1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 24
Текст из файла (страница 24)
. . , ξ−2 , ξ−1 } è {ζk } êàê ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ïî ôîðìóëå (1.139) (ñì.ðàçä. 1.10).Ñòàöèîíàðíàÿ âåðñèÿ ïðîöåññà àâòîðåãðåññèè èìååò êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ (2.32)ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþïðîöåññîì àâòîðåãðåññèè ïîðÿäêà .1). Âûáåðåì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿè âû÷èñëÿåì.2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿè âû÷èñëÿåìè ò.ä.f (λ) =1.2π |1 + b1 e−iλ + . . . + bM e−iM λ |2(2.35)2.4.7.
Ñìåøàííàÿ ìîäåëü àâòîðåãðåññèè è ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî. Êîìáèíèðîâàíèå ïðîöåññîâ àâòîðåãðåññèè è ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþξi + b1 ξi−1 + . . . + bM ξi−M = a0 ζi + a1 ζi−1 + . . . + aN ζi−N(2.36)è ÷èñëåííîé ïðîöåäóðå1). Âûáåðåì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ {ξ−M , . . . , ξ−1}. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ {ζ−N , . . . , ζ0} ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fζ (x) è âû÷èñëÿåìÀëãîðèòì 2.11.ξ0 = ζ0 + a1 ζ−1 + . .
. + aN ζ−N − b1 ξ−1 − . . . − bM ξ−M .2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ζ1 ñîãëàñíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fζ (x) è âû÷èñëÿåìè ò.ä.ξ1 = ζ1 + a1 ζ0 + . . . + aN ζ−N +1 − b1 ξ0 − b2 ξ−1 − . . . − bM ξ−M +1Åñëè íóëè ïîëèíîìà Q(z) = 1 + b1 z + . . . + bM z M ëåæàò âíå åäèíè÷íîãî êðóãà, òîóðàâíåíèå (2.36) èìååò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå {ξi }, íàçûâàåìîåñìåøàííûì ïðîöåññîìàâòîðåãðåññèè è ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïîðÿäêà (M, N ). Ýòîò ïðîöåññ èìååò êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ (2.32) ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ a0 + a1 e−iλ + .
. . + aN e−iN λ 2 .f (λ) = 1 + b1 e−iλ + . . . + bM e−iM λ (2.37)Ôîðìóëà (2.37), ÿâëÿþùàÿñÿ êîìáèíàöèåé ñîîòíîøåíèé (2.33) è (2.35), ïîäòâåðæäàåòèçâåñòíûé òåçèñ î òîì, ÷òî ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû ñ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ïðåäñòàâèìû â âèäå ïðîöåññîâ ñêîëüçÿùåãî ñóììèðîâàíèÿ. Ïðèìå÷àòåëåí è òîòôàêò, ÷òî àäåêâàòíîå îïèñàíèå íàáëþäàåìûõ íà ïðàêòèêå ÿâëåíèé, ìîäåëèðóåìûõ ñòàöèîíàðíûìè ïðîöåññàìè, äîñòèãàåòñÿ (ñìåøàííûìè) ìîäåëÿìè àâòîðåãðåññèè è ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò 2.2.5.
ÌÎÄÅËÈ ÃÀÓÑÑÎÂÑÊÈÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂÑ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÌ ÂÐÅÌÅÍÅÌ2.5.1. Ìîäåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ñ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ñïåê-Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé àíàëîã àëãîðèòìà 2.11 äëÿ ñëó÷àÿíåïðåðûâíîãî àðãóìåíòà t ãàóññîâñêîãî ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t), t ≥ 0.Ïîëàãàåì, ÷òî äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýòîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (2.37):òðàëüíîé ïëîòíîñòüþ.1f (λ) =2π a0 + a1 (iλ) + . .
. + aN (iλ)N 2 1 + b1 (iλ) + . . . + bM (iλ)M .(2.38)Êîýôôèöèåíòû {an , bm } äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; M > N è íóëè ïîëèíîìà Q(z) =1 + b1 z + . . . + bM z M ëåæàò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Àíàëîãîìôîðìóëû (2.36) äëÿ íåïðåðûâíîãî àðãóìåíòà t ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåξ(t) = a0 ϕ(N −1) (t) + . . . + aN ϕ(t),(2.39)ãäå ϕ(t) ðåøåíèå ëèíåéíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèϕ(M ) (t) + b1 ϕ(M −1) (t) + .
. . + bM ϕ(t) = σε(t),áåëîãî øóìàσ = const,(2.40)à ε(t) åñòü ïðîöåññ(ïðîèçâîäíàÿ îò âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà) ñòàöèîíàðíûéâ øèðîêîì ñìûñëå ïðîöåññ, ëþáûå äâà íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿ êîòîðîãîïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè t1 è t2 íåêîððåëèðîâàíû (òî÷íåå, E(ε(t1 )ε(t2 )) =δ(t2 − t1 ), ãäå δ(t) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà ñì.
