1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 22
Текст из файла (страница 22)
.fn (λ)(2.16)HZsup |λ|β fn (λ) dλ < H(2.20)Åñëè äëÿ îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåéñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìèâûïîëíåíî óñëîâèåè ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà òàêàÿ, ÷òîâûïîëíåíînΛäëÿ β = 2 l, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn(t)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(t).Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî èç óòâåðæäåíèé 2.5, 2.6 ìîæíî ïîëó÷èòü ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíîå ìîìåíòíîå óñëîâèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè (2.20) ñ β = 2 ([l/2] + 1).2.3.5.
Íåïðåðûâíîñòü âàæíåéøèõ ôóíêöèîíàëîâ â C(T ) è D(T ).  ðÿäåïðèëîæåíèé (â òîì ÷èñëå, ïðè èñïîëüçîâàíèè ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé è ïðè îáîñíîâàíèè ôóíêöèîíàëüíûõ îöåíîê ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî) âàæíàñõîäèìîñòü (à çíà÷èò, è íåïðåðûâíîñòü) ôóíêöèîíàëîâF̃C (z) = sup z(t), z ∈ C(T ) è F̃D (z) = sup z(t), z ∈ D([a, b]).t∈Tt∈[a,b]Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùååÔóíêöèîíàëíåïðåðûâåí â ìåòðèêå ρD .Óòâåðæäåíèå 2.8.F̃Cíåïðåðûâåí â ìåòðèêåρC .Ôóíêöèîíàë ðÿäå ñëó÷àåâ òðåáóåòñÿ íåïðåðûâíîñòü â C(T ) ôóíêöèîíàëà F̂ (z) =C(T ), êîòîðàÿ ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿZ|F̂ (z1 ) − F̂ (z2 )| ≤|z1 (t) − z2 (t)| dt ≤ mes T ρC (z1 , z2 ).RTF̃Dz(t) dt, z ∈T2.4.
ÌÎÄÅËÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Ñ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÌÂÐÅÌÅÍÅÌ2.4.1. Äèñêðåòèçàöèÿ è âîñïîëíåíèå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûìÏóñòü ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξ(t) ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì çàäàíà ñâîèìè (ñîãëàñîâàííûìè) êîíå÷íîìåðíûìèðàñïðåäåëåíèÿìè è òðåáóåòñÿ ïîëó÷àòü òðàåêòîðèè ξ(t) íà îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâåâðåìåíåì. Ìåòîä óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.T . Êàê îòìå÷åíî â ïîäðàçä.
2.1.5 è 2.2.3, òî÷íîå âîñïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé âîçìîæíî òîëüêî â ðåäêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿñëåäóþùèé ïðèáëèæåííûéÀëãîðèòì 2.4. Ñòðîèì ñåòêó {t(0) , t(1) , . . . , t(M ) } íà T . Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå (M + 1)-ìåðíîãî âåêòîðà˜ (0) ), ξ(t˜ (1) ), . . .
, ξ(t˜ (M ) )) = (ξ˜0 , ξ˜1 , . . . , ξ˜M )ξ̃ = (ξ(t(2.21)ñîãëàñíî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fξ(M )(x), ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(M )Fξ (x) (ñì. îïðåäåëåíèå 2.11); çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì 1.16 èçðàçä. 1.5 èëè åãî ìîäèôèêàöèè.  êà÷åñòâå ìîäåëüíîé òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèèξ(t) âîçüìåì ïðèáëèæåíèå˜ =ξ˜(M ) (t) = LM ξ(t)ãäåMXwm (ξ̃)χm (t),(2.22)i=0{χm (t)} çàäàííûå "áàçèñíûå"ôóíêöèè, ñîãëàñîâàííûå ñ óçëîâûìè òî÷êàìè{t , t(1) , . .
. , t(M ) }, à {wm } êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå îò çíà÷åíèé {ξ˜i }.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìîäåëüíûå òðàåêòîðèè (2.22), êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ âèäà EF (ξ(t)) äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà ôóíêöèîíàëîâF (z), ïî àíàëîãèè ñ àëãîðèòìîì 3.3 (ñì. äàëåå ðàçäåë 3.4) àëãîðèòì 2.4 íàçûâàþò ìåòîäîì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Åñëè ðàññìîòðåòü (2.22) êàê ñëó÷àéíóþôóíêöèþ, òî ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè èñõîäíîé ôóíêöèè ξ(t) âîñïðîèçâîäÿòñÿ â ëó÷øåì ñëó÷àå ïðè h ↓ 0, ãäå h øàã ñåòêè {t(0) , t(1) , .
