1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Âåêòîð (ξ1 , ξ2 ), ðàññìàòðèâàåìûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (u, v),â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (r, t), ãäåu = r sin t,v = r cos t,(1.140)√èìååò âèä (ρ, ϕ), ïðè÷åì ρ = −2 ln α1 è ϕ = 2πα2 . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ρ ðàâíàp22Fρ (r) = P−2 ln α1 < r = P(α1 > e−r /2 ) = 1 − e−r /2 ;(1.141)çäåñü r > 0. Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíþþ ôóíêöèþ ïî r, ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü ðàñïðå2äåëåíèÿ fρ (r) = re−r /2 . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ϕ èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèíòåðâàëå (0, 2π) ñ ïëîòíîñòüþ fϕ (t) ≡ 1/(2π). Ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ρ, ϕ) èìååò âèä2re−r /2.fρ,ϕ (r, t) =2π√Çàìåòèì, ÷òî r = u2 + v 2 . Ñîãëàñíî òåîðåìå î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ (óòâåðæäåíèå 1.9), ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÿêîáèàí J(r, t) ïåðåõîäà îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò (r, t) êäåêàðòîâûì ðàâåí 1/r, ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ1 , ξ2 ) èìååò âèäf(ξ1 ,ξ2 ) (u, v) = f(ρ,θ) (r(u, v), t(u, v)) J(r(u, v), t(u, v)) =√2222e−u /2 e−v /2u2 + v 2 × e−(u +v )/2√√√==×.2π u2 + v 22π2πÈç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû èèìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (1.138). ëèòåðàòóðå ïî ìåòîäàì Ìîíòå-Êàðëî òàêæå óïîìèíàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëàìîäåëèðîâàíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:rn12 X(n)(αi − 1/2).(1.142)ξ=ξ =n i=1Ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, âåëè÷èíà ξ (n) àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà,êðîìå òîãî, Eξ (n) = 0, Dξ (n) = 1.
Ôîðìóëà (1.142) îñîáåííî óäîáíà äëÿ n = 12:ξ(12)=12Xαi − 6.i=1Ñîîòíîøåíèÿ òèïà (1.142), â ÷àñòíîñòè, "îáðóáàþò õâîñòû"ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîéíîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (íàïðèìåð, |ξ (12) | ≤ 6), è ïîýòîìó òàêèå ôîðìóëûîáû÷íî èñïîëüçóþò â ñëó÷àÿõ, êîãäà áîëüøèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû |ξ| íå èãðàþò ñóùåñòâåííîé ðîëè. Íåäîñòàòêîì ôîðìóëû (1.142) ÿâëÿåòñÿ òàêæå íåîáõîäèìîñòü ðåàëèçàöèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë αi (ñì. çàìå÷àíèå1.2).1.10.2. Òåîðåìû îá èçîòðîïíîì âåêòîðå. Óòâåðæäåíèå 1.20 äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà l-ìåðíûé ñëó÷àé, ãäå l ≥ 2.Ñëó÷àéíûé âåêòîð ζ = (ζ1, . . . , ζl ) íàçûâàåòñÿ èçîòðîïíûì,åñëè òî÷êà ζ/|ζ| ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñöåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è íå çàâèñèò îò |ζ|.Óòâåðæäåíèå 1.21.
Åñëè ξ èçîòðîïíûé âåêòîð, êâàäðàò äëèíû êîòîðîãî èìååò2χ -ðàñïðåäåëåíèå ñ l ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òî åãî êîìïîíåíòû ξ1 , . . . , ξl íåçàâèñèìû èíîðìàëüíû ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1).Îïðåäåëåíèå 1.9.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ èìååòêîìïîíåíòûp(χ̂l , ω1 , . . . , ωl−1 ), ãäå (ω1 , . . . , ωl−1 ) ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ñôåðû, à χ̂l = χ2l . Çäåñü χ2l ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèå ñ l ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ñì.ôîðìóëó (1.121)). Ïî àíàëîãèè ñ (1.141) ïîëó÷èì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ̂l :Fχ̂l (r) = P(χ̂l < r) =P(χ2l2Zr2<r )=01= l/22 Γ(l/2)Ztl/2−1 e−t/2dt =2l/2 Γ(l/2)r2tl/2−1 e−t/2 dt,r ≥ 0.0Äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ ïî r, ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü l/2−11122fχ̂l (r) = l/2r2e−r /2 (2 r) = l/2−1rl−1 e−r /2 .2 Γ(l/2)2Γ(l/2) ñèëó èçîòðîïíîñòè âåêòîðà ξ , ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí χ̂l è (ω1 , .
. . , ωl−1 ) èìååò âèäf1 (r, w1 , . . . , wl−1 ) =2l/2−111122rl−1 e−r /2 ×=rl−1 e−r /2 ,l/2Γ(l/2)(2 π)Ŝlãäå Ŝl = 2 π l/2 Γ(l/2) "ïëîùàäü"ïîâåðõíîñòè l-ìåðíîé åäèíè÷íîé ñôåðû (íà ñàìîìäåëå ýòî îáúåì ðàçìåðíîñòè (l − 1)).ßêîáèàí ïåðåõîäà îò ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò (r, w1 , . . . , wl−1 ) ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì (x1 , .