ïîäðàçä. 1.4.2).Åñëè ââåñòè âåêòîð ϕ(t) = (ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕ(M −1) (t))T , òî óðàâíåíèå (2.40) ìîæíîçàïèñàòü â âèäådϕ= Bϕ(t) + ϕ0 (t),(2.41)dtãäå ϕ0 (t) = (0, 0, . . . , 0, σε(t))T è010... 0 001... 0................................B= 000... 1−bM −bM −1 −bM −2 . . . −b1Îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ϕ(t) óðàâíåíèå (2.41) èìååò ìàðêîâñêèé âèä, ïîýòîìó äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà, ÿâëÿþùåãîñÿ åãî ðåøåíèåì, ìîæíî ïðèìåíèòü àëãîðèòì 2.3. Çàìåòèì, ÷òî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.41) èìååò êîððåëÿöèîííóþôóíêöèþZ +∞1∗R1 (t1 , t2 ) = E(ϕ(t1 ), (ϕ(t2 )) ) =eiλ(t1 −t2 ) f1 (λ) dλ2π −∞ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ, àíàëîãè÷íîé (2.35): f1 (λ) = 1/(2π|Q(iλ)|2 ).
Ìàòðèöà êîððåëÿöèé R(t1 , t2 ) âåêòîðà ϕ(t) èìååò êîìïîíåíòûRij = E(ϕ(i) (t1 )(ϕ(j) (t2 ))∗ ) =∂ i+j R1 (t1 , t2 ).∂ti1 ∂tj2Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ K -ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ξ(t(1) ), . . . , ξ(t(K) )), ãäå 0 < t(1) < . . . < t(K) .Àëãîðèòì 2.12.ϕ(0)ξ(0)(N −1)(2.39) ξ(0) = a0 ϕ(0) + .
. . + aN ϕ(0)ϕ(t(1) )2.3ti−1 = t(0) = 0ξ(t(1) ) = a0 ϕ(N −1) (t(1) ) + . . . + aN ϕ(t(1) )ϕ(t(2) )2.3ti−1 = t(1)ξ(t(2) ) = a0 ϕ(N −1) (t(2) ) + . . . + aN ϕ(t(2) )Çäåñü, êàê è â "äèñêðåòíîì"âàðèàíòå ïðîöåññà àâòîðåãðåññèè (ñì. àëãîðèòì 2.10èç ðàçä. 2.4), îïðåäåëåííóþ ïðîáëåìó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûáîð íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿâåêòîðà ϕ(0) = (ϕ(0), ϕ0 (0), . . . , ϕ(M −1) (0))T . Ïðè ïðîèçâîëüíîì çàäàíèè ýòîãî âåêòîðàìîæåò íàðóøèòüñÿ ñâîéñòâî ñòàöèîíàðíîñòè ïðîöåññà ξ(t), ïîýòîìó åãî çíà÷åíèÿ ìîæíîèñïîëüçîâàòü ëèøü ïîñëå òîãî, êàê ïðîéäåò äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíèè ìîäåëèðóåìûé ïðîöåññ ñòàíåò ñòàöèîíàðíûì.Âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà ϕ(0) ìîæíî ïîëó÷èòü ñîãëàñíî àëãîðèòìó 1.47 èç ðàçä.
1.10 ïî ôîðìóëå ϕ(0) = Cw, ãäå w âåêòîð ñ íåçàâèñèìûìèñòàíäàðòíûìè ãàóññîâñêèìè êîìïîíåíòàìè, à ìàòðèöà C òàêîâà, ÷òî CCT = R(0, 0) =(0)E(ϕ(0), (ϕT (0))∗ ).  ñâîþ î÷åðåäü, êîìïîíåíòû Rij ìàòðèöû R(0, 0) ðàâíû íóëþ, åñëè(i + j) íå÷åòíî è âåëè÷èíå (−1)(j−i)/2 k(i+j)/2 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. ×èñëà ks îïðåäåëÿþòñÿèç ñîîòíîøåíèéX0 ïðè l = 0, 1, . . . , M − 2,lq(−1)(−1) bM −2q+l kq =1/2 ïðè l = M − 1.1).
Çàäàåì íà÷àëüíîå çíà÷åíèå . Âû÷èñëÿåì:.2). Ðåàëèçóåì çíà÷åíèåñîãëàñíî àëãîðèòìó äëÿëÿåì.3). Ðåàëèçóåì çíà÷åíèåñîãëàñíî àëãîðèòìó äëÿè ò.ä.ïî ôîðìóëåè âû÷èñ-è âû÷èñëÿåìl/2<q<(M +l)/22.5.2. Àëãîðèòì Ôðàíêëèíà. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2.41), åñëè èçâåñòíî çíà÷åíèåâåêòîðíîãî ïðîöåññà ϕ(t), òî çíà÷åíèå ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ(t + ∆t) = e∆t B ϕ(t) + r(t), ãäå r(t) ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé âåêòîðR ∆tâèäà r(t) = 0 e(∆t−s)B ϕ0 (t+s) ds. Ýòîò âåêòîð íåêîððåëèðîâàí ñî ñëó÷àéíûì âåêòîðîìRtϕ(t) = −∞ e(t−u)B ϕ0 (u) du.Àëãîðèòì 2.13.ϕ(t(0) ) = ϕ(0)ξ(t(0) ) =a0 ϕ(N −1) (t(0) ) + .