. . , t(M ) }; ñîîòâåòñòâóþùèå èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ìåòîäàìè, ïðåäñòàâëåííûìè â ðàçä. 2.3.˜Âåñüìà èíòåðåñíûì è ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå òîãî, äëÿ êàêèõ âîñïîëíåíèé LM ξ(t)ìîæíî âîñïðîèçâåñòè ñâîéñòâî ñòàöèîíàðíîñòè èñõîäíîé ôóíêöèè, êàêèå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ äëÿ ïðèáëèæåíèé âèäà (2.22) è äð. Ïåðå÷èñëåííûå ïðîáëåìûâåñüìà àêòóàëüíû, â ÷àñòíîñòè, â çàäà÷àõ ãèäðîìåòåîðîëîãèè, â êîòîðûõ èíôîðìàöèÿî ñëó÷àéíûõ ïîëÿõ òåìïåðàòóð, îñàäêîâ, âåòðà è äð. èìååòñÿ òîëüêî â çàäàííûõ òî÷êàõ íà ìåòåîñòàíöèÿõ è òðåáóåòñÿ âîññòàíîâèòü ïîëÿ ïî ýòîé èíôîðìàöèè [8].2.4.2. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Äëÿ òîãî,÷òîáû àëãîðèòì 2.4 äàâàë õîðîøåå ïðèáëèæåíèå òðàåêòîðèé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t),òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ðàçìåðíîñòü (M + 1) âåêòîðà ξ̃ èç (2.21) áûëà äîñòàòî÷íî âåëèêà. Ïðèýòîì ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì 1.16 îêàçûâàåòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèì.
Îòìåòèì òàêæå,÷òî íà ïðàêòèêå èíôîðìàöèÿ î êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ áîëüøîé ðàçìåðíîñòè(M +1) èçâåñòíà îòíîñèòåëüíî ðåäêî. Çäåñü ìû âûäåëèì âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäàðåàëèçàöèÿ âåêòîðà ξ̃ îòíîñèòåëüíî ïðîñòà.Îïðåäåëåíèå 2.15. Ïðîöåññ ξ(t), t ∈ [a, b] ⊂ R íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ëþáûõ n è t0 < t1 < . . .
< tn èç [a, b] ñëó÷àéíûå(0)âåëè÷èíûíåçàâèñèìû.ξ0 , ξ1 − ξ0 , . . . , ξn − ξn−1 ,ãäåξi = ξ(ti ),Êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà ξ(t) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè âåëè÷èí ξ(t) è ξ(t2 ) − ξ(t1 ); çäåñü t, t1 , t2 ∈ [a, b] è t2 > t1 . Ïîëàãàåì, ÷òîa = t(0) < t(1) < . . . < t(M ) = b è t(i+1) − t(i) = (b − a)/M = h. Ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîãîâåêòîðà ξ̃ = (ξ˜0 , ξ˜1 , . . . , ξ˜M ) äëÿ òàêîãî ïðîöåññà äàåò ñëåäóþùèéÀëãîðèòì 2.5.ξ˜0ξ(t(0) )ξ˜i+1 = ξ˜i + δ̃iδ̃iδi = ξ(t(i) + h) −Ðåàëèçóåì ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÄàëåå ïîëàãàåì, ãäå ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûξ(t(i) ) = ξ(t(i+1) ) − ξ(t(i) ); çäåñü i = 0, 1, .
. . , M − 1..îäíî-Ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè ξ(t), t ≥ 0, íàçûâàåòñÿ, åñëè ξ(t) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà è äëÿ âñåõ h > 0è íàòóðàëüíûõ k âûïîëíåíî ðàâåíñòâîÏðèìåð 2.2.ðîäíûì ïðîöåññîì ÏóàññîíàP{ξ(h) = k} = P{ξ(t + h) − ξ(t) = k} =(λh)k e−λhk!(2.23)äëÿ íåêîòîðîãî λ > 0.Îïèøåì îáùóþ (äîñòàòî÷íî ðàñïðîñòðàíåííóþ â ïðèëîæåíèÿõ) ñèòóàöèþ, îïèñûâàåìóþ ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà Ïóàññîíà.