. . , xl ) ðàâåí ∂(r, w1 , . . . , wl−1 ) 11 ∂(x1 , . . . , xl ) = rl−1 = (x2 + · · · + x2 )(l−1)/2 ,1lòàê êàê "äåêàðòîâûé n-ìåðíûé îáúåì"dV âûðàæàåòñÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì: dV = rl−1 dr dw1 . . . dwl−1 . Äàëåå èç óòâåðæäåíèÿ 1.9 ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà ξ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ x = (x1 , . . . , xl ): ∂(r, w1 , . .
. , wl−1 ) =f (x) = f1 (r(x), w1 (x), . . . , wl−1 (x)) ∂(x1 , . . . , xl ) lY1122 (l−1)/2 −(x21 +...+x2l )/2=(x+···+x)e×=1l(2 π)l/2(x21 + . . . + x2l )(l−1)/2i=11−x2i /2√e.2πÒàêèì îáðàçîì, êîìïîíåíòû ξ1 , . . . , ξl íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñ ïëîòíîñòüþ (1.138).Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäñòàâëåíèå χ2l = ξ12 +. . .+ξl2 , íåñëîæíî äîêàçàòü îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1, .
. . , ξl íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíûíîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1), òî âåêòîð ξ = (ξ1, . . . , ξl ) ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì.Óòâåðæäåíèå 1.22.Óòâåðæäåíèå 1.21 äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ1 , . . . , ξl ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Çäåñü äëÿèñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû (1.124) ðàçóìíî ïîëîæèòü l = 2k .Àëãîðèòì 1.44.l(ω1 , . . .
, ωl )1). Ðåàëèçóåì -ìåðíûé èçîòðîïíûé ñëó÷àéíûé âåêòîðåäèíè÷íîé äëèíû.p2. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ ξi = −2 ln (α1 × . . . × αk ) ωi, i = 1, . . . , 2k, ãäå α1, . . . , αk íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà.Ôîðìóëû (1.139) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì àëãîðèòìà 1.44 äëÿ l = 2 è k = 1, òàêêàê äâóìåðíûé âåêòîð(ω1 , ω2 ) = (sin 2πα, cos 2πα)(1.143)ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì èçîòðîïíûì. Çàáåãàÿ âïåðåä, çàìåòèì, ÷òî àëãîðèòì 1.44 ýôôåêòèâåí òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ l = 2 è k = 1 èç-çà îòñóòñòâèÿ ýêîíîìè÷íûõ ïðîöåäóð ÷èñëåííîãîïîñòðîåíèÿ ìíîãîìåðíîãî åäèíè÷íîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðà (ω1 , . . . , ωl ) (ñì.
ñëåäóþùèéïîäðàçä. 1.10.3).1.10.3. Ìîäåëèðîâàíèå åäèíè÷íîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðà. Îñîáî âàæíûìèäëÿ ïðèëîæåíèé ÿâëÿþòñÿ àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ åäèíè÷íîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðàâ äâóìåðíîì è òðåõìåðíîì ñëó÷àå. Äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿàëãîðèòì, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëàìè (1.143).Òåïåðü ðàññìîòðèì òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì â òàêîì ïðîñòðàíñòâåíåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ îñü, íàïðèìåð, îñü OX . Åäèíè÷íûé âåêòîð, èñõîäÿùèé èçíà÷àëà êîîðäèíàò, áóäåì îïðåäåëÿòü ñëåäóþùèìè äâóìÿ âåëè÷èíàìè: µ êîñèíóñ óãëàìåæäó âåêòîðîì è îñüþ OX , ϕ óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ "âåêòîð îñü OX "è íåêîòîðîéôèêñèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü OX . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ èçîòðîïíîãîâåêòîðà óãîë ϕ ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî â èíòåðâàëå (0, 2π), à ðàñïðåäåëåíèå µ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè µ = 0.
Äàëåå äëÿ x ≥ 0 èìååìP(x ≤ µ ≤ x + dx) = c dx,ãäå c = const, òàê êàê ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî ïîÿñà ïðîïîðöèîíàëüíà åãî âûñîòå. Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà µ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî â èíòåðâàëå (−1, 1).Òàêèì îáðàçîì, åäèíè÷íûé èçîòðîïíûé âåêòîð (ω1 , ω2 , ω3 ) ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ïîôîðìóëàìqqω1 = 1 − 2α0 , ω2 = 1 − ω12 cos 2πα00 , ω2 = 1 − ω12 sin 2πα00 .Ïîñòðîåíèå àëãîðèòìîâ ðåàëèçàöèè êîìïîíåíò åäèíè÷íîãî l-ìåðíîãî èçîòðîïíîãîâåêòîðà ìîæåò òàêæå îñíîâàíî íà òîì î÷åâèäíîì ñîîáðàæåíèè, ÷òî âåêòîð ω = ζ/|ζ|ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì èçîòðîïíûì â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ òî÷êà ζ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â l-ìåðíîì øàðå ðàäèóñà R.Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.Àëãîðèòì 1.45.l(−R, R)ζ1 = R (2 α1 − 1), .