. . + aN ϕ(t(0) )r(t(0) )(1)(0)ϕ(t(1) )ϕ(t(1) ) = e(t −t ) B ϕ(t(0) ) + r(t(0) )ξ(t(1) ) =a0 ϕ(N −1) (t(1) ) + . . . + aN ϕ(t(1) )(2)(1)r(t(1) )ϕ(t(2) ) = e(t −t ) B ϕ(t(1) )+r(t(1) )ξ(t(2) ) = a0 ϕ(N −1) (t(2) ) + . . . + aN ϕ(t(2) )1). Çàäàåì íà÷àëüíîå çíà÷åíèåè âû÷èñëÿåì.2). Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ãàóññîâñêîãî âåêòîðà. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèåïî ôîðìóëåè çàòåì ïîëàãàåì.3).
Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå âåêòîðà. Âû÷èñëÿåìè çàòåì ïîëàãàåìè ò.ä.Ìîäåëèðîâàíèå âåêòîðîâ r(t) äëÿ t = t(0) , t(1) , . . . ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî àëãîðèòìó1.47 èç ðàçä. 1.10 ïî ôîðìóëå r(t) = Gw, ãäå w âåêòîð ñ íåçàâèñèìûìè ñòàíäàðòíûìèãàóññîâñêèìè êîìïîíåíòàìè, à ìàòðèöà G òàêîâà, ÷òîZ ∆t Z ∆tTTe(∆t−s1 )B ϕ0 (t + s1 )×GG = Rr = E(r, r ) = E0×ϕT0 (t(∆t−s2 )B T+ s2 ) e0Z∆tds1 ds2 =esB H esBTds;0çäåñü H ìàòðèöà ðàçìåðà M × M , âñå ýëåìåíòû êîòîðîé, êðîìå HM M = 1, ðàâíûíóëþ. Ñèììåòðè÷åñêóþ ìàòðèöó Rr íàõîäÿò èç ñîîòíîøåíèÿe∆t B H e∆t BT− H = BRr + Rr BT .2.5.3.
Ìîäåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ èñïîëüçîâàíèåìêàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.ëåí â âèäåÃàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ξ(t) =+∞Xwi χi (t),(2.42)i=−∞ãäå {wi } íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû, à {χi (t)} íåñëó÷àéíûå(2.42).Ðàçëîæåíèå (2.42) â îáùåì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íûé ðÿä. Íà ïðàêòèêå îí çàìåíÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé.
Åñëè óäàåòñÿ íàéòè êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè χi (t)äëÿ i = −n, −n + 1, . . . , n − 1, n, òî, ïîëó÷èâ îäèí ðàç 2n + 1 ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ÷èñåë (çäåñü öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (1.139) èç ðàçä. 1.10), ìîæíîâû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ïðîöåññà ξ(t) â ïðîèçâîëüíîì íàáîðå òî÷åê. Îäíàêî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé {χi (t)} äîñòàòî÷íî òðóäíà, è äàííûé ìåòîä ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òîëüêîâ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð, äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ðåàëèçàöèé ñ ðàçíûìèâðåìåííûìè øàãàìè íà îäíîì è òîì æå ó÷àñòêå è â äðóãèõ ïîäîáíûõ ñèòóàöèÿõ.Îäèí èç ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λi è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ψi (t) èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà, ÿäðîìêîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ R(t, s) ïðîöåññà ξ(t).
Ïðè ýòîì íóæíî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèåZêîîðäèíàòíûå ôóíêöèè êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ+∞R(t, s)ψ(s) ds = λψ(t).(2.43)−∞√ êà÷åñòâå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ðàçëîæåíèÿ (2.42) ñëåäóåò âûáèðàòü χi (t) = λi ψi (t).Îïèñàííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé èñïîëüçóåòñÿ ñðàâíèòåëüíîðåäêî â ñâÿçè ñ òðóäíîñòÿìè, êîòîðûå âîçíèêàþò ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (2.43).
Ýòèòðóäíîñòè îñîáåííî âåëèêè ïðè ÷èñëåííîì åãî ðåøåíèè. Åñëè æå ôóíêöèÿ R(t, s) òàêîâà, ÷òî ëåãêî óêàçàòü àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.43), òî îïèñàííûé çäåñüñïîñîá ìîäåëèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü î÷åíü óäîáíûì.2.6. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÛÅ ÌÎÄÅËÈ ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕÃÀÓÑÑÎÂÑÊÈÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÎËÅÉ ðàçäåëå 2.5 ïðåäñòàâëåíû àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâñ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè (2.38), â îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò2.6.1. Ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà.ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áåëîãî øóìà ñ ïîäõîäÿùèìè ñïåêòðàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, à òàêæå ìîäåëè, îñíîâàííûå íà êàíîíè÷åñêîì ðàçëîæåíèè (2.42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
