1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 16
Текст из файла (страница 16)
× (m + i − 1) =Γ(m + i),Γ(m)çäåñü i = 1, 2, . . ..  ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ãàììà-ôóíêöèèΓ(ν) = (ν − 1) Γ(ν − 1).(1.128)Ñëåäîâàòåëüíî,∞XB(i + ν, [µ] + 1) Γ(m + i) ui+ν−1 (1 − u)[µ](β)fν,µ(u) =×B(ν,µ)i!Γ(m)B(i + ν, [µ] + 1)i=0!=∞X(β)pi fi+ν,[µ]+1 (u),i=0(1.129)ãäå âåëè÷èíû {pi } ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåðîÿòíîñòè è èìåþò âèäp0 =[µ]!Γ(i + ν) Γ([µ] + 1) Γ(m + i); pi ==B(ν, µ)ν(ν + 1) × . .
. × (ν + [µ])Γ(i + ν + [µ] + 1) B(ν, µ) i! Γ(m)=[µ]! m (m + 1) × . . . × (m + i − 1);B(ν, µ) i! (i + ν)(i + ν + 1) × . . . × (i + ν + [µ])i = 1, 2, . . . ;çäåñü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ãàììà-ôóíêöèè (1.128) è ñâîéñòâî áåòà-ôóíêöèè (1.126).Èç ôîðìóëû (1.129) ñëåäóåò àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè (ñì. àëãîðèòì 1.20) äëÿ(β)ðåàëèçàöèè çíà÷åíèé ξν,µ ïðè íåöåëûõ ïàðàìåòðàõ.Àëãîðèòì 1.39.α1{pi }1.4(β)kfk+ν,[µ]+1 (u)1. Ðåàëèçîâàâ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî÷èñëà, ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì , èñïîëüçóÿ àëãîðèòì èëè åãî ìîäèôèêàöèè,âûáèðàåì íîìåð ïëîòíîñòè.(β)2. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξν,µñîãëàñíî âûáðàííîé ïëîòíîñòè ïî àëãîðèòìó 1.38 (ñì. ôîðìóëó (1.127)):[µ]+1(β)ξν,µ=Y1/(k+ν+i−1)αi.i=1Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.29) èç ïîäðàçä.
1.2.3, òðóäîåìêîñòü ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà1.4 âûáîðà çíà÷åíèÿ k öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòÿì{pi } (ñì. ï. 1 àëãîðèòìà 1.39) ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå Eη . Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òîEη = +∞ ïðè [µ] = 0. Ïîýòîìó â ñëó÷àå ν > 1, 0 < µ < 1 ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿçàìåíîé ïåðåìåííûõ v = 1 − u, êîòîðàÿ ìåíÿåò ìåñòàìè ïàðàìåòðû ν è µ, à â ñëó÷àå0 < ν < 1, 0 < µ < 1 ìîæíî ïðîâåñòè äîïîëíèòåëüíóþ ðàíäîìèçàöèþ è ðåàëèçîâàòüñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä ñóïåðïîçèöèè íà îñíîâå ñîîòíîøåíèÿ(β)(β)(β)fν,µ(u) = u fν,µ(u) + (1 − u) fν,µ(u) =µν(β)(β)fν+1,µ (u) +fν,µ+1 (u);ν+µν+µ(β)çäåñü èñïîëüçîâàí âèä ïëîòíîñòè fν,µ (u) (ñì.
ñîîòíîøåíèå (1.125)) è ñâîéñòâà (1.126) è(1.128).1.9.4. Ìåòîäû èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïèñàííûå â ïîäðàçä. 1.9.3 àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáóþò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ÷àñòîãî îáðàùåíèÿ ê ãåíåðàòîðó ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÷òî ðåçêî ñíèæàåò èõ ýôôåêòèâíîñòü (ñì. çàìå÷àíèå 1.2). Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èññëåäîâàòü àëüòåðíàòèâíûå âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ìîäåëèðóþùèõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(1.125).  äàííîì ïîäðàçäåëå ìû èçó÷èì ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ìàæîðàíòíîãî ìåòîäàèñêëþ÷åíèÿ (àëãîðèòì 1.24).Ïëîòíîñòü áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ (1.125) ïðîïîðöèîíàëüíà ôóíêöèèg(u) = uν−1 (1 − u)µ−1 , 0 < u < 1.(1.130)Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ìàæîðàíò äëÿ ôóíêöèè (1.130) âåñüìà ðàçíîîáðàçíû, ïðè÷åì ýòèïîñòðîåíèÿ è ýôôåêòèâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ν è µ.