Ïóñòü â íåêîòîðîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿïîÿâëåíèÿ íåêîòîðûõ ñîáûòèé. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî[t, t + h][0, t][t, t+h]λh + o(h)[t, t + h]o(h)Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âåëè÷èíà ξ(t), ðàâíàÿ ÷èñëó ñîáûòèé, êîòîðûå ïðîèçîøëè íà ïðîìåæóòêå [0, t], êàê ôóíêöèÿ t áóäåò ïðîöåññîì Ïóàññîíà.  àëãîðèòìå 2.5ìîæíî âçÿòü t(0) = 0, ξ˜0 = 0 è ξ˜i+1 = ξ˜i + k̃i , ãäå k̃i ðåàëèçóåòñÿ ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþÏóàññîíà (2.23) (ñì.
àëãîðèòìû 1.4, 1.12, 1.13).Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî ìîìåíòû âðåìåíè t̂0 = 0 < t̂1 < t̂2 < . . ., â êîòîðûå ïðîèñõîäÿò îïèñàííûå âûøå ñîáûòèÿ, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûé, ïðè÷åì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû θi = t̂i − t̂i−1 íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíûñîãëàñíî ýêñïîíåíöèàëüíîé ïëîòíîñòè fθ (u) = λe−λu , u > 0. Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåPk0ξ(t) = max{k 0 :i=1 θi ≤ t}, êîòîðîå äàåò åùå îäèí àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà Ïóàññîíà. Ïóàññîíîâñêèå ïîòîêè òî÷åê èñïîëüçóþòñÿ âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ, â÷àñòíîñòè, â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ [6].
 ýòîé ãëàâå ïóàññîíîâñêèå ïîòîêèèñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ìîäåëåé íåãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé(ñì. äàëåå ðàçä. 2.7).Ïðèìåð 2.3. Ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè ξ(t), t ≥ 0, íàçûâàåòñÿ, åñëè ξ(t) èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ ft (x) =.√−x2 /2t2πt.
Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷òî ïðèðàùåíèÿ ξ(t2 ) − ξ(t1 ) ýòîãî ïðîöåññàe1) ÷èñëî ñîáûòèé, êîòîðûå ïðîèçîøëè íà ïðîìåæóòêå, íå çàâèñèò îòòîãî, ñêîëüêî è êîãäà ïðîèçîøëî ñîáûòèé â ïðîìåæóòêå ;2) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïðîìåæóòêåïðîèçîéäåò îäíî ñîáûòèå, ðàâíà;3) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïðîìåæóòêåïðîèçîéäåò áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ, ðàâíà .ïóàññîíîâñêèéïîòîê òî÷åêâèíå-ðîâñêèì ïðîöåññîìèìåþò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé D(ξ(t√2 ) − ξ(t1 )) =t2 − t1 , t2 > t1 .  àëãîðèòìå 2.5 ìîæíî âçÿòü t(0) = 0, ξ˜0 = 0 è ξ˜i+1 = ξ˜i + hγi , ãäå γi ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñì. ôîðìóëó (1.139) èç ðàçä.1.10). Òàêàÿ ïðîöåäóðà, âêëþ÷åííàÿ â àëãîðèòì 2.4 ñ êóñî÷íî-ëèíåéíûì âîñïîëíåíèåì˜ èç (2.22), èñïîëüçóåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðè âû÷èñëåíèè âèíåðîâñêèõ èíòåãðàëîâLM ξ(t)(ñì.
äàëåå ïîäðàçä. 2.4.3).2.4.3. Ìîäåëèðîâàíèå è èñïîëüçîâàíèå äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t), t ∈ [0, T ]. Ïîëàãàåì, ÷òî0 = t(0) < t(1) < . . . < t(M ) = T è t(i+1) − t(i) = T /M = h.Àëãîðèòì 2.6. Ðåàëèçóåì ξ˜0 ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(t(0) ).Äàëåå âû÷èñëÿåì√ξ˜i+1 = ξ˜i + a(t(i) , ξ˜i )h + σ(t(i) , ξ˜i )w̃i ,(2.24)ãäå w̃i = hγi ðåàëèçàöèÿ ïðèðàùåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà wi = w(t(i) + h) − w(t(i));çäåñü i = 0, 1, . . .
