1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Èìåííî â ýòîé ôîðìå ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðåäñòàâëåí â ëèòåðàòóðåïî ìîäåëèðîâàíèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé (ñì., íàïðèìåð, [8]).Îïðåäåëåííîå çàòðóäíåíèå ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû (2.9) ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òîôóíêöèÿ Φ(y) íå èìååò àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ; åå ïðèõîäèòñÿ òàáóëèðîâàòü.Íå âñåãäà òàêæå óäàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè âûðàçèòü ôóíêöèþ Fξ−1 (z).
Ïîýòîìó çäåñü ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âìåñòî ôóíêöèè Fξ−1 (Φ(y)) â ôîðìóëó (2.9) ïîäñòàâëÿþòëåãêî âû÷èñëèìûå ôóíêöèè ψ(y):ξ˜ψ (t) = ψ(γ̃(t)),(2.10)è èçó÷àþò âîçìîæíûå âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ψ(γ), ãäå γ ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà ψ(y) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé(1.65) èç ïîäðàçä. 1.4.4 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé âèä ïëîòíîñòè îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíîé ôóíêöèè (2.10):fξ (x) = fγ (q(x))q 0 (x),(2.11)ãäå q(x) = ψ −1 (x).Ïðèìåð 2.1.
Åñëè ψ(y) = ey , òî ñîãëàñíî (2.11) èìååìln2 x1, x > 0.exp −fξ (x) = √22πxëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûìÏîñëåäíåå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ. Ó÷èòûâàÿ ñòàöèîíàðíîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà γ(t) (à çíà÷èò, è ξ(t)), ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîððåëÿöèîííàÿôóíêöèÿ èìååò âèä R(u) = (exp(ρ(u)) − 1)/(e − 1), ãäå ρ(u) êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿïðîöåññà γ(t) (ñì. äàëåå îáùóþ ôîðìóëó (2.12)); çäåñü l = 1.2.2.2. Âîñïðîèçâåäåíèå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé.  ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå 2.2.1 ïîêàçàíî, ÷òî óæå íà óðîâíå âîñïðîèçâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèéñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè.
×òî êàñàåòñÿ äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (à òåì áîëåå êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ðàçìåðíîñòè òðè è âûøå), òîçäåñü íå âñåãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü äàæå óñðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè, â ÷àñòíîñòè, êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ (2.1).Äëÿ ðÿäà êîíñòðóêöèé ìîæíî ïîëó÷èòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè, äðîáíî-ðàöèîíàëüíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè (ñì. äàëååðàçä. 2.4, 2.5, 2.7) è äð. Èíîãäà òðåáóåìàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ äëÿïðèáëèæåííîé ìîäåëè ξn (t) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) àñèìïòîòè÷åñêè ïðè n → ∞. Èìååòñÿ ðÿä ïðèåìîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ òî÷íîå ÷èñëåííîå âîñïðîèçâåäåíèå êîððåëÿöèîííîéôóíêöèè ìîäåëèðóåìîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Îäèí èç òàêèõ ïðèåìîâ ñâÿçàí ñ ïîíÿòèåì, îïèñàííîé äàëåå â ðàçä. 2.6.Èìåþòñÿ òàêæå èññëåäîâàíèÿ, ñâÿçàííûå ñ âîçìîæíîñòüþ òî÷íîãî âîñïðîèçâåäåíèÿêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(ñì.
