû.
Íà ïðàêòèêå àëãîðèòì 2.16 äîñòàòî÷íî ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà F (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå (ñì. ðàçä. 1.9),êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áåçãðàíè÷íî äåëèìûì. Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 2.16 ìîæíî ñòðîèòü èãàóññîâñêèå ïðîöåññû (ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå òàêæå áåçãðàíè÷íî äåëèìî), îäíàêîçäåñü öåëåñîîáðàçíåå èñïîëüçîâàòü ìîäåëè èç ðàçä. 2.5 è 2.6.Êëàññ ìîäåëèðóåìûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ìîæíî ðàñøèðèòü ñ ïîìîùüþ çàìåíû u íà (λ u) è ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé ðàíäîìèçàöèè ïî λ. Íàïðèìåð, åñëè "èñõîäíàÿ"êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä (2.60), òî "ðàíäîìèçèðîâàííàÿ", ãäåÐåàëèçóåì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéèôóíêöèåé îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ(ýòè ðåàëèçàöèè ñòðîèì ñîãëàñíî àëãîðèòìó ).ZRrand (u) =+∞e−λ u µ(dλ),0R +∞ãäå µ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà (0, +∞) òàêàÿ, ÷òî P(λ = 0) = 0 è 0 λ µ(dλ) < +∞.
Âñèëó èçâåñòíîé òåîðåìû Áåðíøòåéíà, èìåííî â òàêîì âèäå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëþáóþàáñîëþòíî ìîíîòîííóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ (ïî îïðåäåëåíèþ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f, åñëè (−1)k f (k) (u) ≥ 0; k = 0, 1, 2, . . .).Äëÿ ôóíêöèè Rrand (u) âûïîëíåíû óñëîâèÿ (2.59) è ïëîòíîñòè q1 (u) è q(u) èìåþò âèäR +∞ 2 −λ uZ +∞λ eµ(dλ)λ e−λ u µ(dλ), q(u) = 0 R +∞q1 (u) =.λµ(dλ)00àáñîëþòíî ìîíîòîííàÅñëè ìåðû µ è λ µ óäîáíî ìîäåëèðóþòñÿ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåàëèçàöèé âåëè÷èí ηi ; i =1, 2, . . . öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàëüíûé ìåòîä ñóïåðïîçèöèè (ñì. ïîäðàçä.1.6.1).2.7.3. Ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ïîëåé.
Èçëîæåííîå âûøå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿìîäåëèðîâàíèÿ îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξ(t; R); t ∈ T = [0, A1 ] × . . . × [0, Al ] ñ áåçãðàíè÷íî äåëèìûì îäíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó.Àëãîðèòì 2.17. Äëÿ êàæäîãî j, j = 1, 2, . . . , n :1) íà ié êîîðäèíàòíîé îñè ñòðîèì ïîòîê Ïàëüìà {τk(i,j)} äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêi(i)(i)öèè R (ui), i = 1, . .
. , l (ôóíêöèè R (ui) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (2.59));(1,j)(l,j)(l,j)2) ïðè t = (t1, . . . , tl ) ∈ [τk(1,j), τk1 ) × . . . × [τkl −1 , τkl ) ïîëàãàåì1 −1(n)ξ˜j (t; R̃) ≡ ξk1 ...kl , R̃ = (R(1) , . . . , R(l) ),ãäå ξk ...k íåçàâèñèìûå äëÿ ðàçíûõ íàáîðîâ {ki} ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F1/n(x). Òîãäà îäíîðîäíîå ñëó÷àéíîå ïîëå1lβn (t; R1 ) =nX(n)ξ˜j (t; R̃)(2.62)j=1èìååòîäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå F (x) è íîðìèðîâàííóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ R1(u) =Ql(i)i=1 R (ui ).Ìîæíî òàêæå ðàññìîòðåòü ñëåäóþùóþ ìîäåëü.Àëãîðèòì 2.18.Ñòðîèìγn (t; R2 ) =lXi=1ζ̃n(i) (ti ;(i)R ),ζ̃n(i) (ti ;(i)R )=nX(n,i)ξ˜j (ti ; R(i) ),(2.63)j=1ãäå ξ˜j(n,i)(ti; R(i)) íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R(i)(ui) è ôóíêöèåé îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F1/(nl)(x); ýòè ðåàëèçàöèè ìîäåëèðóþòñÿ ñîãëàñíî àëãîðèòìó 2.15.
Ïîëå (2.63) èìååò îäíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå F (x) èPlíîðìèðîâàííóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ R2(u) = (1/l) × i=1 R(i)(ui). ñâÿçè ñ òåì ÷òî îñíîâíîå âðåìÿ ÝÂÌ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëåé (2.62) è (2.63)èäåò íà ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F1/n (x) è F1/(nl) (x),ìîäåëü (2.63) ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýêîíîìè÷íîé, òàê êàê äëÿ åå ðåàëèçàöèè òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü â ñðåäíåì (ν l n) çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, à äëÿ ìîäåëè (2.62) (ν l n)çíà÷åíèé; çäåñü ν ñðåäíåå êîëè÷åñòâî òî÷åê ïîòîêà Ïàëüìà íà êàæäîé êîîðäèíàòíîéîñè.Ìîäåëè (2.62) è (2.63) ÿâëÿþòñÿ ðàçíûìè õîòÿ áû â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè âîñïðîèçâîäÿò îòëè÷íûå äðóã îò äðóãà êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè R1 (u) è R2 (u).