, M − 1.Ïîñòðîåííûé àëãîðèòì âîñïðîèçâîäèò ìîäåëü îäíîìåðíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññàξ(t). Òàêîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.24) îïèñûâàåò (ñ òî÷íîñòüþäî o(h)) ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå äèôôóíäèðóþùåé ÷àñòèöû çà âðåìÿ îò t(i) äît(i) + h. Ñëàãàåìîå a(t(i) , ξ˜i )h îòðàæàåò íåñëó÷àéíîå ñìåùåíèå, ñâÿçàííîå ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèì äâèæåíèåì ñðåäû (ôóíêöèÿ a(t, x) íàçûâàåòñÿ), à ñëà(i) ˜ãàåìîå σ(t , ξi )w̃i îïèñûâàåò õàîòè÷åñêîå òåïëîâîå äâèæåíèå ÷àñòèöû (ôóíêöèþ σ(t, x)íàçûâàþò).Ïðè ïåðåõîäå â ñîîòíîøåíèè (2.24) ê äèôôåðåíöèàëàì (ò.å. ïðè h → 0) ïîëó÷àåìêëàññè÷åñêîåêîýôôèöèåíòîì ñíîñàêîýôôèöèåíòîì äèôôóçèèñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ÑÄÓ)dξ(t) = a(t, ξ(t)) dt + σ(t, ξ(t)) dw(t).(2.25)×òîáû ïðèäàòü ñìûñë ýòîìó óðàâíåíèþ, åãî çàïèñûâàþò â èíòåãðàëüíîé ôîðìåZ tZ tξ(t) = ξ(0) +a(s, ξ(s)) ds +σ(s, ξ(s)) dw(s).00ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà ïî âèíåðîâ-Èìåþòñÿ íåêîòîðûåòðóäíîñòè â îïðåäåëåíèèRtσ(s, ξ(s)) dw(s), òàê êàê âèíåðîâñêèé ïðîöåññ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìååò0íåîãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ íà êàæäîì ïðîìåæóòêå, è ïîýòîìó ýòîò èíòåãðàë íåëüçÿ ïîíèìàòü â ñìûñëå Ñòèëòüåñà.
Çäåñü òðåáóåòñÿ ðàññìîòðåíèå ñïåöèàëüíûõ ñòóïåí÷àòûõñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è èíòåãðàëüíûõ ñóìì, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èíòåãðàëó â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì.  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðåííàÿ îöåíêà (2.24) ñõîäèòñÿïðè h → 0 ñ ïîðÿäêîì O(h), åñëè êîýôôèöèåíòû ÑÄÓ äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíû.Àëãîðèòì 2.6, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëåííóþ ñõåìó ðåøåíèÿñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.25), êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå.Âòîðîå âàæíîå ïðèëîæåíèå àëãîðèòìà 2.6 ñâÿçàíî ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü p(s, x, t, y) ìàðêîâñêîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà ξ(t) (ñì.
îïðåäåëåíèå 2.10) óäîâëåòâîðÿåò(èëè)ñêîé ìåðåìåòîäÝéëåðà äëÿ ðåøåíèÿ ÑÄÓãîðîâàóðàâíåíèþ ÔîêêåðàÏëàíêàïðÿìîìó óðàâíåíèþ Êîëìî-1 ∂ 2 (σ 2 (t, y) p(s, x, t, y)) ∂(a(t, y) p(s, x, t, y))∂p(s, x, t, y)=−, 0 ≤ s < t.∂t2∂2y∂y(2.26)Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëè äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà âèäà (2.24) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿïîñòðîåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ îöåíîê ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà (ñì.
äàëåå ãëàâó 7).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íåñëîæíî ïîñòðîèòü àíàëîã àëãîðèòìà 2.6 äëÿ âåêòîðíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà ξ(t). Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ñòðîèòü ÷èñëåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ñèñòåì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ìíîãîìåðíûõ àíàëîãîâóðàâíåíèÿ (2.26).2.4.4. Èñïîëüçîâàíèå öåïåé Ìàðêîâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