àëãîðèòì 2.1) [10]. Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ñîîáðàæåíèÿ äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t).Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîãî˜ èç (2.9):ïðîöåññà ξ(t)ðàíäîìèçèðîâàííîé ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè(2)R̃ρ (t(1)Z+∞Z−t )=−∞−1−1Fξ(t(1) ) (Φ(v1 ))Fξ(t(2) ) (Φ(v2 )) dv1 dv2+∞−∞2πp,1 − ρ2 exp ((v12 + v22 − 2ρv1 v2 )/(2(1 − ρ2 )))(2.12)ãäå ρ = ρ(t(2) − t(1) ) êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòàíäàðòíîãî ñòàöèîíàðíîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà γ(t). Åñëè òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé r(u), òî âîçìîæíà ñëåäóþùàÿ ìîäèôèêàöèÿ àëãîðèòìà 2.1.Àëãîðèòì 2.2.ρ(u)R̃ρ (u) = r(u)γ̃(t)(2.9)Ôóíêöèÿ R̃ρ (u) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: |Rρ (u)| ≤ |ρ(u)|; ïðè ρ(u) ≥ 0ôóíêöèÿ R̃ρ (u) âûïóêëà âíèç; R̃ρ (u) ≡ 1 ïðè ρ(u) ≡ 1 è R̃ρ (u) ≡ A ≥ −1 ïðè ρ(u) ≡ −1(ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî äëÿ ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî íóëÿ îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, îïðåäåëÿåìûõ ôóíêöèåé Fξ (x)).
Ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèèÂû÷èñëèì ôóíêöèþïîñòðîèì îäíîðîäíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå .ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ,ñ ýòîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé è ïðè-ðàñïðåäåëåíèÿ àëãîðèòì 2.2 ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé r(u),óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó r(u) ≥ A.2.2.3. Âîñïðîèçâåäåíèå ìíîãîìåðíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ìî-Òî÷íîå ìîäåëèðîâàíèå âñåõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé óäàåòñÿ êðàéíå ðåäêî.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâïðèâåäåì äâå ìîäåëè ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà.Îïðåäåëåíèå 2.10. Ìàðêîâñêèìξ(t)t0ñîñòîÿíèÿ ξ(t0 ) = x0ξ(t), t > t0ξ(t), t < t0Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ çàäàåòñÿ(èëè)P (t0 , x0 , t, A), ãäå t0 , t ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó ïàðàìåòðîâ T ⊆ R è t0 ≤ t, x0 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó çíà÷åíèé èç Rs ñ σ -àëãåáðîé áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ A, A ∈ A.
Ïðès > 1 ïîëó÷àåìξ(t).Ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:σAt0 , x0 tt0 , t AAx0t0t00P (t , x , t, A) = P(ξ(t) ∈ A|ξ(t0 ) = x0 )äåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ òàêîé, ÷òîäëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè è ôèêñèðîâàííîãîñëó÷àéíûåâåëè÷èíûíå çàâèñÿò îò âåëè÷èí.ïåðåõîäíîé ôóíêöèåéâåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäàâåêòîðíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññè îíà ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé íà -àëãåáðå ;1) ïðè ôèêñèðîâàííûõ2) ïðè ôèêñèðîâàííûõ è îíà -èçìåðèìà ïî ;3) ïðè ôèêñèðîâàííûõ è ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà îíà ñîâïàäàåò ñ óñëîâíîéâåðîÿòíîñòüþ;4) âûïîëíåíî óðàâíåíèå ×åïìåíàÊîëìîãîðîâàZP (t1 , x1 , t3 , A) =P (t2 , x2 , t3 , A) P (t1 , x1 , t2 , dx2 ),Rsâ ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ïðîöåññ, âûõîäÿùèé èç òî÷êè x1 â ìîìåíò âðåìåíè t1 èïîïàâøèé â A â ìîìåíò âðåìåíè t3, äîëæåí ïðîéòè ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå x2 âìîìåíò âðåìåíè t2 : t1 ≤ t2 ≤ t3. äàëüíåéøåì áóäåì òàêæå ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå (áûòü ìîæåò, îáîáùåííîé), ò.å.
íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè p(t0 , x0 , t, x) òàêîé, ÷òîZ0000p(t0 , x0 , t, x) dx.P(ξ(t) ∈ A|ξ(t ) = x ) = P (t , x , t, A) =ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòèAØèðîêèé êëàññ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà, ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ÷àñòèö èçëó÷åíèÿ èëè âåùåñòâà,ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ îñíîâàí íà ìîäåëèðîâàíèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûìâðåìåíåì èëè.öåïåé Ìàðêîâàöåïè Ìàðêîâà (èëè ïëîòíîñòüþâåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà çà îäèí øàã) íàçûâàþò ôóíêöèþ p(ti , x0 , ti+1 , x), ãäå ti èti+1 äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ äèñêðåòíûõ ìîìåíòà âðåìåíè èç T . Ìàðêîâñêóþ öåïüíàçûâàþò îäíîðîäíîé, åñëè ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü íå çàâèñèò îò ti, ti+1 äëÿ ëþáîãîi: p(ti , x0 , ti+1 , x) = p(x0 → x) = p(x0 , x).Îïðåäåëåíèå 2.11.
Ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ ðåàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëÿõ ìíîæåñòâî T èìååò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò t0 ,è òîãäà îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ p(x0 , x). Ïîñëå òîãî êàê ýòèïëîòíîñòè îïðåäåëåíû, àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ öåïè Ìàðêîâà ñòðîèòñÿ âåñüìà ïðîñòî ñ ó÷åòîì òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì x0 ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòüp(x0 , x) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãîñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó èëè ñëó÷àéíûé âåêòîð. Èñïîëüçóÿ âåñü àðñåíàë ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, ðàññìîòðåííûõ íàìè â ãëàâå 1,ìîæíî îñóùåñòâëÿòü ïîñëåäîâàòåëüíóþ ðåàëèçàöèþ ñîñòîÿíèé öåïè Ìàðêîâà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷àåì íóæíóþ íàì òðàåêòîðèþ (ñì.
òàêæå àëãîðèòì 1.17 èç ïîäðàçä.1.5.3).Âòîðîé ïðèìåð ÷èñëåííîãî âîñïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñâÿçàíñ ìîäåëèðîâàíèåì íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ìàðêîâñêîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ξ(t) =(ξ1 (t), . . . , ξm (t)) íà ïîëóèíòåðâàëå (t0 , ∞). Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü K -ìåðíîå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå (ξ(t1 ), . . . , ξ(tK )) ýòîãî ïðîöåññà; çäåñü t1 < . . .
< tK .Âåêòîðíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ξ(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì íà÷àëüíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ(t0 ) è óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ P(ξ(t) ∈ A|ξ(s) = x) äëÿâñåõ t > s. Ïîñêîëüêó ïðîöåññ ξ(t) ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå ãàóññîâñêèì (ñì. îïðåäåëåíèå2.6), òî îí ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ñâîåé âåêòîðíîé ôóíêöèåé ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéa(t) = (a1 (t), . . . , am (t)) è ìàòðè÷íîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåéR(t(1) , t(2) ) = {Rij (t(1) , t(2) ) = E(ξi (t(1) ) − a(t(1) ))(ξj (t(2) ) − a(t(2) ))};i, j = 1, .
. . , m.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè a(t) è R(t(1) , t(2) ) çàäàíû. Äëÿ t(2) > t(1) ≥ t0 ñïðàâåäëèâûôîðìóëûa(t(2) |ξ(t(1) )) = E(ξ(t(2) )|ξ(t(1) ) = z1 ) = a(t(2) ) + R(t(1) , t(2) )R−1 (t(1) , t(1) )(z1 − a(t(1) )),(2.13)R(t(2) , t(2) |ξ(t(1) ) = z1 ) = R(t(2) , t(2) ) + R(t(1) , t(2) )R−1 (t(1) , t(1) )R(t(2) , t(1) ).(2.14)Àëãîðèòì 2.3. Ðåàëèçóåì íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ξ(t0 ) = z0 ñîãëàñíî àëãîðèòìó 1.47ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà ñî ñðåäíèì a(t0) è êîððåëÿöèîííîéìàòðèöåé R(t0, t0) (ñì.