Êàê è âîäíîìåðíîì ñëó÷àå, êëàññ ìîäåëèðóåìûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ìîæíî ðàñøèðèòü,çàìåíÿÿ ui â âûðàæåíèÿõ äëÿ R1 (u) è R2 (u) íà (λi ui ) è ðåàëèçóÿ äîïîëíèòåëüíóþðàíäîìèçàöèþ ïî ïàðàìåòðó λ = (λ1 , . . . , λl ). Íàïðèìåð, åñëè âñå "èñõîäíûå"R(i) (ui )ýêñïîíåíöèàëüíûå: R(i) (ui ) = exp(−ui ), ui ≥ 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèå "ðàíäîìèçèðîâàííûå"êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè èìåþò âèäZR1,rand (u) =exp(−λ1 u1 − . . . − λl ul ) µ(dλ), Λ = [0, +∞)l ,Λãäå µ(λ) âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà Λ, èl Z1 X +∞R2,rand (u) =exp(−λi ui ) µi (dλi ),l i=1 0ãäå µi (λ) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà [0, +∞).Çàìåòèì, ÷òî òðàåêòîðèè ïîñòðîåííûõ â àëãîðèòìàõ 2.162.18 ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåéïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà ïî êàæäîé êîîðäèíàòå D(T ) (ñì.
ïîäðàçä. 2.1.1). Ïîýòîìó ïðè äîêàçàòåëüñòâå ôàêòà ñëàáîé ñõîäèìîñòèñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.3.Îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê îäíîìåðíîé ìîäåëè ζn (t; R) èç àëãîðèòìà 2.16.Ïðåäåëüíûå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ζn (t; R) ïîëó÷àþòñÿèç ñëåäóþùèõ äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèõ êîìáèíàòîðíûõ ðàññóæäåíèé. Çàìåòèì ñíà÷àëà,÷òî åñëè ϕ(w) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà ζn (t; R), òî õàðàêòåðèñòè÷å(n)ñêèå ôóíêöèè ñëàãàåìûõ ξ˜j (t; R) îäèíàêîâû è ðàâíû ϕn (w) = ϕ1/n (w) (òàê êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ïðîèçâåäåíèþõàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëàãàåìûõ). Àíàëîãè÷íî, åñëè ϕm n (Tm ; w1 , .
. . , wm ), ãäåTm = (t1 , . . . , tm ), t1 ≤ . . . ≤ tm , õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ mìåðíîãî ÷àñòíîãî(n)ðàñïðåäåëåíèÿ ñëàãàåìûõ ξ˜j (t; R), òî ϕnm n (Tm ; w1 , . . . , wm ) ñîîòâåòñòâóþùàÿ õàðàê(n)òåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû ζn (t; R). Êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ ïîòîêà òî÷åê äëÿ ξ˜ (t; R)2.7.4. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòü: îäíîìåðíûé ñëó÷àé.jðàçáèâàåò ôèêñèðîâàííûé íàáîð òî÷åê Tm (â ñìûñëå ïîïàäàíèÿ â îäèí è òîò æå ïîëó(s)(s)(j)(j)èíòåðâàë [τi−1 , τi )) íà ïîäìíîæåñòâà ñ êîëè÷åñòâîì òî÷åê k1 , . . . , kns , ãäå s íîìåðâàðèàíòà ðàçáèåíèÿ. Ïîëíîå êîëè÷åñòâî òàêèõ âàðèàíòîâ ðàâíî 2m−1 (ýòîò ôàêò äîêàçûâàåòñÿ ïî èíäóêöèè: î÷åðåäíàÿ òî÷êà ti , i = 1, . .
. , m ìîæåò ïîïàñòü ëèáî â îäèí ïîëóèíòåðâàë ñ ti−1 äëÿ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ðàçáèåíèé (i − 1) òî÷åê, ëèáî â ñëåäóþùèéïîëóèíòåðâàë äëÿ òåõ æå âàðèàíòîâ, òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ óäâîåíèå ÷èñëà âàðèàíòîâ).Âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ î÷åðåäíîãî s-ãî âàðèàíòà îáîçíà÷èì ÷åðåç ps .Óòâåðæäåíèå 2.14.mn→∞ζn (t; R)psQ2m−1 Qnslimn→∞ ϕnm n (Tm ; w1 , . . . , wm ) = s=1ϕ(w+...+w)=q(s,j)q(s,j+1)−1j=1j−1(2.64)P (s)= ψm (Tm ; w1 , .