Òàê, äëÿ îïèñàííîãî âûøå "ñëîæíîãî"ñëó÷àÿ 0 < ν < 1, 0 < µ < 1 ìîæíî ïîñòðîèòü ìàæîðàíòó(1)g(u) ≤ g1 (u) = uν−1 + (1 − u)µ−1 .(1.131)Äåéñòâèòåëüíî,uν−1 (1−u)µ−1 = (u+(1−u))uν−1 (1−u)µ−1 = uν (1−u)µ−1 +uν−1 (1−u)µ ≤ (1−u)µ−1 +uν−1 .Çäåñü èñïîëüçîâàíî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïðè 0 < u < 1 è t > 0 âûïîëíåíîut < 1, (1 − u)t < 1.(1.132)Òîãäà äëÿ ñëó÷àÿ 0 < ν < 1, 0 < µ < 1 ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäàèñêëþ÷åíèÿ (ñì. àëãîðèòì 1.24).Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ1 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f1(u) =C(íåñëîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî C = ν µ/(ν + µ)) ìåòîäîì ñóïåðïîçèöèè: åñëè1/ν1/µα1 < µ/(ν + µ), òî ξ1 = α2 , èíà÷å ξ1 = 1 − α2 .2.
Ðåàëèçóåì âåëè÷èíó η = α3 g1(1)(ξ1).(β)3. Åñëè η < g(ξ1), òî ξν,µ= ξ1 , èíà÷å ïîâòîðÿåì ïï. 1 è 2 è ò. ä.Àëãîðèòì 1.40.(1)g1 (u)Òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà 1.40 ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíåR 1 (1)g (w) dwν+µ(1)s = 0R 1 1=.ν µ B(ν, µ)g(w) dw(1.133)0Íàïðèìåð, äëÿ ν = µ = 1/2 èìååì s(1) = 4/π ≈ 1.27.Äëÿ ñëó÷àÿ 0 < ν < 1 è µ > 1 ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1.132) â êà÷åñòâå ìàæîðàíòûôóíêöèè (1.130) ìîæíî âçÿòü(2)g(u) ≤ g1 (u) = uν−1 ,0 < u < 1.(1.134)(2)Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåòðû ν è µ âûïîëíåíî g1 (u) <(1)g1 (u) ïðè 0 < u < 1.
Ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.Àëãîðèòì 1.41.ξ1f1 (u) =(2)ν−1C g1 (u) = ν u1.51/ν(2)(1.55) ξ1 = α1η = α2 g1 (ξ1 )(β)η < g(ξ1 )ξν,µ = ξ11Òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà 1.41 ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíåR 1 (2)g (w) dw1(2)s = 0R 1 1=.(1.135)ν B(ν, µ)g(w) dwè ôîðìóëó2. ÅñëèÐåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñîãëàñíî ïëîòíîñòè(ýòî ñëó÷àé ìîäåëèðîâàíèÿ ñòåïåííîé ïëîòíîñòè ñì. ïðèìåð):. Ðåàëèçóåì òàêæå âåëè÷èíó., òî, èíà÷å ïîâòîðÿåì ï. è ò.
ä.0Àíàëîãè÷íî äëÿ ñëó÷àÿ ν > 1 è 0 < µ < 1 ìîæíî âíîâü âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (1.132) è â êà÷åñòâå ìàæîðàíòû ôóíêöèè (1.130) ìîæíî âçÿòü(3)g(u) ≤ g1 (u) = (1 − u)µ−1 ,0 < u < 1,(1.136)è òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.Àëãîðèòì 1.42.ξ1f1 (u) =(3)1/µ(3)µ−1C g1 (u) = µ (1 − u): ξ1 = 1 − α1η = α2 g1 (ξ1 )(β)η < g(ξ1 )ξν,µ = ξ11Òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà 1.42 ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå s(3) = 1/(µ B(ν, µ)).(2)Çàìåòèì, ÷òî ìàæîðàíòó g1 (u) èç (1.134) è àëãîðèòì 1.41 öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü è â ñëó÷àå ν ≥ µ ≥ 1. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîáðàæåíèå:Z 1Z 111ν−1udu =≤=(1 − u)µ−1 du.(1.137)ν−1µ−1002.
ÅñëèÐåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñîãëàñíî ïëîòíîñòè. Ðåàëèçóåì òàêæå âåëè÷èíó., òî, èíà÷å ïîâòîðÿåì ï. è ò. ä.(3)Àíàëîãè÷íî ïðè µ ≥ ν ≥ 1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàæîðàíòó g1 (u) èç (1.136) è àëãîðèòì 1.42 (çäåñü ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî, ïðîòèâîïîëîæíîå (1.137)). Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî òðóäîåìêîñòü s(2) èç (1.135) (è åå àíàëîã s(3) ) äîñòàòî÷íî áûñòðî ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðîâ ν è µ.