. . , ζl = R (2 αl − 1).(1.144)èíòåðâàëå:Ðåàëèçóåì íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ âÏðîâåðÿåì íåðàâåíñòâî ζ12 +. . .+ζl2 < R2. Åñëè îíî âûïîëíåíî, òî, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ1.1, ζ = (ζ1 , . . . , ζl ) èñêîìàÿ òî÷êà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ â l-ìåðíîì øàðå, èíà÷åâíîâü ðåàëèçóåì âåêòîð (1.144) è ò.ä.. ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1.1 è ôîðìóëû (1.86), òðóäîåìêîñòü s̃ àëãîðèòìà 1.45 ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîøåíèþ îáúåìîâ l-ìåðíîãî êóáà (ñ ðåáðîì 2R) è l-ìåðíîãî øàðà ðàäèóñàR:(2R)ls̃ ∼ s = l/2 l= (4/π)l/2 × Γ(l/2 + 1).π R /Γ(l/2 + 1)Íàïðèìåð, äëÿ l = 2k èìååì s = (4/π)k × k!. Ýòà âåëè÷èíà î÷åíü áûñòðî âîçðàñòàåò.Ïî ñóòè àëãîðèòì 1.45 èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå l = 2 (çäåñü s ≈ 1.27, à äëÿ l = 3óæå s ≈ 1.91) è òîãäà, êîãäà ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå â ôîðìóëå (1.143),âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî ìåäëåííî.Èç ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ åäèíè÷íîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðà ω ïðè l > 3 öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì, êîòîðûé ñëåäóåò èçóòâåðæäåíèÿ 1.22 è ôîðìóëû (1.139).Àëãîðèòì 1.46.l = 2kk(1.139)(1) (1)(k) (k)ζ = (ξ1 , ξ2 , .
. . , ξ1 , ξ2 )ω = ζ/|ζ|ôîðìèðóåì âåêòîðÏóñòü äëÿ ïðîñòîòû. Ïðèìåíÿÿ ðàç ôîðìóëóè ïîëàãàåì.,1.10.4. Ìîäåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ çàâèñèìûìèêîìïîíåíòàìè. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η= (η1 , . . . , ηl ),èìåþùåãî ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé m = (m1 , . . .
, ml ) è êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåéR11 R12 . . . R1l R21 R22 . . . R2l R= .................. Rl1 Rl2 . . . Rllãäå Rij = E (ηi − mi ) (ηj − mj ) .Àëãîðèòì 1.47.(1.139)ξ = (ξ1 , . . . , ξl )ξiη = A ξ+mAa11 0... 0 a21 a22 . . . 0 A= ................ al1 al2 . . . allÈñïîëüçóÿ ôîðìóëó, ðåàëèçóåì âåêòîðñòîÿùèé èç íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí .
Ïîëàãàåìãäå íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ñî,Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû A îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû. Ïîñêîëüêó η1 = a11 ξ1 + m1 , òîpp(1.145)a11 = R11 = D η1 .Äàëåå èìååì η2 = a21 ξ1 + a22 ξ2 + m2 èE a11 ξ1 (a21 ξ1 + a22 ξ2 ) = R12 ,E a21 ξ1 + a22 ξ2Ñëåäîâàòåëüíî,a21R12R12==√,a11R11sa22 =R22 −2R12.R112= R22 .(1.146)Îáùàÿ ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà òàêîâà:PRij − j−1k=1 aik ajkaij = q,P2Rjj − j−1ak=1 jk(1.147)Pïðè÷åì 0k=1 aik ajk = 0, 1 ≤ j ≤ i ≤ l. Ôîðìóëà (1.147) ïðîâåðÿåòñÿ ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ âåëè÷èíû E((ηi − mi )(ηj − mj )) ñíà÷àëà äëÿ i = j , à çàòåì äëÿ j < i.Ïîä çíàêîì ðàäèêàëà â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (1.147) ñòîèò ãëàâíûé ìèíîð ïîðÿäêà j êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöû R.
Åñëè ýòà ìàòðèöà îöåíèâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè, òîâîçìîæíû îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìèíîðîâ.  ýòî ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî íàéòè òàêóþ îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó Q, ÷òî R = Q diag(r1 , r2 , . . . , rl )QT (çäåñü T çíàêòðàíñïîíèðîâàíèÿ), à äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàòü óòî÷íåííóþ êîððåëÿöèîííóþìàòðèöóR̃ = Q diag(|r1 |, |r2 |, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