. . , wm ), q(s, j) =ki + 1, q(s, 1) = 1,òåëüíîñòèÏðåäåëüíûå -ìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèèìåþò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþïîñëåäîâà-i=1ïðè÷åì ôóíêöèè ψm óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñîãëàñîâàííîñòè.(n)= 2. Îáîçíà÷èì ξ˜j (ti ; R) =ξi , i = 1, 2 è t2 − t1 = ∆t. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî R(u) = P(k = 0; u), èìååìÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì åãî ïîäðîáíî äëÿ ñëó÷àÿ mϕ2 n (T2 ; w1 , w2 ) = E exp(i(ξ1 w1 + ξ2 w2 )) = R(∆t) ϕ1/n (w1 + w2 ) + (1 − R(∆t)) ϕ1/n (w1 )××ϕ1/n (w2 ) = R(∆t) exp((1/n) ln ϕ(w1 + w2 )) + (1 − R(∆t)) exp((1/n) ln(ϕ(w1 ) ϕ(w2 ))).Ðàçëàãàÿ ýêñïîíåíòû â ðÿä Òåéëîðà, ïîëó÷àåì−1ϕ2 n (T2 ; w1 , w2 ) = 1 + nR(∆t) ln ϕ(w1 + w2 ) + (1 − R(∆t)) ln(ϕ(w1 ) ϕ(w2 ) + o(n−1 ).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî limn→∞ (1 + A/n)n = eA , ïîëó÷àåìϕn2 n (T2 ; w1 , w2 ) → (ϕ(w1 + w2 ))R(∆t) (ϕ(w1 ) ϕ(w2 ))1−R(∆t) = ψ2 (T2 ; w1 , w2 ).Ôóíêöèÿ ψ2 (T2 ; w1 , w2 ) îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è, êðîìå òîãî, ψ2 (T2 ; w, 0) = ψ2 (T2 ; 0, w) = ϕ(w), òî åñòü óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ m = 2âûïîëíåíû.
Äëÿ m > 2 äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî (íî ôîðìóëû áîëåå ãðîìîçäêèå).Ïðîäîëæàåì ïðîâåðÿòü óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.3. Íåðàâåíñòâî (2.19) äëÿ l = 1 âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:E(|ζn (t3 ; R) − ζn (t2 ; R)|p |ζn (t2 ; R) − ζn (t1 ; R)|q ) ≤ H1 (t3 − t1 )1+r(2.65)ïðè t1 ≤ t2 ≤ t3 , 0 ≤ p ≤ 2, 0 ≤ q ≤ 2, p + q > 0, r > 0, H1 > 0.Óòâåðæäåíèå 2.15.|R00 (u)| < H2[0, A] ξ ≥ 0ξF (x)(2.65)p=q=r=1ζn (t; R)D([0, A])(2.64)R(u)F (x)Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ζn (t; R) (ñì.àëãîðèòì 2.16) ñëåäóåò, ÷òîÅñëèíàè, ãäå îáîçíà÷àåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, òî âûïîëíåíîäëÿ,è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîäåëüñëàáî ñõîäèòñÿ âê ïðîöåññó, îïðåäåëÿåìîìóïðåäåëüíûìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, ñ íîðìèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéè ôóíêöèåé îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.000|ζn (t ; R) − ζn (t ; R)| ≤ν(t00 −t0 )X(2)(1)ˆˆξi,n + ξi,n ,i=1(n)ãäå t0 ≤ t00 , ν(t00 − t0 ) ñëó÷àéíîå ÷èñëî ñîîòâåòñòâóþùèõ {ξ˜j (t; R)} ðåàëèçàöèé ïî(2)(1)òîêà, èìåþùèõ õîòÿ áû îäíó òî÷êó â (t0 , t00 ); âåëè÷èíû ξˆ è ξˆ ñîîòâåòñòâóþùèåi,ni,nâêëàäû, òî åñòü íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñîãëàñíîôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F1/n (x) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (äàëåå äëÿ òàêèì îáðàçîì ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå ξˆi,n áåç âåðõíåãî èíäåêñà).Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Âàëüäà, ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêóE(|ζn (t3 ; R) − ζn (t2 ; R)| |ζn (t2 ; R) − ζn (t1 ; R)|) ≤ 4 E(ν(t3 − t2 ) ν(t2 − t1 )) (Eξˆi,n )2 +(n)(n)(n)(n)+n P (ξ˜j (t3 ; R) − ξ˜j (t2 ; R)) (ξ˜j (t2 ; R) − ξ˜j (t1 ; R)) > 0 E(ξˆi,n )2 .Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ(n)(n)(n)(n)P (ξ˜ (t3 ; R) − ξ˜ (t2 ; R)) (ξ˜ (t2 ; R) − ξ˜ (t1 ; R)) > 0 ≤ H3 (t3 − t2 )(t2 − t1 ),jjjj(n)E(ν(t3 − t2 ) ν(t2 − t1 )) ≤ H4 n2 (t3 − t2 )(t2 − t1 ), Eξ˜j=DξEξ(n), Dξ˜j =.nn èòîãå ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîE(|ζn (t3 ; R) − ζn (t2 ; R)| |ζn (t2 ; R) − ζn (t1 ; R)|) ≤ H5 (t3 − t2 )(t2 − t1 ) ≤ H5 (t3 − t1 )2 .2.7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