Íàïðèìåð, ïðè ν = 3 è µ = 2 èìååìs(2) = Γ(5)/(3Γ(2)Γ(3)) = 4. ñâÿçè ñ ïîñëåäíèì ñîîáðàæåíèåì äëÿ áîëüøèõ ν è µ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòüìàæîðàíòó(4)g(u) ≤ g1 (u) = Ku[ν]−1 (1 − u)[µ]−1 ,K={ν}{ν} {µ}{µ};({ν} + {µ}){ν}+{µ}çäåñü [A] è {A} ñîîòâåòñòâåííî öåëàÿ è äðîáíàÿ ÷àñòè ÷èñëà A.  ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè èñïîëüçîâàíî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ôóíêöèÿ g(u)/(u[ν]−1 (1−u)[µ]−1 ) = u{ν} (1−u){µ}èìååò åäèíñòâåííûé ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, ðàâíûé K , â òî÷êå umax = {ν}/({ν} + {µ}).(4)(β)Êàê óêàçàíî âûøå, ïëîòíîñòü f1 (u) = f[ν],[µ] (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ[ν]-é ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè äëÿ ([ν] + [µ] − 1) íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé ñòàíäàðòíîãîñëó÷àéíîãî ÷èñëà α. Îòñþäà âîçíèêàåò ñëåäóþùèé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ.Àëãîðèòì 1.43.ξ11.34 ξ1 =([ν]+[µ]−1)(4)α[ν]η = α2 g1 (ξ1 )Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñîãëàñíî àëãîðèòìó.
Ðåàëèçóåì òàêæå âåëè÷èíó.2. Åñëè{ν}η < g(ξ1 ), òî åñòü Kα2 < ξ1 (1 − ξ1 ){µ} ,(β)òî ξν,µ= ξ1 , èíà÷å ïîâòîðÿåì ï. 1 è ò. ä.:Òðóäîåìêîñòü ýòîãî àëãîðèòìà ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå s(4) = KB([ν], [µ])/B(ν, µ).Ýòà âåëè÷èíà íåâåëèêà. Íàïðèìåð, äëÿ ν = µ = 2.5 èìååì(1/2)1/2 (1/2)1/2Γ(2)Γ(2)Γ(5)(1/2) × 4!32××==≈ 1.13;(1/2 + 1/2)1/2+1/2Γ(4)Γ(2.5)Γ(2.5)3!(3/2)2 (1/2)2 π9π√çäåñü èñïîëüçîâàíû ñîîòíîøåíèÿ (1.126), (1.128) è Γ(1/2) = π . Îäíàêî ñëåäóåò ó÷è([ν]+[µ]−1)òûâàòü, ÷òî ïðè ðåàëèçàöèè âåëè÷èíû ξ1 = α[ν]â ïåðâîì ïóíêòå àëãîðèòìà 1.43òðåáóåòñÿ ([ν] + [µ] − 1) îáðàùåíèé ê äàò÷èêó ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ñì.
çàìå÷àíèå 1.2).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ íåöåëûõ çíà÷åíèé ν è µ âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé g(ξ1 ) â àëãîðèòìàõ 1.401.43 ìîæåò îêàçàòüñÿ òðóäîåìêèì.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èñïîëüçîâàòüäâóñòîðîííèé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ (àëãîðèòì 1.26) ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè èëè êóñî÷íîëèíåéíûìè ìàæîðàíòîé è ìèíîðàíòîé.s(4) =1.10. ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß.ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÈÇÎÒÐÎÏÍÎÃÎ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈß1.10.1. Ðåàëèçàöèÿ ïàðû âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìå- ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèìâîïðîñ î ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , èìåþùåé ïëîòíîñòüþùåé ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.ïðåäåëåíèÿíîðìàëüíîãî ðàñ-122√e−(u−m) /(2 σ ) − ∞ < u < +∞σ 2π2ñ ïàðàìåòðàìè (m, σ ) : m = Eη, σ 2 = Dη . Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè çíà÷åíèé ηäîñòàòî÷íî ìîäåëèðîâàòü çíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñïàðàìåòðàìè (0, 1) è ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿfη (u) =12f (u) = √e−u /2 ,2π−∞ < u < +∞,(1.138)à çàòåì èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå η = m + σ ξ .Óòâåðæäåíèå 1.20.ξ1 =Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûp−2 ln α1 sin 2πα2 ,ξ2 =p−2 ln α1 cos 2πα2 ,(1.139)ãäå (α1, α2) ïàðà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè è ðàñïðåäåëåííûìè ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (1.138).Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