ïîäðàçä. 1.10.4). Äàëüíåéøèå çíà÷åíèÿ ïîëó÷àåì ïî ôîðìóëåξ(ti ) = zi = a(ti |ξ(ti−1 ) = zi−1 ) + Aw,i = 1, 2, . . . , K.Çäåñü w = (w1, . . . , wm) ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà ñ íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè (Ewk = 0, Dwk = 1; k = 1, . . . , m), à A íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà òàêàÿ, ÷òî AAT = R(ti, ti|ξ(ti−1) = zi−1).  ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèèa(ti |ξ(ti−1 ) = zi−1 ) è R(ti , ti |ξ(ti−1 ) = zi−1 ) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (2.13) è (2.14) ñîîòâåòñòâåííî.Ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèöû R â âèäå R = AAT (çäåñü T çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ) íàçûâàþò åå ðàçëîæåíèåì Õîëåññêîãî (èëè ôàêòîðèçàöèåé; ñì. òàêæå ïîäðàçä.
1.10.4).Êðîìå ìîäåëèðîâàíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (ξ(t1 ), . . . , ξ(tK )) àëãîðèòì 2.3ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà 2.4 (ñì. äàëåå ðàçäåë 2.4), ñâÿçàííîãî ñ äèñêðåòèçàöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ñ ïîñëåäóþùèìâîñïîëíåíèåì. Òàêàÿ òðàêòîâêà àëãîðèòìà 2.3 èñïîëüçîâàíà äàëåå â ðàçäåëå 2.5 ïðèïîñòðîåíèè àëãîðèòìà 2.11.2.3. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÎÄÅËÅÉ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂÈ ÏÎËÅÉ2.3.1. Ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì.Ìíîãèå ìîäåëè ñëó÷àéíûé ôóíêöèé ξ(t) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé {ξn (t)}, îïðåäåëåííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå,äëÿ êîòîðûõ òðåáóåìûå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðè n → ∞. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå âèäû âåðîÿòíîñòíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé[1, 2].Ãîâîðÿò, ÷òî êîíå÷íîìåðíûåÎïðåäåëåíèå 2.11.{ξn (t)} ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ñëó÷àéíîéξ(t), åñëè äëÿ ëþáîãî K è ëþáîãî íàáîðà òî÷åê {t(1) , .
. . , t(K) } ôóíêöèÿ ðàñ-âàòåëüíîñòèôóíêöèèïðåäåëåíèÿðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäî-(K)(K)Fξn (x) = Fξn (x1 , . . . , xK ) = P(ξn (t(1) ) < x1 , . . . , ξn (t(K) ) < xK )ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè Fξ(K)(x) â êàæäîé òî÷êå x, ãäå ôóíêöèÿ Fξ(K)(x) íåïðåðûâíà.Ñôîðìóëèðîâàííîå îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîéíåïðåðûâíîé ôóíêöèè K ïåðåìåííûõ f (x) âûïîëíåíîEf (ξn (t(1) ), . . . , ξn (t(K) )) → Ef (ξ(t(1) ), . . . , ξ(t(K) )) ïðè n → ∞;ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ÷àñòî ïðèíèìàåòñÿ çà îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõðàñïðåäåëåíèé.Îïðåäåëåíèå 2.12.{ξn (t)}ξ(t) â ñðåäíåì ñòåïåíè p, 0 < p < ∞t∈TÃîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü÷å÷íî) ê ñëó÷àéíîé ôóíêöèèâûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåE|ξn (t) − ξ(t)|p → 0 ïðè n → ∞.ñõîäèòñÿ (ïîòî, åñëè äëÿ ëþáîãî(2.15)ñõîäèìîñõîäèìîñòüþ â ñðåäíåêâàälimit in mean êëàññè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå ýòîò âèä ñõîäèìîñòè íàçûâàþòLp (T ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
